Matrices

Révisions
Vecteurs colonnes à composantes réelles
Notions
Matrice ligne, colonne, élémentaire, identité, carrée, triangulaire, diagonale, scalaire, symétrique ou antisymétrique
Définitions
Produit matriciel, transposée, trace, matrice inversible, déterminant d’une matrice carrée de taille 2
Résultats
Associativité du produit, transposée du produit, non-commutativité du produit, existence de diviseurs de zéro, trace du produit
Unicité de l’inverse, inverse du produit, caractérisation de l’inversibilité, cas d’une matrice carrée de taille 2

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, on appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans R toute famille (ai, j)1≤in, 1≤jp d'éléments de R et on note n, p(R) l'ensemble de ces matrices.

On appelle matrice colonne toute matrice à une seule colonne et matrice ligne toute matrice à une seule ligne.

On appelle matrice élémentaire toute matrice dont un seul coefficient vaut 1 et tous les autres sont nuls. Si ce coefficient est sur la ligne l et la colonne m, on note habituellement cette matrice El, m.

Opérations

Structure linéaire

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, on définit l'addition de deux matrices à n lignes et p colonnes par (ai, j) + (bi, j) = (ai, j + bi, j).

Propriété
Pour tout (n, p) ∈ (N)2, l'addition est associative et commutative sur n, p(R) avec pour neutre la matrice nulle (dont tous les coefficients sont nuls). En outre, toute matrice A = (ai, j) a une opposée A = (−ai, j)

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, et pour tout λR, on définit la multiplication scalaire d'une matrice à n lignes et p colonnes par λ.(ai, j) = (λ × ai, j).

Propriété
L'ensemble n, p(R) des matrices à n lignes et p colonnes est un espace vectoriel sur R, c'est-à-dire qu’il satisfait les propriétés suivantes :

En particulier, pour toute matrice A = (ai, j)∈ ℳn, p(R), on a A = 1 ≤ in, 1 ≤ jp ai, j Ei, j.

On a la décomposition suivante :
12 0−1 = 10 00 + 2 01 0000 01 = E1, 1 + 2 E1, 2 + 0.E2, 1E2, 2.

Produit matriciel

Pour tout (n, p, q) ∈ (N)3, on définit le produit matriciel de deux matrices A = (ai, j) ∈ ℳn, p(R) et B = (bi, j) ∈ ℳp, q(R) par AB = (k=1p ai, k bk, j).

Propriété
Le produit matriciel est associatif, c'est-à-dire que pour tout (n, p, q, r) ∈ (N)4, pour tout A ∈ ℳn, p(R), B ∈ ℳp, q(R) et C ∈ ℳq, r(R) on a A × (B × C) = (A × B) × C.
Propriété
Le produit matriciel est bilinéaire, c'est-à-dire que pour tout (n, p, q) ∈ (N)3,
Définition
Pour tout nN, on appelle matrice identité de taille n la matrice I ∈ ℳn(R) dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 en dehors.

Les coefficients de la matrice identité peuvent être définis à l’aide du symbole de Kronecker : pour tout ij, δi, j = 0 et pour tout i, δi, i = 1. Cette notation permet aussi d'exprimer les coefficients des matrices élémentaires : El, m = (δi, l δj, m).

Propriété
Pour tout (l, m, n, p, q, r, s) ∈ (N)7, si El, m ∈ ℳn, p(R) et Er, s ∈ ℳp, q(R) alors El, m × Er, s = δm, r El, s∈ ℳn, q(R).
Démonstration
Pour tout (i, j) ∈ N2 tel que 1 ≤ in et 1 ≤ jq, le coefficient de la ligne i et de la colonne j dans El, m × Er, s s'écrit k=1p δi, l δk, m δk, r δj, s = δi, l δm, r δj, s donc tous les coefficients sont nuls en dehors de celui de la ligne l et de la colonne s, qui vaut δm, r.
Propriété
Les matrices identités sont neutres pour le produit matriciel : pour tout (n, p) ∈ (N)2, pour tout A ∈ ℳn, p(R), on a In × A = A = A × Ip.
Remarque
Tout système de n équations linéaires sur les inconnues (x1, … , xp) peut s’écrire sous forme matricielle AX = BA est la matrice des coefficients des inconnues dans le système et B est le vecteur colonne listant les seconds membres des équations.

Transposée

Définition
Pour tout (n, p) ∈ (N)2, la transposée d'une matrice A = (ai, j) ∈ ℳn, p(R) est la matrice (aj, i) ∈ ℳp, n(R), en général notée tA ou AT, obtenue en intervertissant lignes et colonnes.

Matrices carrées

Algèbre

On appelle matrice carrée toute matrice ayant autant de lignes que de colonnes.

