Analyse asymptotique

Notions
Voisinage, limite, forme indéterminée, branche parabolique
Définition
Asymptote verticale, horizontale ou oblique
Résultats
Limite de la fonction racine, limites de la fonction inverse
Limite de la somme et du produit, limites des fonctions puissances, limite d’une composée
Théorème de comparaison, théorème d’encadrement, limites d’une fonction monotone
Compétences
Calculer des limites de fonction
Montrer qu'une droite est asymptote à une courbe de fonction

Vocabulaire général

On note R = R ∪ {−∞ ; +∞} la droite réelle continuée.

Définition
Soit aR. Soit VR.

On dit que V est un voisinage à droite (resp. à gauche) de a s’il existe bR tel que ]a, b] ⊂ V (resp. ]b, a] ⊂ V).

On dit que V est un voisinage de −∞ s'il existe bR tel que ]−∞, b[ ⊂ V.

On dit que V est un voisinage de +∞ s'il existe bR tel que ]b, +∞[ ⊂ V.

Ces définitions permettent de généraliser la formulation locale de la limite.

Définition
Soit f une fonction définie sur un domaine DR. Soit (a, L) ∈ R2 tel que D soit un voisinage (éventuellement à gauche ou à droite) de a.

On dit que f admet une limite (à gauche ou à droite) L en a si pour tout voisinage V de L il existe un voisinage U (à gauche ou à droite) de a tel que pour tout xUD on a f(x) ∈ V.

On note alors limxa f(x) = L (respectivement, limxa, x < a f(x) = L ou limxa, x > a f(x) = L).

Calcul direct

Propriété
Soit f et g deux fonctions définies sur un même voisinage de aR. Soit (L, L′) ∈ R2

Si limxa f(x) = L et limxa g(x) = L′ alors limxa f(x) + g(x) = L + L′ et limxa f(x) × g(x) = L × L′.

Si limxa f(x) = L et si limxa g(x) est infinie alors limxa f(x) + g(x) = limxa g(x).

Si limxa f(x) = L ≠ 0 et si limxa g(x) est infinie alors limxa f(x) × g(x) est infinie en suivant la règle des signes.

Si limxa f(x) et limxa g(x) sont infinies de même signe, alors limxa f(x) + g(x) aussi.

Si limxa f(x) et limxa g(x) sont toutes deux infinies, alors limxa f(x) × g(x) aussi en suivant la règle des signes.

Finalement, ces règles permettent de déterminer la limite de la somme et du produit de deux fonctions qui admettent elles-mêmes des limites, sauf dans deux cas qu’on appelle formes indéterminées et qu’on note : « +∞ − ∞ » et « 0 × ∞ ».

Limites des fonctions puissances
Pour tout nN, si n est pair alors limx→+∞ xn = limx→−∞ xn = +∞ ; si n est impair alors limx→+∞ xn +∞  et limx→−∞ xn = −∞.
Limite d’une composée
Soit f et g deux fonctions réelles d'une variable réelle telles que gf soit définie au voisinage de aR. Soit (b, L) ∈ R2 tels que limxa f(x) = b et limxb g(x) = L. Alors limxa g(f(x)) = L.

En composant la multiplication avec la fonction inverse, on peut déterminer la limite du quotient, sauf dans deux nouvelles formes indéterminées qui s’écrivent « 0/0 » et « / ».

Théorèmes

Théorème de comparaison
Soient f et g deux fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de aR telles que fg au voisinage de a.
  • Si limxa f(x) = +∞ alors limxa g(x) = +∞.
  • Si limxa g(x) = −∞ alors limxa f(x) = −∞.
Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes
Soient f, g, h trois fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de aR telles que limxa f(x) = limxa h(x) et telles que fgh au voisinage de a. Alors la fonction g tend vers la même limite que f et h en a.
Théorème des limites d’une fonction monotone
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. Soit f une fonction définie sur ]a, b[.

Supposons f croissante.

  • Si f est minorée alors limxa f(x) = inf]a, b[ f, sinon limxa f(x) = −∞.
  • Si f est majorée alors limxb f(x) = sup]a, b[ f, sinon limxb f(x) = +∞.

Supposons f décroissante.

  • Si f est minorée alors limxb f(x) = inf]a, b[ f, sinon limxb f(x) = −∞.
  • Si f est majorée alors limxa f(x) = sup]a, b[ f, sinon limxa f(x) = +∞.
On calcule la limite en a dans le cas où la fonction est croissante. Les autres cas se démontrent de manière analogue.

Supposons d’abord que f est minorée. On note L = inf]a, b[ f. Soit εR∗+. Il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que f(x0) ≤ L + ε et pour tout x ∈ ]a, x0[ on a Lf(x) ≤ f(x0) ≤ L + ε. Finalement, la fonction f tend bien vers L en a.

Supposons maintenant que f n’est pas minorée. Soit mR. Il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que f(x0) ≤ m et pour tout x ∈ ]a, x0[ on a f(x) ≤ f(x0) ≤ m. Finalement, la fonction f tend bien vers −∞ en a.

Asymptotes et branches paraboliques

Soit aR et f une fonction définie au voisinage à droite ou à gauche de a.
On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote verticale d’équation x = a si f admet une limite infinie à gauche ou à droite en a.

Les valeurs interdites pour une expression donnent souvent lieu à une asymptote verticale, mais pas systématiquement, et notamment pas dans le cas d'un accroissement fini de fonction dérivable.

Soit f une fonction définie au voisinage de +∞ (resp. −∞). Soit (a, b, c) ∈ R3.

On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale d’équation y = c en +∞ (resp. −∞) si on a limx→+∞ f(x) = c (resp. limx→−∞ f(x) = c).

On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique d’équation y = ax + b en +∞ (resp. −∞) si on a limx→+∞ f(x) − (ax + b) = 0 (resp. limx→−∞ f(x) − (ax + b) = 0).

Propriété
Si f admet une asymptote oblique d’équation y = ax + b en +∞ (resp. en −∞) alors on a limx→+∞ f(x)/x = a (resp. limx→−∞ f(x)/x = a).
Supposons que f admette une asymptote oblique d’équation y = ax + ben +∞. Alors on trouve limx→+∞ f(x) − (ax + b)/x = 0 or limx→+∞ b/x = 0 donc limx→+∞ f(x)/xa = 0.

Le cas de l’asymptote oblique en −∞ se traite de manière analogue.

Soit f une fonction définie au voisinage de +∞ (resp. −∞).

On dit que la courbe de f admet une branche parabolique verticale en +∞ (resp. en −∞) si le quotient f(x)/x tend vers l'infini en +∞ (resp. en −∞). La branche est dit dirigée vers le haut si cette limite est +∞, dirigée vers le bas dans le cas contraire.

Soit aR. On dit que la courbe de f admet une branche parabolique de direction y = ax en +∞ (resp. en −∞) si le quotient f(x)/x tend vers a en +∞ (resp. en −∞) mais que la différence f(x) − ax tend vers l'infini.