Nombres réels

Reprenons pied sur le réel
Révisions
Entiers naturels
Notions
Structure de corps, neutre, opposé, inverse, produits en croix, puissances (y compris avec un exposant négatif)
Racine carrée, équation du second degré et discriminant
Définitions
Intervalles, majoration, minoration, partie bornée, maximum et minimum, borne supérieure et borne inférieure, partie entière et partie fractionnaire, valeur absolue
Résultats
Identités remarquables, règle d’annulation du produit, règle des signes, inégalité de Bernoulli, propriété de la borne supérieure
Factorisation et signe d’un trinôme du second degré, inégalité triangulaire
Compétences
Effectuer les opérations arithmétiques sur les fractions dont la puissance et la réduction
Comparer des fractions
Réduire des radicaux d’entiers
Développer et factoriser
Résoudre des équations du premier et du second degré, des équations avec radicaux ou avec valeur absolue, des inéquations

Les nombres réels peuvent se concevoir comme les nombres s’écrivant avec un signe (positif ou négatif), un nombre fini de chiffres avant la virgule et une suite infinie de chiffres (éventuellement nuls) après la virgule.

Opérations arithmétiques

Définitions

L’ensemble R, muni des opérations d'addition et de multiplication, est un corps commutatif, c'est-à-dire qu'il satisfait les propriétés suivantes :

Pour tout couple de réels (a, b), on définit alors la différence ab = a + (−b), résultat de la soustraction et si b ≠ 0, le quotient  a/b = a / b = a × b−1 est le résultat de la division.

Pour tout réel a, on définit aussi son carré a2 = a × a.

Premières conséquences

Tout nombre réel a un seul opposé et tout nombre réel non nul a un seul inverse.

Le seul réel qui est égal à son opposé est 0.

Tout nombre réel est l'opposé de son opposé.

Le nombre 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout réel a, on a 0 × a = 0, donc 0 n'a pas d'inverse.

On en déduit aussi que pour tout réel a, on a a = (−1) × a et en particulier, (−1)2 = (−1) × (−1) = −(−1) = 1.

On trouve aussi que l'inverse d'un nombre réel non nul n'est jamais nul et que tout nombre réel non nul est l'inverse de son inverse.

Changement de signe
Pour tout (a, b) ∈ R2, on a −(a + b) = −ab et −(ab) = −a + b.
Identités remarquables
Pour tout (a, b) ∈ R2, on a :
  • (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
  • (ab)2 = a2 + b2 − 2ab
  • (a + b)(ab) = a2b2.
Règle d’annulation du produit
Le produit de deux réels est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.

Fractions

Pour tout (a, b, c, d) ∈ R4 tel que c ≠ 0 et d ≠ 0, on a les propriétés suivantes.

Caractérisation de l'égalité avec les produits en croix
a/c = b/dad = bc
Propriétés de calcul
  • a = a/1
  • a/c × b/d = ab/cd
  • a/c + b/c = a + b/c
  • a/c + b/d = ad + bc/cd
  • a/c = a/c = a/c
  • 1 / c/d = d/c.

Puissances

On définit par récurrence les puissances de tout nombre réel a par a0 = 1 et pour tout nN, an+1 = an × a.

Opérations sur les puissances
Pour tout (a, b, n, p) ∈ R2 × N2, on a
  • an+p = an × ap
  • (an)p = an×p
  • (ab)n = anbn
  • si b ≠ 0, (a/b)n = an/bn

Puis on définit pour tout (a, n) ∈ R × N, an = 1/an, ce qui permet de généraliser les formules d'opérations sur les puissances avec des exposants entiers relatifs, à condition que la base soit non nulle.

Sommes et produits

Propriété
Soient (xp, … , xq) et (yp, … , yq) deux familles de réels. On a i=pq (xi + yi) = i=pq xi + i=pq yi et pour tout λR, λi=pq xi = i=pq λxi.
Définition
Une combinaison linéaire de réels x1, …, xp avec les coefficients λ1, …, λp est la somme i=1p λixi .
Somme géométrique
Soit qR ∖ {1}. Pour tout nN, on a k=0n qk = (1 − qn+1)/(1 − q).
Démonstration
On procède par récurrence.

