Droites du plan

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Le plan réel est un ensemble admettant une bijection avec R2 qui permet d'y définir la notion d’alignement et de dilatation. Les éléments du plan sont appelés des points. Étant donnée une telle bijection, chaque point du plan est donc associé à un couple de coordonnées appelées respectivement abscisse et ordonnée.

Équation de droite

Pour tout (a, b, c) ∈ R3 tel que (a ; b) ≠ (0 ; 0), la droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0 est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) satisfont l'équation.

Toute équation de droite est équivalente à une équation de la forme y = mx + p ou à une équation de la forme x = q.

On procède par disjonction de cas pour une équation de la forme ax + by + c = 0.

Si b ≠ 0, l'équation se réécrit y = a/bx + c/b.

Si b = 0, l'équation se réécrit x = c/a.

Toute droite admettant une équation de la forme x = q est dite verticale.

Soient A : (xA ; yA), et B : (xB ; yB) deux points distincts du plan.

Si xA = xB, la seule droite passant par A et B a pour équation réduite x = xA.

Sinon, la seule droite passant par A et B a pour équation réduite y = yByA/xBxA (xxA) + yA.

On procède par disjonction de cas.

Dans le cas xA = xB, on montre qu'il n'existe aucune droite d'équation y = mx + p qui passerait par les deux points. En effet, pour une telle droite on aurait yA = mxA + p = mxB + p = yB, ce qui contredirait l'hypothèse AB.

Dans le cas xAxB, aucune droite verticale ne passe par les deux points. Soit (m, p) ∈ R2. La droite d'équation y = mx + p passe par les deux points si et seulement si les relations suivantes sont vérifiées : yA = mxA + p et yB = mxB + p. On résout donc le système suivant par équivalences.

{yA = mxA + pyB = mxB + p{yA = mxA + pyByA = m(xBxA){p = yAmxAm = yByA/xBxA

La seule solution donne l'équation annoncée.

Pour tout couple (A, B) de points distincts du plan, l'unique droite passant par A et B est notée (AB).

On déduit aussi de la propriété précédente que deux droites distinctes ont au maximum un point commun.

Parallélisme

Deux droites avec un seul point d'intersection sont dites sécantes.

Deux droites du plan sans point en commun sont dites strictement parallèles.

Deux droites sont dites parallèles si elles sont strictement parallèles ou confondues.

Toute droite a au moins deux points.

On procède par disjonction de cas.

Toute droite d'équation y = mx + p ou à une équation de la forme x = q contient les points de coordonnées (0 ; p) et (1 ; m + p).

Toute droite d'équation x = q contient les points de coordonnées (q ; 0) et (q ; 1).

Comme ces deux points ne satisfont simultanément qu’une seule équation réduite, on en déduit que toute droite n’admet qu’une seule équation réduite.

Dans une équation réduite de la forme y = ax + b, les coefficient a et b sont respectivement appelés coefficient directeur et ordonnée à l'origine.

Une droite est dite horizontale si son coefficient directeur est nul.

L'axe des abscisses est la droite d'équation y = 0. L'axe des ordonnées est la droite d'équation x = 0. La première bissectrice est la droite d'équation y = x et la deuxième bissectrice est la droite d'équation y = −x.

Deux droites sont parallèles si elles sont toutes deux verticales ou si elles ont le même coefficient directeur. Si elles ont pour équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c′ = 0, le parallélisme est équivalent à la condition ab′ = a′b.

On utilise les équations réduites.

Soient deux droites verticales d’équations x = q et x = q′. Si q = q′ alors les droites sont confondues, sinon elles sont disjointes. Dans les deux cas elles sont parallèles et avec les équations cartésiennes, on trouve b = b′ = 0.

Soit une droite d’équation y = mx + p et une droite verticale d’équation x = q′, le seul point d’intersection a pour coordonnées (q′, mq′ + p) donc les droites sont sécantes avec b′ = 0 mais a′b ≠ 0.

Soient deux droites d’équations y = mx + p et y = m′x + p′. On distingue deux cas.

Symétries

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (x, −y).

La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (−x, y).

La symétrie par rapport à l'origine associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (−x, −y).

La symétrie par rapport à la première bissectrice associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (y, x).