Droites du plan

Révisions
Nombres réels
Sommes et produits
Notions
Plan, point, coordonnées, abscisse, ordonnée
Représentation paramétrique, équation cartésienne, droite verticale ou horizontale, coefficient directeur et ordonnée à l’origine, axe des abscisses et axe des ordonnées
Position relative : droites parallèles ou sécantes
Résultats
Caractérisation du parallélisme, équation d’une droite passant par deux points distincts
Compétences
Réduire une équation de droite
Tracer une droite à partir de son équation
Déterminer une équation de droite par lecture graphique et par le calcul à partir des coordonnées de deux de ses points
Déterminer la position relative de deux droites et éventuellement les coordonnées de leur point d’intersection
Déterminer une représentation paramétrique à partir d’une équation de droite et réciproquement
Déterminer les coordonnées de l’image d’un point par l’une des symétries élémentaires.

Le plan réel est un ensemble admettant une bijection avec R2 qui permet d'y définir la notion d’alignement et de dilatation. Les éléments du plan sont appelés des points. Étant donnée une telle bijection, chaque point du plan est donc associé à un couple de coordonnées appelées respectivement abscisse et ordonnée.

Représentations

Une droite peut être définie par un point et une direction, formalisée par un vecteur non nul.

Définition
La droite du plan passant par le point de coordonnées (x0, y0) et dirigée par le vecteur de coordonnées (r, s) est l’ensemble des points de coordonnées (x0 + rt, y0 + st), avec tR.
On appelle représentation paramétrique une telle description de la droite.
Propriété
Toute droite peut être représentée par une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, où (a, b, c) ∈ R3 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0).
Démonstration
Avec les notations de la définition, tous les points de coordonnées (x, y) de la droite satisfont la relation sxry + ry0sx0 = 0. Réciproquement, soit (x, y) qui satisfait l’équation, on distingue deux cas :
Propriété
Pour tout (a, b, c) ∈ R3, l’ensemble D des couples (x, y) satisfaisant l’équation ax + by + c = 0 est une droite du plan.
Démonstration
On pose x0 = ac/a2 + b2 et y0 = bc/a2 + b2. La droite passant par le point de coordonnées (x0, y0) et dirigée par le vecteur de coordonnées (b, −a) est incluse dans D. On démontre comme dans la propriété précédente que tous les points de D sont bien sur la droite.
Définitions

L'axe des abscisses est la droite d'équation y = 0. L'axe des ordonnées est la droite d'équation x = 0. La première bissectrice est la droite d'équation y = x et la deuxième bissectrice est la droite d'équation y = −x.

Équation réduite

Propriété
Toute équation cartésienne de droite est équivalente à une équation réduite de la forme y = mx + p ou de la forme x = q.
Démonstration
On procède par disjonction de cas pour une équation de la forme ax + by + c = 0.

Si b ≠ 0, l'équation se réécrit y = a/bx + c/b.

Si b = 0, l'équation se réécrit x = c/a.

Définitions
Toute droite admettant une équation de la forme x = q est dite verticale.

Dans une équation réduite y = mx + p, le coefficient m est appelé coefficient directeur et le coefficient p est l’ordonnée à l’origine.

Une droite est dite horizontale si elle admet un coefficient directeur nul.

Propriété
Toute droite a au moins deux points.
Démonstration
On procède par disjonction de cas.

Toute droite d'équation y = mx + p ou à une équation de la forme x = q contient les points de coordonnées (0 ; p) et (1 ; m + p).

Toute droite d'équation x = q contient les points de coordonnées (q ; 0) et (q ; 1).

Propriété
Deux droites d’équations réduites différentes ne peuvent avoir qu’un point commun au plus. Elles sont disjointes si elles sont toutes deux verticales ou si elles ont le même coefficient directeur.
Démonstration
On procède par disjonction de cas.

On en déduit que l’équation réduite identifie la droite de façon unique, tandis qu’une même droite est représentée par une infinité de paramétrisations et d’équations cartésiennes.

Position relative

On déduit de la propriété précédente que deux droites distinctes ont au maximum un point commun.

Définitions

Deux droites avec un seul point d'intersection sont dites sécantes.

Deux droites du plan sans point en commun sont dites strictement parallèles.

Deux droites sont dites parallèles si elles sont strictement parallèles ou confondues.

Propriété
Deux droites d’équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c′ = 0, sont parallèles si et seulement si ab′ = a′b.
Démonstration
On reprend l’égalité des coefficients directeurs dans le cas de deux droites non verticales. L’égalité est toujours vraie pour deux droites verticales, et jamais pour une droite verticale et l’autre non.
Définition
On appelle système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y tout couple d’équations se ramenant à deux équations cartésiennes de droites.

On note en général ces deux équations l’une au dessus de l’autre en alignant les mêmes inconnues verticalement et en isolant le coefficient constant dans le second membre, avec une grande accolade à gauche.

Exemple
{2x + 3y = −5x − 4y = 6

On résout un tel système par la méthode du pivot de Gauss, en sachant qu’il aura un unique couple solution si les deux droites représentées sont sécantes.

Définition par deux points

Propriété
Soient A : (xA ; yA), et B : (xB ; yB) deux points distincts du plan.

Si xA = xB, la seule droite passant par A et B a pour équation réduite x = xA.

Sinon, la seule droite passant par A et B a pour équation réduite y = yByA/xBxA (xxA) + yA.

Démonstration
On procède par disjonction de cas.

Dans le cas xA = xB, on montre qu'il n'existe aucune droite d'équation y = mx + p qui passerait par les deux points. En effet, pour une telle droite on aurait yA = mxA + p = mxB + p = yB, ce qui contredirait l'hypothèse AB.

Dans le cas xAxB, aucune droite verticale ne passe par les deux points. Soit (m, p) ∈ R2. La droite d'équation y = mx + p passe par les deux points si et seulement si les relations suivantes sont vérifiées : yA = mxA + p et yB = mxB + p. On résout donc le système suivant par équivalences.

{yA = mxA + pyB = mxB + p{yA = mxA + pyByA = m(xBxA){p = yAmxAm = yByA/xBxA

La seule solution donne l'équation annoncée.

Symétries

Définitions

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (x, −y).

La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (−x, y).

La symétrie par rapport à l'origine associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (−x, −y).

La symétrie par rapport à la première bissectrice associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (y, x).