Devoir surveillé n^o 2

Dénombrement

On souhaite connaitre le nombre de sigles de 3 lettres que l’on peut former avec la contrainte qu’il n’y ait pas deux voyelles consécutives.

1. Dénombrer les sigles de 3 lettres sans aucune voyelle.
2. Dénombrer les sigles de 3 lettres avec une seule voyelle.
3. Dénombrer les sigles de 3 lettres avec deux voyelles en respectant la contrainte.
4. Dénombrer les sigles de 3 lettres en respectant la contrainte et qui contiennent la voyelle Y.

Étude de fonction

1. Déterminer le domaine de validité D de l’expression f(x) = √(6x + 1) − x.
2. Calculer les points fixes et les points d’annulation de la fonction f sur D.
3. Montrer que pour tout x ∈ D on a f(x) = 1/6(10 − (√(6x + 1) − 3)²).
4. En déduire les variations de f en précisant la valeur de son maximum.
5. Déterminer les antécédents de 1 par f. La fonction f est-elle injective ?
6. Calculer l’image de l’intervalle [0, 2] par la fonction f.

Régression linéaire

On considère 4 points de coordonnées A(1, 0), B(2, 3), C(4, 1), D(5, 4).

1. Représenter les 4 points dans le plan.
2. Calculer les coordonnées du point moyen (x¯, y¯).
3. Expliciter la liste des différences (x_i − x¯) et (y_i − y¯).
4. Calculer la valeur de la variance V_x et la valeur de la covariance cov_x,y.
5. En déduire que la droite de régression linéaire a pour équation y = 3/5 x + 1/5 et tracer cette droite.
6. On considère un point M(0, t) sur l'axe des ordonnées, avec t ∈ R. Déterminer une équation de la droite (MD).
7. En déduire l'intersection de la droite (MD) avec la droite de régression.

Flashes

1. Résoudre l’inéquation |3x + 2| + |1 − 4x| ≤ 4.
2. Montrer que pour tout n ≥ 2 on a ∑_k=2ⁿ (2 parmi k) = (n³ − n)/6.
3. Montrer que pour tout n ∈ N^∗ on a √(n² + 1) − n ≤ 1/2n.
4. Montrer que pour tout n ∈ N, l’entier (n² + 1) n’est jamais un multiple de 4.