Pour n = 0, on trouve k=00 qk = q0 = 1 = (1 − q)/(1 − q).

Soit n tel que k=0n qk = (1 − qn+1)/(1 − q). On calcule k=0n+1 qk = k=0n qk + qn+1 = (1 − qn+1)/(1 − q) + ((1 − q)qn+1)/(1 − q) = (1 − qn+2)/(1 − q).

Formule du binôme de Newton
Pour tout (a, b, n) ∈ R2 × N, (a + b)n = k=0n (k parmi n) akbnk.
Démonstration
On procède par récurrence pour tout (a, b) ∈ R2.

Pour n = 0, on trouve (a + b)0 = 1 et k=00 (k parmi 0) akbk = (0 parmi 0) a0b0 = 1.

Soit nN tel que la propriété soit vraie au rang n.
On a (a + b)n+1 = (a + b)n × (a + b) = k=0n (k parmi n) ak+1bnk + k=0n (k parmi n) akbn+1−k = k=0n−1 (k parmi n) ak+1bnk + an+1 + bn+1 + k=1n (k parmi n) akbn+1−k = an+1 + k=1n (k−1 parmi n) akbn+1−k + k=1n (k parmi n) akbn+1−k + bn+1 = an+1 + k=1n (k parmi n+1) akbn+1−k + bn+1 = k=0n+1 (k parmi n+1) akbn+1−k .

Formule de Bernoulli
Pour tout (a, b, n) ∈ R2 × N, anbn = (ab) × k=0n−1 akbnk−1.
Démonstration
On calcule directement (ab) × k=0n−1 akbnk−1 = k=0n−1 ak+1bnk−1k=0n−1 akbnk = k=1n akbnkk=0n−1 akbnk = anbn.
Propriété
Soient (xp, … , xq) et (yp, … , yq) deux familles de réels. On a i=pq (xi × yi) = i=pq xi × i=pq yi et pour tout nN, (i=pq xi)n = i=pq xin.
Si la famille (yp, … , yq) ne s’annule pas, i=pq (xi)/(yi) = (i=pq xi)/(i=pq yi)

Relation d’ordre

L'ensemble R est muni d'un ordre total. On dit qu'un réel est positif s'il est supérieur ou égal à 0. Il est négatif s'il est inférieur ou égal à 0. En particulier, 0 est le seul réel qui soit à la fois positif et négatif.

Règles de compatibilité

Les opérations d’addition et de multiplication sont compatibles avec la relation d’ordre total, c’est-à-dire qu’on a pour tout (a, b, c) ∈ R3 :

La règle de compatibilité avec l’addition aboutit aux propriétés suivantes.

Propriété
Pour tout (a, b, c, d) ∈ R4 :

En particulier, l'opposé d'un réel positif est négatif, et réciproquement.

La deuxième règle de compatibilité donne alors la règle des signes.

Règle des signes
× +
+ +
+
Règle des signes
Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif ; le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

En particulier, tout carré est positif, donc 1 est positif.

Cette règle permet aussi de démontrer les propriétés suivantes.

Propriété
Pour tout (a, b, c, d) ∈ R4 :
Propriété
On a les équivalences suivantes :

Inégalités sur les puissances

Propriété
Pour tout (a, b, n, p) ∈ R2 × N2,
Inégalité de Bernoulli
Pour tout xR tel que x ≥ −1, pour tout nN, on a (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Démonstration
Soit xR tel que x ≥ −1. On procède par récurrence.

On a (1 + x)0 = 1 = 1 + 0x donc la propriété est vraie au rang 0.

Soit nN tel que (1 + x)n ≥ 1 + nx. On a (1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) or 1 + x ≥ 0 donc on trouve (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x.

