Systèmes d'équations linéaires

Il faut lier les arts à un sentiment, et non à un système
Stendhal, Histoire de la peinture italienne, t. 1, 1817, p. 56.

Vocabulaire

Un système d'équations est simplement une liste d'équations portant sur les mêmes inconnues. Une solution d'un système à p inconnues est un p-uplet de valeurs possibles pour les inconnues qui satisfait simultanément toutes les équations du système. L'ensemble des solutions d'un système peut éventuellement être vide.

Deux systèmes (portant sur les mêmes inconnues) sont dits équivalents s'ils ont même ensemble de solutions. C'est le cas si l'un est obtenu à partir de l'autre par l'une des opérations suivantes :

D'autres opérations préservent l'ensemble des solutions d'un système en toute généralité, comme le changement de variable, la décomposition d'une équation à produit nul ou le remplacement d'un sous-système par un système équivalent.

La résolution d'un système est l'obtention, par une succession opérations élémentaires, d'un système équivalent dans lequel les inconnues sont libres ou s'expriment en fonction de variables libres.

Dans tout ce chapitre et sauf précision contraire, toutes les variables (notamment les coefficients et inconnues) seront réelles ou complexes.

Une équation linéaire sur les inconnues x1, …, xp est une équation de la forme j=1p λjxj = b où les coefficients λ1, …, λp et le second membre b sont tous indépendants des inconnues.

Par factorisation, on peut donc représenter un système d'équations linéaires en ne faisant apparaitre chaque inconnue qu'une seule fois par équation. Il est usuel d'aligner verticalement ces inconnues.

Un système est dit échelonné lorsque le rang du premier coefficient non nul est strictement croissant dans la liste d'équations. D'une ligne à la suivante, le premier coefficient non nul apparait donc de plus en plus loin à droite.

Premiers cas

Équation linéaire seule

Dans le cas d'une équation linéaire seule avec p inconnues, n'importe quelle inconnue avec un coefficient non nul peut être exprimée en fonction des autres. Dans ce cas, l'ensemble des solutions est est paramatré par p−1 variables libres. Si p > 1, il existe donc plusieurs solutions.

Une équation linéaire dans laquelle tous les coefficients sont nuls est soit tautologique (0 = 0), soit impossible (de la forme 0 = C avec un terme C non nul).

Système de deux équations linéaires avec deux inconnues

Un système de deux équations linéaires avec deux inconnues x et y s'écrit donc sous la forme {ax + by = ca′x + b′y = c′ où (a, b, c, a′, b′, c′) est une famille de coefficients.

Le système {ax + by = ca′x + b′y = c′ est équivalent à un système échelonné, composé de l'une des équations initiales et d'une équation de la forme (ab′a′b)y = C.

On procède par disjonction de cas.

Si a ≠ 0 alors on conserve la première équation L1 et on peut remplacer la deuxième équation L2 par la combinaison aL2a′L1 : (ab′a′b)y = ac′a′c.

Si a = 0 et a′ ≠ 0 alors on peut multiplier les deux membres de la première équation par a′ puis intervertir les deux équations.

Si a = a′ = 0, on peut s'arranger pour éliminer aussi l'inconnue y d'une des deux équations. Si ce n'est déjà le cas, il suffit d'utiliser la combinaison bL2b′L1.

Le système {ax + by = ca′x + b′y = c′ admet une unique solution si et seulement si ab′a′b.

On procède par disjonction de cas.

Si ab′a′b alors le système échelonné permet d'exprimer y en fonction des coefficients puis d'en déduire l'expression de x à l'aide de la première équation.

Si ab′ = a′b, on distingue encore deux cas.

Système homogène

Un système d'équations linéaires est dit homogène si dans chaque équation le second membre est nul.

Si E est un système d'équations linéaires, le système homogène associé (souvent noté E0) est le système obtenu à partir des équations de E en remplaçant chaque second membre par 0.

Liens entre les solutions d'un systèmes et celles du système homogène associé
Si (x1, …, xn) est une solution d'un système E et si (x′1, …, x′n) ∈ Kn alors il y a équivalence entre (x′1, …, x′n) est solution de E et (x′1x1, …, x′nxn) est solution de E0.

Par conséquent, pour obtenir l'ensemble S des solutions d'un système d'équations linéaires, il suffit de connaitre une solution particulière x et l'ensemble S0 des solutions du système homogène associé : S = {x + u, uS0}.

Système échelonné

Un système est dit échelonné lorsque le rang du premier coefficient non nul est strictement croissant dans la liste d'équations. D'une ligne à la suivante, le premier coefficient non nul apparait donc de plus en plus loin à droite.

L'ensemble des solutions d'une système échelonné avec r lignes de premier membre non nul et p inconnues est un ensemble de p-uplets avec pr variables libres dans K et r combinaisons linéaires de ces variables et des seconds membres.

On procède par récurrence sur le nombre de lignes du système.

Dans un système échelonné avec une seule équation linéaire ayant au moins un coefficient non nul, on peut noter xk la première inconnue avec un coefficient non nul. Alors l'équation j=1p λjxj = b se réécrit  xk = 1/λk (bj=k+1p λjxj) et les p−1 autres inconnues sont libres dans K.

Soit rN* et supposons la propriété vraie pour tous les systèmes échelonnés avec r lignes de premier membre non nul. On considère un système échelonné sans équation impossible et de rang r+1. On note xk la première inconnue avec un coefficient non nul dans la première équation. Alors les r équations suivantes forment un système échelonné sur les inconnues (xk+1, …, xp), donc par hypothèse de récurrence son ensemble de solutions s'exprime avec (pk) − r variables libres. Les k−1 premières inconnues n'apparaissent dans aucune équation donc sont libres dans K. Enfin, l'inconnue xk s'exprime en fonction des inconnues suivantes et des seconds membres. Il y a donc au total pr − 1 variables libres, ce qui achève l'hérédité.

La plupart du temps, un système donné n'est pas échelonné. Cependant, l'algorithme du pivot de Gauss permet de transformer n'importe quel système d'équations linéaires en un système échelonné équivalent.

Algorithme du pivot de Gauss
On cherche la première inconnue xk admettant un coefficient non nul dans le système, puis on intervertit au besoin la première équation avec une équation dans laquelle cette inconnue a un coefficient non nul.
Si le système contient plus d'une équation avec un premier membre non nul, on soustrait ensuite à toutes les équations suivantes un multiple de la première équation, de façon à annuler à chaque fois le coefficient correspondant à l'inconnue xk, puis on itère l'algorithme sur le sous-système de la deuxième à la dernière équation, pour lequel les seuls coefficients non nuls apparaissent après l'inconnue xk.

Système de Cramer

Un système de Cramer est un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et admettant une unique solution.

Un système d'équations linéaire avec autant d'équations que d'inconnues est dit triangulaire si chaque inconnue xk n'apparait que dans les k premières équations.

Soit nN*. Un système triangulaire avec n équations et n inconnues est de Cramer si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls, c'est-à-dire que pour tout entier k entre 1 et n, le coefficient de la k-ième inconnue est non nul dans la k-ième équation.

On procède par récurrence sur n.

Un système avec une équation et une inconnue s'écrit λx = b. Il admet une unique solution si et seulement si λ ≠ 0.

Soit nN* et supposons la propriété vraie pour tout système échelonné de n équations à n inconnues. Considérons un système échelonné de n+1 équations à n+1 inconnues x1, …, xn+1. On raisonne alors par disjonction de cas.

Un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues est de Cramer si et seulement si la seule solution du système homogène associé est la solution nulle.

On procède par disjonction de cas sur un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues.