Notions ensemblistes

Le langage est un ensemble de citations
Notions
Ensemple, appartenance, ensemble vide, ensembles de nombres, produit cartésien, axiomes de compréhension et de remplacement, inclusion, partie d’un ensemble et ensemble des parties, ensembles disjoints, intervalles,
Définitions
réunion, intersection et complémentaire, partition d’un ensemble, majoration, minoration, partie bornée, maximum et minimum, borne supérieure et borne inférieure
Résultats
Lois de De Morgan, propriété de la borne supérieure

Un ensemble est un objet mathématique qui formalise la notion de contenant sans ordre ni répétition. Par exemple, une classe est un ensemble d’élèves, que l’on peut certes ordonner selon la taille, l’âge, le nom de famille ou la moyenne de mathématiques, mais qui reste la même classe indépendamment de ces ordres.

Le fait qu’un ensemble E contienne un élément x se note xE et on dit alors que x appartient à E. Dans le cas contraire, on note xE.

Un ensemble peut contenir n’importe quel objet mathématique, y compris des listes ou d’autres ensembles.

Exemples fondamentaux

Liste exhaustive

La description la plus élémentaire d’un ensemble consiste à lister ses éléments entre accolades. Ni l’ordre d’énonciation ni les éventuelles répétitions dans la liste n’ont d’influence sur l’ensemble ainsi décrit : {∗ ; ∘} = {∘ ; ∗} = {∗ ; ∗ ; ∘ ; ∗ ; ∘}. En effet, les ensembles sont caractérisés par les éléments qu’ils contiennent, c’est-à-dire que deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils contiennent les mêmes objets.

L’ensemble vide est le seul ensemble qui ne contient aucun élément et il se note .

Attention, la description par liste n’est plus envisageable pour des ensembles qui contiennent un trop grand nombre d’éléments, et a fortiori pour les ensembles infinis.

Lister les différents éléments de l’ensemble {∘ ; (∘ ; ∗) ; {∗ ; ∘} ; {∘} ; (∘ ; ∘) ; {∘ ; ∘} ; {∘ ; ∗}}.
Ne pas confondre un nombre avec l’ensemble qui contient ce nombre. Ne pas confondre une liste avec l’ensemble des éléments d’une liste. Pour un ensemble, l’ordre d’énonciation et les répétitions sont sans importance.

Ensembles de nombres

On définit plusieurs ensembles de nombres standards :

Pour éviter de confondre les notations de ces ensembles avec des variables, on les écrit de façon manuscrite avec une double barre.

Chacun de ces ensembles peut être caractérisé par certaines propriétés qui définissent notamment sa structure : Z et D sont des groupes abéliens (et même des anneaux) tandis que Q, R et C sont des corps commutatifs.

Ces ensembles sont construits par divers procédés. L’ensemble des entiers naturels se déduit de l’axiome de l’infini selon un procédé dû à Von Neumann. L’ensemble des entiers relatifs est une symétrisation de N, tandis que l’ensemble des rationnels est le corps des fractions associé. L’ensemble des réels peut s’obtenir de façon naïve par des séries de décimales, mais a été introduit historiquement par les coupures de Dedekind et, de façon plus moderne, comme classes de suites de Cauchy à valeurs rationnelles. Enfin, les nombres complexes peuvent être vus entre autres comme des points du plan R2, des matrices de similitude ou encore des classes de polynômes.

Constructions

Produit cartésien

Si E et F sont deux ensembles (éventuellement identiques), leur produit cartésien, noté E×F (qui se lit « E croix F »), est l’ensemble des couples de premier terme dans E et de deuxième terme dans F. Si EF et que ces deux ensembles sont non vides, alors on a E × FF × E.

Par exemple, un jeu de 32 cartes peut être représenté comme le produit cartésien d’un ensemble de valeurs et d’un ensemble d’enseignes (ou couleurs) {7, 8, 9, 10, V, D, R, A} × {♠, , , ♣}.

Décrire l’ensemble {0 ; 2} × {1 ; 2 ; 3} à l’aide d’une liste exhaustive.

On peut noter aussi E2 = E × E, l’ensemble des couples d’éléments de E, puis E3 = E × E × E et ainsi de suite. L’ensemble des résultats possibles de deux lancers successifs d’un dé standard à six faces peut être représenté par {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}2.

Représenter l’ensemble des résultats possibles de trois lancers successifs d’une pièce à pile ou face, sous forme d’un produit cartésien puis à l’aide d’une liste exhaustive.

Plus généralement, on peut définir le produit cartésien d’une liste d’ensembles, notamment pour énoncer des propriétés universelles.

Autres axiomes

On dispose des deux schémas d’axiomes suivants.

Compréhension
Étant donné un ensemble E et un prédicat P dépendant d’une variable, c’est-à-dire une formule pouvant être vraie ou fausse selon la valeur de la variable, l’ensemble {xE : P(x)} = {xE / P(x)} est l’ensemble des éléments de E qui satisfont la formule (éventuellement aucun ou tous).
Remplacement
Étant donné un ensemble E et une formule F dépendant d’une variable, l’ensemble {F(x), xE} est l’ensemble des objets construits à partir de la formule F sur les éléments de E.

Par exemple, on peut définir ⟦1 ; 6⟧ = {kN : 1 ≤ k ≤ 6}, R = {xR : x ≠ 0} et Q = {p/q, (p, q) ∈ Z × N*}.

Décrire chacun des ensembles suivants à l’aide d’une liste exhaustive :

Parties

Relation d’inclusion et ensemble des parties

Il ne faut pas confondre la relation d’appartenance avec la relation d’inclusion : on dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble E et on note AE si tous les éléments de A sont aussi éléments de E. En particulier, l’ensemble vide est inclus dans tous les autres ensembles.

