Matrices

Dans tout ce chapitre, on note K le corps de réel ou celui des complexes.

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, on appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K toute famille (ai, j)1 ≤ in, 1 ≤ jp d'éléments de K et on note n, p(K) l'ensemble de ces matrices.

On appelle matrice colonne toute matrice à une seule colonne et matrice ligne toute matrice à une seule ligne.

On appelle matrice élémentaire toute matrice dont un seul coefficient vaut 1 et tous les autres sont nuls. Si ce coefficient est sur la ligne l et la colonne m, on note habituellement cette matrice El, m.

Opérations

Structure linéaire

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, on définit l'addition de deux matrices à n lignes et p colonnes par (ai, j) + (bi, j) = (ai, j + bi, j).

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, l'addition est associative et commutative sur n, p(K) avec pour neutre la matrice nulle (dont tous les coefficients sont nuls). En outre, toute matrice A = (ai, j) a une opposée A = (−ai, j)

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, l'ensemble n, p(K) des matrices à n lignes et p colonnes est un groupe abélien.

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, pour tout λK, on définit la multiplication scalaire d'une matrice à n lignes et p colonnes par λ.(ai, j) = (λ × ai, j).

L'ensemble n, p(K) des matrices à n lignes et p colonnes est un espace vectoriel sur K, c'est-à-dire qu'en plus d'être un groupe abélien, il satisfait les propriétés suivantes :

En particulier, pour toute matrice A = (ai, j)∈ n, p(K), on a A = 1 ≤ in, 1 ≤ jp ai, j Ei, j.

On a la décomposition suivante : 12 0−1 = 10 00 + 2 01 0000 01 = E1, 1 + 2 E1, 2 + 0.E2, 1E2, 2.

Produit matriciel

Pour tout (n, p, q) ∈ (N)3, on définit le produit matriciel de deux matrices A = (ai, j) ∈ n, p(K) et B = (bi, j) ∈ p, q(K) par AB = (k=1p ai, k bk, j).

Le produit matriciel est associatif, c'est-à-dire que pour tout (n, p, q, r) ∈ (N)4, pour tout An, p(K), Bp, q(K) et Cq, r(K) on a A × (B × C) = (A × B) × C.

Le produit matriciel est bilinéaire, c'est-à-dire que pour tout (n, p, q) ∈ (N)3,

Pour tout nN, on appelle matrice identité de taille n la matrice In = (δi, j) avec n lignes et n colonnes dont les coefficients sont définis par le symbole de Kronecker : pour tout ij, δi, j = 0 et pour tout i, δi, i = 1, autrement dit les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 en dehors.

Le symbole de Kronecker permet aussi d'exprimer les coefficients des matrices élémentaires : El, m = (δi, l δj, m).

Pour tout (l, m, n, p, q, r, s) ∈ (N)7, si El, mn, p(K) et Er, sp, q(K) alors El, m × Er, s = δm, r El, sn, q(K).

Pour tout (i, j) ∈ N2 tel que 1 ≤ in et 1 ≤ jq, le coefficient de la ligne i et de la colonne j dans El, m × Er, s s'écrit k=1p δi, l δk, m δk, r δj, s = δi, l δm, r δj, s donc tous les coefficients sont nuls en dehors de celui de la ligne l et de la colonne s, qui vaut δm, r.

Les matrices identités sont neutres pour le produit matriciel : pour tout (n, p) ∈ (N)2, pour tout An, p(K), on a In × A = A = A × Ip.

Transposée

Pour tout (n, p) ∈ (N)2, la transposée d'une matrice A = (ai, j) ∈ n, p(K) est la matrice (aj, i) ∈ p, n(K), en général notée tA ou AT, obtenue en intervertissant lignes et colonnes.

Matrices carrées

Algèbre

On appelle matrice carrée toute matrice ayant autant de lignes que de colonnes.

Soit nN. On note n(K) l'ensemble des matrices de taille n (c'est-à-dire avec n lignes et n colonnes) à coefficients dans K.