Soit nN. On note n(R) l'ensemble des matrices de taille n (c'est-à-dire avec n lignes et n colonnes) à coefficients dans R.

Propriété
Le produit matriciel définit une loi de composition interne associative dans n(R), admettant pour neutre la matrice identité In.

En particulier, on peut alors définir les puissances de matrices par récurrence comme pour les puissances de nombres.

Il est tentant de manipuler les matrices comme des scalaires, mais certaines propriétés des corps ne s'appliquent pas à l'ensemble des matrices de taille n > 1.

Non-commutativité du produit
Il existe des matrices carrées de taille n qui ne commutent pas.
Existence de diviseurs de zéro
Le produit de deux matrices non nulles peut donner une matrice nulle. En particulier, ces matrices ne peuvent être inversibles.
Existence de matrices nilpotentes
Il existe des matrices non nulles dont une puissance est nulle.
Suppression de la restriction sur le nombre de solutions d'une équation polynomiale
L'équation du second degré A2A = 0 admet plus de deux solutions.
Démonstration
Tous ces résultats peuvent s'obtenir avec les deux matrices suivantes A = 10 00 et B = 01 00 en calculant leurs produits et leurs carrés.

Ces résultats impliquent notamment que l'on ne peut utiliser directement les identités remarquables, ni la formule du binôme de Newton, ni la différence de puissances. On ne peut pas non plus simplifier une équation de la forme A × B = A × C, ni effectuer de division.

Cependant, les formules des identités remarquables, du binôme de Newton et des différences de puissances sont valables pour un couple de matrices qui commutent. La division est remplacée par une multiplication par l'inverse lorsqu'elle existe.

Propriété
Soient A et B deux matrices carrées de même taille qui commutent. Alors on a
Définition
Soit A ∈ ℳn(R). La trace de A, notée Tr(A) est la somme de ses coefficients diagonaux.

Si A = (ai,j)1≤i,jn alors Tr(A) = i=1n ai,i.

Trace du produit
Pour tout (A, B) ∈ ℳn(R)2, Tr(A × B) = Tr(B × A)
Démonstration
En notant A = (ai,j)1≤i,jn et B = (bi,j)1≤i,jn, on trouve Tr(A × B) = i=1n k=1n ai,k bk,i = k=1n i=1n bk,i ai,k = Tr(B × A)

Triangulaires et diagonales

Définitions
Soit A = (ai, j) ∈ ℳn(R). La matrice A est dit triangulaire supérieure si tous ses coefficients sous-diagonaux sont nuls, c'est-à-dire que pour tout i > j, on a ai, j = 0. De même, elle est dite triangulaire inférieure si pour tout i < j, on a ai, j = 0. Elle est dite diagonale si elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure, c'est-à-dire si pour tout ij on a ai, j = 0. En particulier, elle est dite scalaire si elle est diagonale avec des coefficients diagonaux tous égaux.

On peut noter Diag(λ1, …, λn) la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont listés entre parenthèses.

Propriété
La somme et le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) sont triangulaires supérieures (resp. inférieures) et les coefficients diagonaux du produit sont les produits des coefficients diagonaux homologues. Toute puissance d'une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est triangulaire supérieure (resp. inférieure) et les coefficients diagonaux de la puissance sont les puissances des coefficients diagonaux homologues.
Démonstration
Si (ai,j) et (bi,j) sont les coefficients de deux matrices triangulaires supérieures de taille n, alors pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n2 tel que ij, le coefficient diagonal du produit sur la ligne i et la colonne j s’écrit k=in ai,k bk,j car pour tout k < i, on a ai,k = 0. Comme pour tout k > j, on a bk,j = 0, si j = i il reste uniquement ai,i bi,i, et si i > j le coefficient est nul.
La propriété sur les puissances s’obtient ensuite par récurrence, et les propriétés s’étendent aux matrices triangulaires inférieures à l’aide de la transposée.

Symétriques et antisymétriques

Une matrice carrée est dite symétrique (resp. antisymétrique) si elle est égale à sa transposée (resp. si elle est égale à l'opposé de sa transposée).

Matrices inversibles

Définition
Une matrice carrée A est dite inversible s'il existe une matrice carrée B de même taille telle que A × B = B × A = In. Dans ce cas, la matrice B est une matrice inverse pour A.

Dans l’écriture matricielle d’un système, Ces matrices traduisent respectivement les opérations suivantes :

Propriété
Soit (A, B, B′) ∈ ℳn(R)3. Si A × B = In = B′ × A, alors B = B′ et cette matrice est la seule inverse de A.
Démonstration
On trouve B × (A × B′) = B × In = B et (B × A) × B′ = In × B′ = B′ donc par associativité du produit, on trouve B = B′.