Finalement, par principe de récurrence, l’inégalité est vraie pour tout nN.

Sous-ensembles de réels

Intervalles

Définitions
Pour tout (a, b) ∈ R2 tel que a < b, on définit quatre intervalles d’extrémités a et b, qui sont :
fermé
[a, b] = {xR : axb}
ouvert
]a, b[ = {xR : a < x < b}
semi-ouvert à gauche
]a, b] = {xR : a < xb}
semi-ouvert à droite
[a, b[ = {xR : ax < b}
Pour tout aR on définit aussi deux intervalles fermés [a, +∞[ = {xR : ax} et ]−∞, a] = {xR : xa} et deux intervalles ouverts ]a, +∞[ = {xR : a < x} et ]−∞, a[ = {xR : x < a}.

Les éléments −∞ et +∞ ne représentent pas des réels, mais peuvent être conçus comme des éléments supplémentaires d'un ensemble appelé droite réelle continuée et noté R.

L'ensemble R = ]−∞ ; +∞[ est aussi un intervalle (à la fois ouvert et fermé), de même que les intervalles dégénérés que sont le vide et les singletons de la forme {a}.

On note aussi R+ = {xR : x ≥ 0} = [0 ; +∞[ et R = {xR : x ≤ 0} = ]−∞ ; 0]. Un éventuel astérisque indique que l’on exclut 0 : R* = {xR : x ≠ 0} = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.

Propriété
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b.
L'intervalle ]a, b[ contient le réel a + b/2 donc il est non vide.

Majoration, minoration et extremum

Définition
Soit A une partie de R.
Elle est dite minorée s'il existe mR (appelé minorant) tel que pour tout xA, on ait mx.
Elle est dite majorée s'il existe MR (appelé majorant) tel que pour tout xA, on ait xM.
Elle est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Un maximum (ou plus grand élément) de A est un majorant de A qui appartient à A.
Un minimum (ou plus petit élément) de A est un minorant de A qui appartient à A.
Remarque
Toute partie majorée admet plusieurs majorants distincts et toute partie minorée admet plusieurs minorants distincts.
Exemple
L'intervalle ]0 ; 1] est majoré par 1 (mais aussi par 2 et par tout nombre plus grand que 1), minoré par 0 (mais aussi par tout nombre négatif). Il admet 1 comme maximum mais n'admet pas de minimum.
Propriété
Une partie ne peut admettre deux maximums distincts, ni deux minimums distincts.

On note respectivement max(A) et min(A) le maximum et le minimum d'une partie A de R, lorsqu'ils existent.

Propriété
Toute partie finie non vide de R admet un maximum et un minimum.
En particulier, toute partie de N non vide et majorée admet un maximum.

Borne supérieure ou inférieure

Définition
Soit A une partie de R et mR. On dit que m est une borne supérieure pour A si m est le plus petit des majorants de A. Dans ce cas, on note m = sup A.

L’ensemble R est complet, c’est-à-dire qu’il vérifie la propriété suivante.

Propriété de la borne supérieure
Toute partie non vide et majorée dans R admet une borne supérieure.

On en déduit la propriété duale.

Définition
Soit A une partie de R et mR. On dit que m est une borne inférieure pour A si m est le plus grand des minorants de A. Dans ce cas, on note m = inf A.
Propriété
Toute partie non vide minorée dans R admet une borne inférieure.
Démonstration
Soit A une partie minorée non vide de R.

On note B l’ensemble de ses minorants. Par construction, tout élément de A est donc supérieur à tout élément de B.

Par définition, l’ensemble B est non vide et il existe au moins un élément de A qui majore B. D’après la propriété précédente, l’ensemble B admet une borne supérieure que l’on peut noter s.

Tout élément aA majore B donc vérifie as. Donc s est bien un minorant de A.

Soit b un minorant de A. Par définition, on a bB donc bs. Finalement, s est bien le plus grand des minorants de A.

En particulier, ces propriétés permettent de démontrer le résultat suivant.

