Nombres réels

Reprenons pied sur le réel
Nerval, Les Filles du feu, « Sylvie », 1854, p. 597.
Notions
Structure de corps, neutre, opposé, inverse, produits en croix, puissances (y compris avec un exposant négatif)
Racine carrée, équation du second degré et discriminant
Définitions
Associativité, commutativité et distributivité, carré d’un nombre réel
Partie entière et partie fractionnaire, valeur absolue
Résultats
Identités remarquables, règle d’annulation du produit, règle des signes, inégalité de Bernoulli
Factorisation et signe d’un trinôme du second degré, inégalité triangulaire

Les nombres réels peuvent se concevoir comme les nombres s’écrivant avec un signe (positif ou négatif), un nombre fini de chiffres avant la virgule et une suite infinie de chiffres (éventuellement nuls) après la virgule.

Opérations arithmétiques

Définitions

L’ensemble R, muni des opérations d'addition et de multiplication, est un corps commutatif, c'est-à-dire qu'il satisfait les propriétés suivantes :

Pour tout couple de réels (a, b), on définit alors la différence ab = a + (−b), résultat de la soustraction et si b ≠ 0, le quotient  a/b = a / b = a × b−1 est le résultat de la division.

Pour tout réel a, on définit aussi son carré a2 = a × a.

Premières propriétés

Tout nombre réel a un seul opposé et tout nombre réel non nul a un seul inverse.

Tout nombre réel est l'opposé de son opposé.

Le nombre 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout réel a, on a 0 × a = 0, donc 0 n'a pas d'inverse.

On en déduit aussi que pour tout réel a, on a a = (−1) × a et en particulier, (−1)2 = (−1) × (−1) = −(−1) = 1.

On trouve aussi que l'inverse d'un nombre réel non nul n'est jamais nul et que tout nombre réel non nul est l'inverse de son inverse.

Changement de signe
Pour tout (a, b) ∈ R2, on a −(a + b) = −ab et −(ab) = −a + b.
Identités remarquables
Pour tout (a, b) ∈ R2, on a :
  • (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
  • (ab)2 = a2 + b2 − 2ab
  • (a + b)(ab) = a2b2.
Règle d’annulation du produit
Le produit de deux réels est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.

Fractions

Pour tout (a, b, c, d) ∈ R4 tel que c ≠ 0 et d ≠ 0, on a les propriétés suivantes.

Caractérisation de l'égalité avec les produits en croix
a/c = b/dad = bc
Propriétés de calcul
  • a = a/1
  • a/c × b/d = ab/cd
  • a/c + b/c = a + b/c
  • a/c + b/d = ad + bc/cd
  • a/c = a/c = a/c
  • 1 / c/d = d/c.

Puissances

On définit par récurrence les puissances de tout nombre réel a par a0 = 1 et pour tout nN, an+1 = an × a.

Opérations sur les puissances
Pour tout (a, b, n, p) ∈ R2 × N2, on a
  • an+p = an × ap
  • (an)p = an×p
  • (ab)n = anbn
  • si b ≠ 0, (a/b)n = an/bn

Puis on définit pour tout (a, n) ∈ R × N, an = 1/an, ce qui permet de généraliser les formules d'opérations sur les puissances avec des exposants entiers relatifs, à condition que la base soit non nulle.

Relation d’ordre total

L'ensemble R est muni d'un ordre total. On dit qu'un réel est positif s'il est supérieur ou égal à 0. Il est négatif s'il est inférieur ou égal à 0. En particulier, 0 est le seul réel qui soit à la fois positif et négatif.

La relation d’ordre sur R permet aussi de définir les intervalles réels.

Règles de compatibilité

Les opérations d’addition et de multiplication sont compatibles avec la relation d’ordre total, c’est-à-dire qu’on a pour tout (a, b, c) ∈ R3 :

La règle de compatibilité avec l’addition aboutit aux propriétés suivantes.

Propriété
Pour tout (a, b, c, d) ∈ R4 :

En particulier, l'opposé d'un réel positif est négatif, et réciproquement.

La deuxième règle de compatibilité donne alors la règle des signes.

Règle des signes
× +
+ +
+
Règle des signes
Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif ; le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

En particulier, tout carré est positif, donc 1 est positif.