On obtient aussi la suite d’inclusions d’ensembles de nombres : NZDQRC.

La relation d’inclusion satisfait les propriétés suivantes.

Réflexivité
Tout ensemble est inclus dans lui-même.
Antisymétrie
Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils sont mutuellement inclus l’un dans l’autre : E = F ⇔ (EF et FE).
Transitivité
Si un ensemble est inclus dans un deuxième qui est inclus dans un troisième alors le premier est inclus dans le troisième : (EF et FG) ⇒ EG.

Vérifier que la relation d’inclusion n’est pas totale.

Si E est un ensemble, les parties de E sont les ensembles inclus dans E et on note 𝒫(E) l’ensemble des parties de E.

Expliciter les ensembles 𝒫({1 ; 2}), 𝒫(∅) et 𝒫(𝒫(∅)).

Opérations ensemblistes

Si A et B sont deux parties d’un ensemble E, on définit leur intersection AB = {xE : xA et xB}, leur réunion AB = {xE : xA ou xB} et le complémentaire de A dans E par E \ A = {xE : xA}.

Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble englobant, le complémentaire d’une partie A peut aussi se noter avec une barre suscrite A, notamment en théorie des probabilités.

Lois de De Morgan
Si A et B sont deux parties d’un ensemble E, alors on a AB = AB et AB = AB.

Démontrer l’égalité (AB) \ B = A \ (AB).

Deux ensembles sont dits disjoints si leur intersection est vide.

Soient A, B, C trois ensembles tels que A et B sont disjoints. Montrer que A×C et B×C sont disjoints.

Une partition d’un ensemble E non vide est un ensemble de parties non vides de E, deux à deux disjointes et dont la réunion est égale à E.

Sous-ensembles de réels

Intervalles

Pour tout (a, b) ∈ R2 tel que a < b, on définit quatre intervalles d’extrémités a et b, qui sont :

fermé
[a, b] = {xR : axb}
ouvert
]a, b[ = {xR : a < x < b}
semi-ouvert à gauche
]a, b] = {xR : a < xb}
semi-ouvert à droite
[a, b[ = {xR : ax < b}
Pour tout aR on définit aussi deux intervalles fermés [a, +∞[ = {xR : ax} et ]−∞, a] = {xR : xa} et deux intervalles ouverts ]a, +∞[ = {xR : a < x} et ]−∞, a[ = {xR : x < a}.

Les éléments −∞ et +∞ ne représentent pas des réels, mais peuvent être conçus comme des éléments supplémentaires d'un ensemble appelé droite réelle continuée et noté R.

L'ensemble R = ]−∞ ; +∞[ est aussi un intervalle (à la fois ouvert et fermé), de même que les intervalles dégénérés que sont le vide et les singletons de la forme {a}.

On note aussi R+ = {xR : x ≥ 0} = [0 ; +∞[ et R = {xR : x ≤ 0} = ]−∞ ; 0]. Un éventuel astérisque indique que l’on exclut 0 : R* = {xR : x ≠ 0} = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.

Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b.
L'intervalle ]a, b[ contient le réel a + b/2 donc il est non vide.

Pour tout (a, b) ∈ Z2 tel que ab on note a, b⟧ = {nZ : anb} = [a, b] ∩ Z.

Majoration, minoration et extremum

Soit A une partie de R.
Elle est dite minorée s'il existe mR tel que pour tout xA, on ait mx.
Elle est dite majorée s'il existe MR tel que pour tout xA, on ait xM.
Elle est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Un maximum (ou plus grand élément) de A est un majorant de A qui appartient à A.
Un minimum (ou plus petit élément) de A est un minorant de A qui appartient à A.

L'intervalle ]0 ; 1] est majoré par 1 (mais aussi par 2 et par tout nombre plus grand que 1), minoré par 0 (mais aussi par tout nombre négatif). Il admet 1 comme maximum mais n'admet pas de minimum.

Une partie ne peut admettre deux maximums distincts, ni deux minimums distincts.

On note respectivement max(A) et min(A) le maximum et le minimum d'une partie A de R, lorsqu'ils existent.

Toute partie non vide de N admet un minimum. Toute partie non vide et majorée dans N admet un maximum.

Borne supérieure ou inférieure

Soit A une partie de R et mR. On dit que m est une borne supérieure pour A si m est le plus petit des majorants de A. Dans ce cas, on note m = sup A.

L’ensemble R est complet, c’est-à-dire qu’il vérifie la propriété suivante.

Propriété de la borne supérieure
Toute partie non vide et majorée dans R admet une borne supérieure.

On en déduit la propriété duale.

Soit A une partie de R et mR. On dit que m est une borne inférieure pour A si m est le plus grand des minorants de A. Dans ce cas, on note m = inf A.

Toute partie non vide minorée dans R admet une borne inférieure.

Soit A une partie minorée non vide de R.

On note B l’ensemble de ses minorants. Par construction, tout élément de A est donc supérieur à tout élément de B.

Par définition, l’ensemble B est non vide et il existe au moins un élément de A qui majore B. D’après la propriété précédente, l’ensemble B admet une borne supérieure que l’on peut noter s.

Tout élément aA majore B donc vérifie as. Donc s est bien un minorant de A.

Soit b un minorant de A. Par définition, on a bB donc bs. Finalement, s est bien le plus grand des minorants de A.

En particulier, ces propriétés permettent de démontrer le résultat suivant.

Soit A un convexe de R, c'est-à-dire une partie de R satisfaisant la propriété suivante : pour tout (x, y, z) ∈ R3, si xA et zA avec xyz alors yA. Alors A est un intervalle.

Compétences activées