Analyse locale

Notions
Limite finie en un réel (à gauche ou à droite), continuité, prolongement par continuité, dérivabilité
Définitions
Taux d’accroissement, nombre dérivé, tangente à la courbe d’une fonction, extremum local
Résultats
Limite de la somme et du produit, limite d’une composée
Caractérisation de la continuité à l’aide des limites, somme et produit de fonctions continues, composée de fonctions continues
Continuité d’une fonction dérivable, dérivée de la fonction racine carrée, opérations sous la dérivée, dérivée des fonctions puissances, dérivée d’une réciproque, condition nécessaire pour un extremum local
Compétences
Justifier qu'une fonction est continue et en particulier déterminer si une fonction définie par morceaux est continue au point de recollement.
Justifier qu'une fonction est dérivable.
Calculer une dérivée.
Exprimer les extrema locaux à partir des variations.

Limite finie en un réel

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[. Soit R.

On dit que f admet comme limite à droite en a et on note limxax>a f(x) = si pour tout intervalle ouvert J contenant il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que f(]a, c[) ⊂ J.

De même, on dit que f admet comme limite à gauche en b et on note limxax<a f(x) = si pour tout intervalle ouvert J contenant il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que f(]c, b[) ⊂ J.

Cette définition formalise l’idée que lorsque un point de la courbe se rapproche d’un réel a en abscisse, il se rapproche du réel en ordonnée.

Remarque
Une fonction peut admettre des limites différentes à gauche et à droite.
Exemple
Toute fonction constante de valeur cR sur un intervalle ]a, b[ admet la limite c à droite en a et à gauche en b.
En particulier, pour tout aZ on trouve limxax<ax⌋ = a − 1 ≠ ⌊a.
Propriété
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I à gauche ou à droite d’un réel a.
Si pour tout xI on a f(x) ≤ g(x) et si les deux fonctions f et g admettent toutes deux des limites en a alors limxa f(x) ≤ limxa g(x).
Démonstration
On note limxa f(x) = et limxa g(x) = ℓ′. Supposons > ℓ′. Les intervalles ]−∞, (+ℓ′)/(2)[ et ](+ℓ′)/(2), +∞[ sont ouverts et contiennent respectivement ℓ′ et , donc il existe un intervalle J (à gauche ou à droite de a) tel que pour tout xJ, f(x) > (+ℓ′)/(2) > g(x), ce qui contredit l’hypothèse.
Propriété
Une fonction ne peut admettre deux limites différentes du même côté.
Démonstration
Si une fonction admet deux limites différentes et ℓ′ (du même côté à gauche ou à droite) en un même réel a, comme elle est inférieure ou égale à elle-même on en déduit ℓ′ et ℓ′ donc = ℓ′.
Définition
Soit f une fonction définie sur des intervalles ouverts à gauche et à droite d’un réel a mais pas en a lui-même. Soit R.
On dit que f admet comme limite en a et on note limxa f(x) = si limxax<a f(x) = limxax>a f(x) = .
Si la fonction f admet une valeur en a, la définition de la limite recouvre en plus que limxa f(x) = f(a).

De façon équivalente, on peut écrire limxa f(x) = si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ 𝒟f on a |xa| < η|f(x) − | < ε.

Théorème d’encadrement
Soient f, g et h trois fonctions définies sur un même intervalle I à gauche ou à droite d’un réel a.
Si pour tout xI on a f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et g admettent une même limite finie (à gauche ou à droite) en a alors limxa g(x) = .
Démonstration
Soit ε > 0. Il existe un intervalle contenant a (respectivement, à gauche ou à droite de a) sur lequel on a |f(x) − | < ε et |h(x) − | < ε donc ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < + ε.
Propriétés
Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle ouvert d’extrémité aR.

Les mêmes relations sont valables avec les limites à gauche ou à droite.

Démonstration
On démontre successivement les deux propriétés sur un intervalle I ouvert contenant a (respectivement à gauche ou à droite de a).

Si g est bornée, il existe MR+∗ tel que pour tout xI, |g(x)|M. Si en plus limxa f(x) = 0, pour tout ε > 0, il existe un intervalle ouvert J (respectivement à gauche ou à droite de a) tel que pour tout xJ on ait |f(x)| < ε/M, d’où |f(x) × g(x)|ε.

Supposons maintenant limxa f(x) = et limxa g(x) = ℓ′. Soit ε > 0. Il existe un intervalle ouvert J contenant a (respectivement à gauche ou à droite de a) tel que pour tout xJ on ait |f(x) − | < ε/2 et |g(x) − ℓ′| < ε/2 donc |f(x) + g(x) − ( + ℓ′)||f(x) − | + |g(x) − ℓ′| < ε.

Avec les mêmes hypothèses, on a pour tout xI, f(x) × g(x) − ℓ′ = (f(x) − )g(x) + × (g(x) − ℓ′) or d’une part limxa f(x) − = 0 avec g bornée sur J donc limxa (f(x) − )g(x) = 0, d’autre part limxa g(x) − ℓ′ = 0 donc limxa (g(x) − ℓ′) = 0 donc limxa f(x) × g(x) − ℓ′ = 0.

