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Loi de composition interne

Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E×E vers E, souvent notée de façon infixe (x, y) ↦ xy.

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée .

On dit que la loi est associative si pour tout (x, y, z) ∈ E3 on a (xy) ∗ z = x ∗ (yz).

On dit que la loi est commutative si pour tout (x, y) ∈ E2 on a xy = yx.

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée . Soit eE. On dit que e est un neutre pour la loi  si pour tout xE on a xe = ex = x.

Une loi de composition interne ne peut admettre deux neutres différents.

Soit e et e′ deux neutres pour une loi de composition interne  sur un ensemble E. On trouve e = ee′ = e′.

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée  avec un neutre noté e. Soit (x, y) ∈ E2. On dit que y est symétrique de x pour la loi  si on a xy = yx = e.

Un élément donné ne peut avoir qu'un seul symétrique pour une loi et quand c'est le cas, il est le symétrique de son symétrique.

Groupe

Un groupe est un ensemble G muni d'une loi de composition interne associative avec un neutre et pour laquelle tous les éléments de G admettent un symétrique.

Un groupe est dit abélien si sa loi de composition interne est commutative.

Sauf précision explicite, la composition dans un groupe peut être notée additivement ou multiplicativement.

Soit G un groupe. En notation multiplicative, pour tout (a, b) ∈ G2 on a (ab)−1 = b−1a−1.

On a bien (ab) ∗ (b−1a−1) = a ∗ (bb−1) ∗ a−1 = a ∗ 1 ∗ a−1 = aa−1 = 1 et (b−1a−1) ∗ (ab) = b−1 ∗ (a−1a) ∗ b = b−1 ∗ 1 ∗ b = b−1b = 1.

Cette relation s'écrit en notation additive ∀(a, b) ∈ G2, −(a + b) = (−a) + (−b).

Corps commutatif

Soit K un ensemble muni de deux lois de composition internes notées + et ×. On dit que K forme un corps commutatif si

Sauf précision contraire, dans un corps commutatif K, la première loi est notée additivement et la seconde multiplicativement. On définit aussi la soustraction en posant pour tout (a, b) ∈ K2, ab = a + (−b) et la division en posant pour tout (a, b) ∈ K × K, a/b = a × b−1 .

On définit les puissances de tout élément aK par récurrence en posant a0 = 1 et pour tout nN an+1 = an × a.

Identités remarquables
Pour tout (a, b) ∈ K2, on a :
  • (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
  • (ab)2 = a2 + b2 − 2ab
  • (a + b)(ab) = a2b2.
Opérations sur les puissances
  • ∀(b, n, p) ∈ K × N2, bn+p = bn × bp et (bn)p = bn×p
  • ∀(a, b, n) ∈ K2 × N, (ab)n = anbn
  • ∀(a, b, n) ∈ K × K × N, (a/b)n = an/bn
Formule de Bernoulli
∀(a, b, n) ∈ K2 × N, anbn = (ab) × (k=0n−1 an−1−kbk)

On définit aussi les puissances d'exposant négatif en posant pour tout (a, n) ∈ K × N, an = 1/an.

On obtient alors une extension des opérations sur les puissances avec des exposants entiers relatifs tant que la base est non nulle.