Cette règle permet aussi de démontrer les propriétés suivantes.

Pour tout (a, b, c, d) ∈ R4 :
Propriété
On a les équivalences suivantes :

Inégalités sur les puissances

Propriété
Pour tout (a, b, n, p) ∈ R2 × N2,
Inégalité de Bernoulli
Pour tout xR tel que x ≥ −1, pour tout nN, on a (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Soit xR tel que x ≥ −1. On procède par récurrence.

On a (1 + x)0 = 1 = 1 + 0x donc la propriété est vraie au rang 0.

Soit nN tel que (1 + x)n ≥ 1 + nx. On a (1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) or 1 + x ≥ 0 donc on trouve (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x.

Finalement, par principe de récurrence, l’inégalité est vraie pour tout nN.

Partie entière

Pour tout réel x, le plus grand entier relatif inférieur à x est appelé partie entière de x et noté E(x) ou x.

Propriété
Pour tout xR on a E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Pour tout xR, la différence x − E(x) ∈ [0 ; 1[ est la partie fractionnaire de x.

Racine carrée

Définition et premières propriétés

Pour tout xR+ il existe un unique rR+ tel que r2 = x. On le note x et on l'appelle racine carrée de x.

En particulier, on a 0 = 0 et 1 = 1.

Opérations sur les radicaux
Pour tout (a, b) ∈ (R+)2 on a a × b = a × b et si b > 0, a/b = a / b
Pour tout (a, n) ∈ R+ × N on a an = (a)n.
Inégalités avec les radicaux
Pour tout (a, b) ∈ (R+)2, on a l'équivalence ab  ⇔  ab.
Pour tout a ∈ ]0 ; 1[, on a a > a
et pour tout a ∈ ]1 ; +∞[, on a a < a.

Trinôme du second degré

Un trinôme du second degré à coefficients réels en la variable x est une expression s'écrivant sous la forme ax2 + bx + c, où a, b et c sont trois réels indépendants de x avec a ≠ 0. Dans ce cas, le réel Δ = b2 − 4ac est appelé discriminant du trinôme.

L'équation ax2 + bx + c = 0 d’inconnue x est alors appelée équation du second degré et ses solutions sont les racines du trinôme.

Propriété
On distingue trois cas.
Soit (a, b, c) ∈ R* × R2. On note Δ = b2 − 4ac.

Pour tout xR on a ax2 + bx + c = a(x2 + b/a x + c/a) = a((x + b/2a)2b2/4a2 + 4ac/4a2)
= a((x + b/2a)2Δ/4a2)
dont la dernière forme est appelée forme canonique et on se ramène bien à l'un des trois cas suivants.

Propriété
Le signe d'un trinôme du second degré ax2 + bx + c est du signe de son coefficient dominant a sauf entre ses éventuelles racines.
On distingue deux cas en fonction du signe du discriminant.

Valeur absolue

Formulation analytique

La valeur absolue d’un réel x se note |x| et est définie par : |x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x sinon.

Propriété
Pour tout xR on a |x| = x2.
Propriété
Pour tout xR on a l’égalité |x| = |x| et les inégalités : |x| ≥ 0 et |x|x|x|.
Soit xR. On distingue deux cas.

Relations algébriques

Propriété
Pour tout (x, y) ∈ R2, |x × y| = |x| × |y|
et si y ≠ 0, |x/y| = |x| / |y|.
On distingue les quatre cas selon les signes de x et de y.
Inégalité triangulaire
Pour tout (x, y) ∈ R2, on a |x + y||x| + |y| avec égalité si et seulement si x et y sont de même signe.
Puisque les deux expressions sont positives, l'inégalité est équivalente à (x + y)2(|x| + |y|)2
x2 + y2 + 2xyx2 + y2 + 2|xy|
⇔ 2xy ≤ 2|xy|
, ce qui est vrai d'après la propriété précédente. Le cas d'égalité correspond aux relations xy = |xy|  ⇔  xy ≥ 0 ce qui donne la condition annoncée par règle des signes.

Équations et inéquations

Propriété
On démontre les résultats suivants pour tout (A, B) ∈ R2.