Devoir surveillé no 3

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Épreuve de 4h sans calculatrice. Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l’élève. Les résultats doivent être encadrés.

Puissances de matrices

On introduit les matrices A = [[1 ;0 ;0][−4 ;5 ;−4][−2 ;2 ;−1]] et B = [[0 ;0 ;0][2 ;−2 ;2][1 ;−1 ;1]]
  1. Calculer A2.
  2. Montrer qu'il existe un réel x tel que B2 = xB.
  3. Montrer qu'il existe un réel λ tel que A = I3 + λB et recalculer A2 à l'aide de cette relation.
  4. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N il existe un réel an tel que An = [[1 ;0 ;0][2an ;1 − 2an ;2an][an ;−an ;1 + an]], en précisant la valeur de a1 et une relation de récurrence sur la suite (an).
  5. Déterminer le terme général de la suite (an).

Étude de fonction

On pose f(x) = x/ex − 1 pour tout x ∈ R∗.

  1. En reconnaissant 1/f(x) comme un taux d'accroissement, démontrer que la fonction f admet une limite finie en 0 et préciser sa valeur.
  2. Démontrer que les variations de la fonction f sont déterminées par le signe de la fonction g : x ↦ (1 − x) ex − 1.
  3. Déterminer les variations de g sur R en précisant sa valeur en 0.
  4. Dresser le tableau de variations de f en précisant sa limite en −∞.
  5. Démontrer ∀x ≥ 0, ex ≥ 1 + x + x2/2. En déduire la limite de f en +∞.
  6. Montrer que f(x) + x admet une limite finie lorsque x tend vers −∞ et en déduire que la courbe de f admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation.
  7. Tracer la courbe représentative de f ainsi que ses diverses asymptotes.

Suite avec une fonction de récurrence harmonique

On définit la fonction h : x ↦ (5x + 1)/(3x + 7).

  1. Montrer que h est bien définie sur R+ et que cet intervalle est stable par h.
  2. En déduire qu’en posant p0 = 0 et pour tout n ∈ N, pn+1 = h(pn) on définit une suite positive. Calculer p1 et p2.
  3. Montrer que la fonction h admet un unique point fixe négatif que l’on notera α.
  4. On pose pour tout n ∈ N, qn = pn − α. Montrer que la suite (qn) ne s’annule pas et que son inverse (rn) = (1/qn) vérifie pour tout n ∈ N, rn+1 = (3 + 4rn)/(8).
  5. Montrer que l’équation x = (3 + 4x)/(8) admet une unique solution positive notée β.
  6. Montrer que la suite (sn) = (rn − β) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  7. En déduire les expressions du terme général des suites (sn), (rn), (qn), et (pn).
  8. Déterminer les limites éventuelles de ces 4 suites.

Matrices commutantes

On pose A = ( (5 ; −1), (3 ; 1)) et B = ( (a ; b), (c ; d)).

  1. Déterminer à quelle condition les matrices A et B commutent.
  2. Montrer que toute matrice qui commute avec A s’écrit comme une combinaison linéaire de A et la matrice identité I2.
  3. Décomposer A2 sous la forme aA + bI2.

Flashes

  1. Démontrer pour tout n ∈ N∗ l’égalité ∑k=1n k × 2k−1 = 1 + 2n(n − 1).
  2. Déterminer les coefficient réels d’un polynôme du second degré P : x ↦ ax2 + bx + c tel que P(1) = 1, P(2) = 2 et P(3) = 4.
  3. Les vecteurs u = (1, 2, 3, 4), v = (−1, 5, 0, 1), w = (0, −1, 2, −2) forment-ils une famille libre ? génératrice de R4 ?