Limite d’une composée
Soit f et g deux fonctions réelles d'une variable réelle telles que gf soit définie sur un intervalle ouvert d’extrémité aR. Soit (b, ) ∈ R2 tels que limxa f(x) = b et limxb g(x) = . Alors limxa g(f(x)) = .
Démonstration
Soit K un intervalle ouvert contenant . Il existe un intervalle ouvert J contenant b tel que pour tout yJ on a g(y) ∈ K. Il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout xI on a f(x) ∈ J donc g(f(x)) ∈ K.

Continuité

Définition
Soit f une fonction réelle définie en un réel a.
On dit que f est continue en a si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout xI ∩ 𝒟f on a f(x) ∈ J.
Exemple
Les fonctions constantes, identité, inverse et racine carrée sont continues en tout point de leur domaine de définition.
Démonstration

On démontre également la continuité des autres fonctions de référence ln, exp, sin, cos

Propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle non dégénéré I et soit aI. La fonction f et continue en a si et seulement si limxa f(x) = f(a).
Propriété
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle non dégénéré I. Si f et g sont toutes deux continues en un réel  aI alors les fonctions f + g et f × g sont continues aussi en a.

En particulier, toutes les fonctions puissances d'exposant entier naturel sont continues sur R.

Propriété
Soit f une fonction réelle continue en un réel a. Soit g une fonction réelle continue en f(a). Alors la composée gf est continue en a.
Démonstration
On applique la caractérisation de la continuité par les limites.

On en déduit notamment que tout quotient de fonctions continues est continu sur son domaine de définition.

Définition
Soit I un intervalle réel non dégénéré. Soit aI et soit f une fonction réelle définie sur I\a.
On dit que la fonction f est prolongeable par continuité sur I si elle admet une limite finie en a. Dans ce cas, on appelle prolongement par continuité de f à I la fonction ~f définie sur I par xI \ a, ~f(x) = f(x) et ~f(a) = limxa f(x).
Propriété
Le prolongement par continuité d’une fonction continue est continu.
Démonstration
Par construction, la fonction ~f est continue en dehors de a et on a limxa ; xa ~f(x) = limxa f(x) = ~f(a).

Nombre dérivé

Définitions
Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I.

Le taux d’accroissement (ou taux de variation) de f entre deux réels a et b distincts dans I est le quotient f(b) − f(a) / ba, correspondant au coefficient directeur de la corde sur la courbe de f entre les points d’abscisse a et b.

Le nombre dérivé (resp. à gauche, resp. à droite) de f en a est la limite, si elle existe, du taux d’accroissement f(a+h) − f(a) / h lorsque h tend vers 0 (resp. par valeurs inférieures, resp. par valeurs supérieures). On le note alors f′(a) (resp. fg(a) ou f′(a), resp. fd(a) ou f′(a+) et on dit dans ce cas que la fonction f est dérivable (resp. à gauche, resp. à droite) en a.

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est alors la droite d’équation y = f′(a) × (xa) + f(a).

La tangente est la droite limite approchée par les droites qui portent les cordes sur la courbe représentative de la fonction.

Propriété
Toute fonction dérivable en un point de son domaine de définition est continue en ce point.
Démonstration
Soit f une fonction dérivable en un point a de son domaine de définition. Alors on a limh→0 (f(a+h) − f(a))/(h) = f′(a) et limh→0 h = 0 donc par produit on trouve limh→0 f(a+h) − f(a) = 0 donc limh→0 f(a+h) = f(a).

Donc la fonction f est bien continue en a.

Propriété
Soient u et v deux fonctions définies sur I et dérivables en un même réel aI.

Pour tout λR, la fonction λu + v est dérivable en a et on a (λu + v)′(a) = λu′(a) + v′(a).

De même, la fonction u × v est dérivable en a et on a (u × v)′(a) = u′(a)v(a) + u(a)v′(a).

Si en outre on a v(a) ≠ 0 alors la fonction v ne s’annule pas sur un intervalle ouvert contenant a et la fonction 1/v est dérivable en a avec (1 / v)(a) = v′(a)/(v(a))2.

Avec la même hypothèse, le quotient u/v est dérivable en a avec (u / v)(a) = u′(a)v(a) − u(a)v′(a) / (v(a))2.

Démonstration
On calcule successivement les taux d’accroissement avant de calculer leur limite.

Pour tout hR tel que a + hI, on a (λu + v)(a+h) − (λu + v)(a) / hλu(a+h) − u(a) / h + v(a+h) − v(a) / h.

Donc on trouve limh→0 (λu + v)(a+h) − (λu + v)(a) / hλu′(a) + v′(a).