Le produit matriciel définit une loi de composition interne associative dans n(K), admettant pour neutre la matrice identité In.

En particulier, on peut alors définir les puissances de matrices par récurrence comme pour les puissances de nombres.

Il est tentant de manipuler les matrices comme des scalaires, mais certaines propriétés des corps ne s'appliquent pas à l'ensemble des matrices de taille n > 1.

Non-commutativité du produit
Il existe des matrices carrées de taille n qui ne commutent pas.
Existence de diviseurs de zéro
Le produit de deux matrices non nulles peut donner une matrice nulle. En particulier, ces matrices ne peuvent être inversibles.
Existence de matrices nilpotentes
Il existe des matrices non nulles dont une puissance est nulle.
Suppression de la restriction sur le nombre de solutions d'une équation polynomiale
L'équation du second degré A2A = 0 admet plus de deux solutions.
Tous ces résultats peuvent s'obtenir avec les deux matrices suivantes A = 10 00 et B = 01 00 en calculant leurs produits et leurs carrés.

Ces résultats impliquent notamment que l'on ne peut utiliser directement les identités remarquables, ni la formule du binôme de Newton, ni la différence de puissances. On ne peut pas non plus simplifier une équation de la forme A × B = A × C, ni effectuer de division.

Cependant, les formules des identités remarquables, du binôme de Newton et des différences de puissances sont valables pour un couple de matrices qui commutent. La division est remplacée par une multiplication par l'inverse lorsqu'elle existe.

Soient A et B deux matrices carrées de même taille qui commutent. Alors on a

Triangulaires et diagonales

Soit A = (ai, j) ∈ n(K). La matrice A est dit triangulaire supérieure si tous ses coefficients sous-diagonaux sont nuls, c'est-à-dire que pour tout i > j, on a ai, j = 0. De même, elle est dite triangulaire inférieure si pour tout i < j, on a ai, j = 0. Elle est dite diagonale si elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure, c'est-à-dire si pour tout ij on a ai, j = 0. En particulier, elle est dite scalaire si elle est diagonale avec des coefficients diagonaux tous égaux.

On peut noter Diag(λ1, …, λn) la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont listés entre parenthèses.

Symétriques et antisymétriques

Une matrice carrée est dite symétrique (resp. antisymétrique) si elle est égale à sa transposée (resp. si elle est égale à l'opposé de sa transposée).

Matrices inversibles

Une matrice carrée A est dite inversible s'il existe une matrice carrée B de même taille telle que A × B = B × A = In. Dans ce cas, la matrice B est une matrice inverse pour A.

Une matrice inversible n'admet qu'une seule inverse.

Soit (A, B, B′) ∈ n(K)3 tel que A × B = B × A = In = A × B′ = B′ × A. Alors en particulier on a B × (A × B′) = B × In = B et (B × A) × B′ = In × B′ = B′ donc par associativité du produit, on trouve B = B′.

Pour toute matrice A inversible, on note A−1 sa matrice inverse.

Soient A et B deux matrices inversibles de même taille n. On a

L'ensemble 𝒢ℒn(K) des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K forme un groupe pour la multiplication.

Le produit matriciel définit une loi de composition interne sur 𝒢ℒn(K), il est associatif et admet la matrice In comme neutre, enfin par définition toute matrice inversible admet son inverse comme symétrique pour le produit matriciel.

Soit A une matrice de taille n. S'il existe Xn, 1(K) \ {0} tel que AX = 0 alors la matrice A n'est pas inversible.

On démontre la contraposée. Supposons que la matrice A est inversible. Soit Xn, 1(K) tel que AX = 0. Alors on a A−1 × AX = A−1 × 0 = 0 mais (A−1 × A)X = In X = X donc par associativité du produit matriciel, on trouve X = 0.

Une matrice diagonale est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.

On procède par disjonction de cas. Soit D = Diag(λ1, …, λn) une matrice diagonale.