Pour toute matrice A inversible, on note A−1 sa matrice inverse.

Démonstration
Soient A et B deux matrices inversibles de même taille n. On a
Propriété
Pour toute matrice triangulaire supérieure T dont les coefficients diagonaux sont non nuls, il existe une matrice triangulaire supérieure U avec des coefficients diagonaux non nuls telle que U × T = I.
Démonstration
On procède par récurrence sur la taille de la matrice.

Une matrice de 1(R) est réduite à son coefficient diagonal t1,1. S’il est non nul alors la matrice est inversible d’inverse (1/t1,1).

Soit nN tel que la propriété soit vraie pour toute matrice triangulaire de taille n. Soit Tn+1 ∈ ℳn+1(R) une matrice triangulaire avec des coefficients sur la diagonale. Alors on peut noter T = (ti,j)1≤i,jn+1 et la matrice Tn = (ti,j)1≤i,jn est aussi triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux non nuls. Donc par hypothèse de récurrence, il existe Un triangulaire supérieure de taille n avec des coefficients diagonaux non nuls telle que Un × Tn = In.
On prolonge alors Un en une matrice Un+1 ∈ ℳn+1(R) triangulaire supérieure par ui,n+1 = −1/tn+1,n+1 k=1n ui,k tk,n+1 pour tout i ∈ ⟦1 ; n], puis un+1,n+1 = −1/tn+1,n+1 Alors par construction, Un+1 × Tn+1 = In+1 et les coefficients diagonaux de Un+1 sont non nuls.

Propriété
Toute matrice triangulaire avec des coefficients diagonaux non nuls est inversible et a pour inverse une matrice triangulaire de même sens.
Démonstration
On traite d’abord le cas des matrices triangulaires supérieures.

Soit T une matrice triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux non nuls. D’après la propriété précédente, il existe une matrice U triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux non nuls telle que UT = I. Mais il existe aussi une matrice triangulaire V telle que VU = I. Donc V = T est inversible d’inverse U.

Soit T une matrice triangulaire inférieure avec des coefficients diagonaux non nuls. Alors TT est triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux non nuls donc elle admet une inverse U triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux non nuls, donc UT est une matrice triangulaire inférieure, inverse pour T, avec des coefficients diagonaux non nuls.

Propriété
Soit A ∈ ℳn(R). Les propositions suivantes sont équivalentes.
  1. La matrice A est inversible.
  2. Pour tout vecteur colonne YRn, il existe une unique solution X à l’équation A × X = Y.
  3. La seule solution à l’équation A × X = 0 est le vecteur colonne X = 0.
  4. Le système associé à l’équation AX = 0 est de Cramer.
  5. Il existe une matrice B inversible telle que B × A soit inversible.
Démonstration
On démontre les implications cycliques.

Si la matrice A est inversible, alors on a les équivalences A × X = YX = A−1 × Y.

Si pour tout YRn, il existe une unique solution X à l’équation A × X = Y, alors en particulier l’équation A × X = 0 a une seule solution, qui est le vecteur nul.

Si l’équation A × X = 0 a pour seule solution le vecteur nul, alors le système associé a autant d’équations que d’inconnues et une seule solution donc il est de Cramer.

Si le système associé est de Cramer, l’algorithme du pivot de Gauss permet de l’échelonner en un système triangulaire avec des coefficients diagonaux non nuls. En traduisant ces opérations par des multiplications par des matrices de transposition, transvection et dilatation, on obtient une matrice B inversible telle que B × A soit triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux non nuls, donc inversible.

S’il existe B ∈ 𝒢ℒn(R) tel que B × A soit inversible alors A = B−1 × (B × A)−1 donc A est inversible comme produit de matrices inversibles.

Propriété
Une matrice diagonale est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
Démonstration
On procède par disjonction de cas. Soit D = Diag(λ1, …, λn) une matrice diagonale.
Définition
Soit abcd ∈ ℳ2(R). On appelle déterminant de la matrice la différence adbc.
Propriété
Une matrice abcd ∈ ℳ2(R) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul et dans ce cas, son inverse s’écrit 1/adbc dbca.
Démonstration
On procède par disjonction de cas.

Si le déterminant est non nul alors on vérifie que la matrice est inversible en calculant son produit avec la matrice annoncée.

Si le déterminant est nul alors les deux vecteurs colonnes u = ac et v = bd sont colinéaires donc il existe (λ, μ) ∈ R2 ∖ {(0 ; 0)} tel que λu + μv = 0 c’est-à-dire abcd × λμ = 00 donc la matrice n’est pas inversible.