De même, pour tout hR tel que a + hI, on a (u × v)(a+h) − (u × v)(a) / h (u(a+h) − u(a)) × v(a+h) + u(a) × (v(a + h) − v(a)) / h u(a+h) − u(a)) / h × v(a+h) + u(a) × v(a + h) − v(a) / h.

Donc on trouve limh→0 (u × v)(a+h) − (u × v)(a) / h = u′(a) v(a) + u(a) v′(a) par continuité de u et de v en a.

Si on rajoute l’hypothèse v(a) ≠ 0, alors par continuité de v en a on trouve bien que la fonction v ne s’annule pas sur un intervalle ouvert contenant a et on calcule pour tout hR tel que a + h soit dans cet intervalle ouvert, 1/v(a + h)1/v(a) / hv(a) − v(a + h) / v(a) v(a + h) × 1 / h−(v(a + h) − v(a)) / h × 1 / v(a) v(a + h).

Donc on trouve limh→0 1/v(a + h)1/v(a) / h = v′(a)/(v(a))2.

Le calcul pour le quotient s’obtient en dérivant le produit u × 1 / v.

Propriété
Pour tout nN, si f : xxn alors pour tout xR, f′(x) = n xn−1.
Démonstration
On raisonne par récurrence.

Pour n = 1, la fonction f : xx vérifie bien pour tout xR, f′(x) = 1 = 1x0.

Soit nN tel que la formule soit vraie au rang n. Alors en posant u : xxn et v : xx on trouve pour tout xR, (u × v)(x) = xn+1 et (u × v)′(x) = nxn−1 x + xn × 1 = (n + 1)xn.

Dérivée d’une composée
Soit u une fonction définie sur I à valeurs dans J et soit g une fonction réelle définie sur J telles que u soit dérivable en un réel aI et g soit dérivable en b = u(a) ∈ J.
Alors la fonction composée gu : xg(u(x)) est dérivable en a et on a (gu)′(a) = u′(a) × g′(u(a)).
Démonstration
On pose pour tout xJ \ {b}, τ(x) = g(x) − g(b) / xb et τ(b) = g′(b). Par définition, la fonction τ est continue en b et pour tout hR tel que a + hI, on a g(u(a + h)) − g(u(a)) / h = u(a + h) − u(a) / h × τ(u(a + h)).

Donc on trouve limh→0 g(u(a + h)) − g(u(a)) / h = u′(a) × g′(u(a)).

Dérivée de la réciproque
Soit f une fonction bijective de I vers J et dérivable en un point aI avec f′(a) ≠ 0, telle que sa réciproque f−1 soit continue en f(a). Alors la réciproque est dérivable en b = f(a) et on a (f−1)′(b) = 1/f′(a)
Pour tout hR tel que a + hI, on pose k = f−1(b + h) − f−1(b).

On en déduit f(a + k) = f(a) + h puis f−1(b + h) − f−1(b) / h = k / f(a + k) − f(a).

Donc on trouve limh→0 f−1(b + h) − f−1(b) / h = 1 / f′(a).

Cette formule permet de justifier la dérivabilité et l’expression de la dérivée pour les fonctions ln et arctan à partir de l’expression des dérivées de exp et tan.

Étude locale

Propriété
Soit f une fonction dérivable en un réel a. Alors f admet un développement limité à l’ordre 1 en a, c’est-à-dire qu’il existe une fonction ε telle que f(x) = f(a) + f′(a) × (xa) + (xa)ε(x) avec limxa ε(x) = 0.
Démonstration
On pose pour tout xa, ε(x) = (f(x) − f(a))/(xa)f′(a) et ε(a) = 0. La fonction ε satisfait alors les conditions de l’énoncé.
Définition
Soit f une fonction réelle définie sur un domaine DR. Soit aD. On dit que f admet un maximum local (resp. minimum local) en a s'il existe un intervalle ouvert J contenant a tel que pour tout xJ on ait f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)).
On dit que f admet un extremum local en a si elle y admet un maximum local ou un minimum local.
Remarque
Tout maximum global est un maximum local et tout minimum global est un minimum local.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit aI.
On dit que a est un point critique pour f si f est dérivable en a avec f′(a) = 0.
Condition nécessaire pour un extremum local
Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en un point a à l’intérieur de I (c’est-à-dire en dehors des bornes) et si f est dérivable en a alors on a f′(a) = 0.
Démonstration
Si f admet un minimum local en a, alors la fonction hf(a + h) − f(a) est positive au intervalle ouvert de 0 donc le taux d’accroissement f(a+h) − f(a) / h est négatif au intervalle ouvert à gauche de 0 et positif au intervalle ouvert à droite de 0 donc la limite commune à droite et à gauche est nulle. De même, si f admet un maximum local en f, le taux d’accroissement est positif à gauche en 0 et négatif à droite en 0 donc sa limite en 0 est nulle.
Condition nécessaire pour un minimum aux bornes
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a, b].
Si f admet un minimum en a alors f′(a) ≥ 0. Si f admet un minimum en b alors f′(b) ≤ 0.