Propriété
Soit A un convexe de R, c'est-à-dire une partie de R satisfaisant la propriété suivante : pour tout (x, y, z) ∈ R3, si xA et zA avec xyz alors yA. Alors A est un intervalle.
Propriété d’Archimède
L’ensemble R est archimédien, c’est-à-dire que pour tout xR+, pour tout δR+∗, il existe nN tel que nδx.
Définition
Pour tout réel x, le plus grand entier relatif inférieur à x est appelé partie entière de x et noté x ou E(x).
Propriété
Pour tout xR on a x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1.

Pour tout xR, la différence x − ⌊x⌋ ∈ [0 ; 1[ est la partie fractionnaire de x, parfois notée {x} (s’il n’y a pas confusion avec le singleton).

Racine carrée

Définition et premières propriétés

Pour tout xR+ il existe un unique rR+ tel que r2 = x. On le note (x) et on l'appelle racine carrée de x.

En particulier, on a (0) = 0 et (1) = 1.

Opérations sur les radicaux
Pour tout (a, b) ∈ (R+)2 on a (a) × (b) = (a × b) et si b > 0, ((a))/((b)) = ((a)/(b))
Pour tout (a, n) ∈ R+ × N on a ((a))n = (an).
Inégalités avec les radicaux
Pour tout (a, b) ∈ (R+)2, on a l'équivalence ab  ⇔  (a)(b).
Pour tout a ∈ ]0 ; 1[, on a (a) > a
et pour tout a ∈ ]1 ; +∞[, on a (a) < a.

Trinôme du second degré

Définitions

Un trinôme du second degré à coefficients réels en la variable x est une expression s'écrivant sous la forme ax2 + bx + c, où a, b et c sont trois réels indépendants de x avec a ≠ 0. Dans ce cas, le réel Δ = b2 − 4ac est appelé discriminant du trinôme.

L'équation ax2 + bx + c = 0 d’inconnue x est alors appelée équation du second degré et ses solutions sont les racines du trinôme.

Propriété
On distingue trois cas.
Démonstration
Soit (a, b, c) ∈ R* × R2. On note Δ = b2 − 4ac.

Pour tout xR on a ax2 + bx + c = a(x2 + b/a x + c/a) = a((x + b/2a)2b2/4a2 + 4ac/4a2)
= a((x + b/2a)2Δ/4a2)
dont la dernière forme est appelée forme canonique et on se ramène bien à l'un des trois cas suivants.

Propriété
Le signe d'un trinôme du second degré ax2 + bx + c est du signe de son coefficient dominant a sauf entre ses éventuelles racines.
On distingue deux cas en fonction du signe du discriminant.

Valeur absolue

Formulation analytique

Définition
La valeur absolue d’un réel x se note |x| et est définie par : |x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x sinon.
Propriété
Pour tout xR on a |x| = (x2).
Propriété
Pour tout xR on a l’égalité |x| = |x| et les inégalités : |x| ≥ 0 et |x|x|x|.
Soit xR. On distingue deux cas.

Relations algébriques

Propriété
Pour tout (x, y) ∈ R2, |x × y| = |x| × |y|
et si y ≠ 0, |x/y| = |x| / |y|.
Démonstration
On distingue les quatre cas selon les signes de x et de y.
Inégalité triangulaire
Pour tout (x, y) ∈ R2, on a |x + y||x| + |y| avec égalité si et seulement si x et y sont de même signe.
Démonstration
Puisque les deux expressions sont positives, l'inégalité est équivalente à (x + y)2(|x| + |y|)2
x2 + y2 + 2xyx2 + y2 + 2|xy|
⇔ 2xy ≤ 2|xy|
, ce qui est vrai d'après les inégalités sur la valeur absolue. Le cas d'égalité correspond aux relations xy = |xy|  ⇔  xy ≥ 0 ce qui donne la condition annoncée par règle des signes.

Équations et inéquations

Propriété
On démontre les résultats suivants pour tout (A, B) ∈ R2.