Cahier de textes et programme des colles de mathématiques en HKBL
Les définitions et résultats répertoriés en tête de chaque chapitre sont susceptibles d’être demandés en interrogation de cours ou en colle. En question de cours en début de colle, sauf indication contraire, chaque propriété doit être accompagnée de sa démonstration.
Ce programme est valable pour la colle de mardi 10 avril. Il n’y aura pas de colle le reste de cette semaine du fait du concours blanc qui se terminera avec les vacances de printemps. Cette semaine de colle se poursuivra donc la semaine de la rentrée du 7 au 11 mai.
Exercices sur les séries. Attention, les développements limités et équivalents ne sont plus au programme, et toutes les séries doivent être à termes positifs (à l’exclusion des séries géométriques et exponentielles). En dehors des cas de séries téléscopiques et des séries de référence, la démonstration de la convergence repose sur la comparaison série et intégrale ou sur l’utilisation du théorème de comparaison avec une série de puissances
(∑n−α).
Attention, du fait du lundi 2 avril férié, le programme de colle de cette semaine est valable jusqu’au inclus. Le programme suivant prendra en compte le mardi 10 avril et la semaine du 7 mai (après le concours blanc d’avril et les vacances scolaires).
Exercices sur les séries. Attention, les développements limités et équivalents ne sont plus au programme, et toutes les séries doivent être à termes positifs (à l’exclusion des séries géométriques et exponentielles). En dehors des cas de séries téléscopiques et des séries de référence, la démonstration de la convergence repose sur la comparaison série et intégrale ou sur l’utilisation du théorème de comparaison avec une série de puissances
(∑n−α).
Exercices de calcul d’intégrale à l’aide de primitive connue, par intégration par parties ou par changement de variable (ce dernier est à préciser à l’élève le cas échéant). La décomposition en éléments simples n’est pas au programme mais ses coefficients peuvent être calculés si la forme est donnée à l’élève.
Exercices de calcul sur les matrices : somme, produit, vérification de l’annulation d’un polynôme de matrice, équation matricielle linéaire avec éventuellement transposée,
trace, inverse
Exercices de calcul d’intégrale à l’aide de primitive connue, par intégration par parties ou par changement de variable (ce dernier est à préciser à l’élève le cas échéant). La décomposition en éléments simples n’est pas au programme mais ses coefficients peuvent être calculés si la forme est donnée à l’élève.
Cours
Régression linéaire : statistiques descriptives à une ou deux variables réelles.
Exercices de calcul sur les matrices : somme, produit, vérification de l’annulation d’un polynôme de matrice, équation matricielle linéaire avec éventuellement transposée,
trace, inverse
Exercices de calcul avec des suites : aucune théorie générale n’est exigible sur les suites définies par récurrence. Seules les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques sont directement dans le cours (et encore, seule la méthode d’étude est exigible pour ces dernières). Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 ont été vues en exercice mais la résolution doit être accompagnée. Les comparaisons de croissance et suites adjacentes ont bien été vues en classe.
Exercices de calcul sur les matrices : somme, produit, vérification de l’annulation d’un polynôme de matrice, équation matricielle linéaire avec éventuellement transposée
Utilisation des formules d’Euler en trigonométrie notamment pour de la linéarisation de polynôme trigonométrique. Les formules de l’addition des angles ou de la duplication ne sont pas à connaitre par cœur, mais les étudiants doivent pouvoir les démontrer à l’aide des formules d’Euler.
Exercices de calcul avec des suites : aucune théorie générale n’est exigible sur les suites définies par récurrence. Seules les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques sont directement dans le cours (et encore, seule la méthode d’étude est exigible pour ces dernières). Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 ont été vues en exercice mais la résolution doit être accompagnée. Les suites adjacentes n’ont pas encore été vues en classe.
Cours
Suites réelles : limite d’une suite récurrente et suites adjacentes
Exercices de calcul sur les nombres complexes : opérations élémentaires, équations du second degré à coefficients réels, équations de la forme z2 = a + ib (version algébrique ou trigonométrique), utilisation des formules d’Euler en trigonométrie notamment pour de la linéarisation de polynôme trigonométrique. Les formules de l’addition des angles ou de la duplication ne sont pas à connaitre par cœur, mais les étudiants doivent pouvoir les démontrer à l’aide des formules d’Euler.
Exercices de calcul avec des suites arithmétiques et géométriques. Les formules de somme n’ont pas été redémontrées en classe mais peuvent faire l’objet d’un exercice de récurrence pour être utilisées ensuite.
Exercices d’algèbre linéaire élémentaire sur les vecteurs colonnes : déterminer si une famille est libre, génératrice, exprimer un vecteur comme combinaison d'autres vecteurs
Exercices d’analyse de fonction avec calcul de la dérivée pour des fonctions composées et calcul de limite, recherche des asymptotes verticales ou horizontales, vérification d’une asymptote oblique donnée dans l’énoncé, recherche des solutions d’une équation à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires ou ses corollaires ; étude de la continuité d’une fonction définie par morceaux, en utilisant des fonctions rationnelles, racine carrée et racine n-ième, (éventuellement logarithme et exponentielle mais sans recourir aux propriétés de ces deux fonctions autres que l’expression de leur dérivée et leurs limites).
Cours
Analyse globale : théorème et inégalités des accroissements finis, limite de la dérivée
Exercices d’analyse de fonction avec calcul de la dérivée pour des fonctions composées et calcul de limite, étude de la continuité d’une fonction définie par morceaux, en utilisant des fonctions rationnelles et racine carrée, (éventuellement logarithme et exponentielle mais sans recourir aux propriétés de ces deux fonctions autres que l’expression de leur dérivée et leurs limites). Les asymptotes n’ont pas encore été traitées
Dans les questions de cours en début de colle, qui peuvent compter pour 6 à 8 points dans la note finale, l’oubli de l’introduction des variables fera perdre la moitié de ces points.
Questions de cours
Démonstration universelle : énoncé des identités remarquables
et démonstration de l’une d’entre elles au choix du colleur
Démonstration par équivalences : ordre de l’inverse et du carré pour deux réels strictement positifs
et démonstration de l’une des relations au choix du colleur
Dans les questions de cours en début de colle, qui peuvent compter pour 6 à 8 points dans la note finale, l’oubli de l’introduction des variables fera perdre la moitié de ces points. Sauf indication contraire, chaque propriété doit être accompagnée de sa démonstration.
Démonstration universelle : énoncé des identités remarquables
et démonstration de l’une d’entre elles au choix du colleur
Démonstration par équivalences : ordre de l’inverse et du carré pour deux réels strictement positifs
et démonstration de l’une des relations au choix du colleur
Il n’y a pas de matériel obligatoire mais l’assiduité en classe implique a minima une prise de notes donc du matériel d’écriture efficace. Chaque élève est donc supposé disposer à chaque séance d’un stylo à encre (effaçable ou non), de crayons gris et de quelques couleurs, d’une règle, de feuilles pour le cours et pour les interrogations écrites. Pour les exercices, il est vivement recommandé de se munir d’un cahier grand format, de préférence à petits carreaux, permettant la réalisation de figures soignées et le suivi d’une séance à l’autre.
Les calculatrices sont sans utilité car interdites au concours. L’usage d’un ordinateur portable (a fortiori sous forme de tablette ou de téléphone) n’est a priori pas adaptée à la prise de notes de mathématiques en classe.