Notions ensemblistes

Le langage est un ensemble de citations
Révisions
Logique
Notions
Ensemple, appartenance, ensemble vide, ensembles de nombres, produit cartésien, axiomes de compréhension et de remplacement, inclusion, partie d’un ensemble et ensemble des parties, ensembles disjoints, intervalles,
Définitions
réunion, intersection et complémentaire, partition d’un ensemble, majoration, minoration, partie bornée, maximum et minimum, borne supérieure et borne inférieure
Résultats
Lois de De Morgan, propriété de la borne supérieure
Compétences
Démontrer l’égalité de deux ensembles ou l’inclusion d’un ensemble dans un autre.

Un ensemble est un objet mathématique qui formalise la notion de contenant sans ordre ni répétition. Par exemple, une classe est un ensemble d’élèves, que l’on peut certes ordonner selon la taille, l’âge, le nom de famille ou la moyenne de mathématiques, mais qui reste la même classe indépendamment de ces ordres.

Le fait qu’un ensemble E contienne un élément x se note xE et on dit alors que x appartient à E. Dans le cas contraire, on note xE.

Un ensemble peut contenir n’importe quel objet mathématique, y compris des listes ou d’autres ensembles.

Exemples fondamentaux

Liste exhaustive

La description la plus élémentaire d’un ensemble consiste à lister ses éléments entre accolades. Ni l’ordre d’énonciation ni les éventuelles répétitions dans la liste n’ont d’influence sur l’ensemble ainsi décrit : {∗ ; ∘} = {∘ ; ∗} = {∗ ; ∗ ; ∘ ; ∗ ; ∘}. En effet, les ensembles sont caractérisés par les éléments qu’ils contiennent, c’est-à-dire que deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils contiennent les mêmes objets.

L’ensemble vide est le seul ensemble qui ne contient aucun élément et il se note .

Attention, la description par liste n’est plus envisageable pour des ensembles qui contiennent un trop grand nombre d’éléments, et a fortiori pour les ensembles infinis.

Exercice
Lister les différents éléments de l’ensemble {∘ ; (∘ ; ∗) ; {∗ ; ∘} ; {∘} ; (∘ ; ∘) ; {∘ ; ∘} ; {∘ ; ∗}}.
Ne pas confondre un nombre avec l’ensemble qui contient ce nombre. Ne pas confondre une liste avec l’ensemble des éléments d’une liste. Pour un ensemble, l’ordre d’énonciation et les répétitions sont sans importance.

Ensembles de nombres

On définit plusieurs ensembles de nombres standards :

Pour éviter de confondre les notations de ces ensembles avec des variables, on les écrit de façon manuscrite avec une double barre.

Chacun de ces ensembles peut être caractérisé par certaines propriétés qui définissent notamment sa structure : Z et D sont des groupes abéliens (et même des anneaux) tandis que Q, R et C sont des corps commutatifs.

Ces ensembles sont construits par divers procédés. L’ensemble des entiers naturels se déduit de l’axiome de l’infini selon un procédé dû à Von Neumann. L’ensemble des entiers relatifs est une symétrisation de N, tandis que l’ensemble des rationnels est le corps des fractions associé. L’ensemble des réels peut s’obtenir de façon naïve par des séries de décimales, mais a été introduit historiquement par les coupures de Dedekind et, de façon plus moderne, comme classes de suites de Cauchy à valeurs rationnelles. Enfin, les nombres complexes peuvent être vus entre autres comme des points du plan R2, des matrices de similitude ou encore des classes de polynômes.

Constructions

Produit cartésien

Si E et F sont deux ensembles (éventuellement identiques), leur produit cartésien, noté E×F (qui se lit « E croix F »), est l’ensemble des couples de premier terme dans E et de deuxième terme dans F. Si EF et que ces deux ensembles sont non vides, alors on a E × FF × E.

Par exemple, un jeu de 32 cartes peut être représenté comme le produit cartésien d’un ensemble de valeurs et d’un ensemble d’enseignes (ou couleurs) {7, 8, 9, 10, V, D, R, A} × {♠, , , ♣}.

Exercice
Décrire l’ensemble {0 ; 2} × {1 ; 2 ; 3} à l’aide d’une liste exhaustive.

On peut noter aussi E2 = E × E, l’ensemble des couples d’éléments de E, puis E3 = E × E × E et ainsi de suite. L’ensemble des résultats possibles de deux lancers successifs d’un dé standard à six faces peut être représenté par {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}2.

Exercice
Représenter l’ensemble des résultats possibles de trois lancers successifs d’une pièce à pile ou face, sous forme d’un produit cartésien puis à l’aide d’une liste exhaustive.

Plus généralement, on peut définir le produit cartésien d’une liste d’ensembles, notamment pour énoncer des propriétés universelles.

Autres axiomes

On dispose des deux schémas d’axiomes suivants.

Compréhension
Étant donné un ensemble E et un prédicat P dépendant d’une variable, c’est-à-dire une formule pouvant être vraie ou fausse selon la valeur de la variable, l’ensemble {xE : P(x)} = {xE / P(x)} est l’ensemble des éléments de E qui satisfont la formule (éventuellement aucun ou tous).
Remplacement
Étant donné un ensemble E et une formule F dépendant d’une variable, l’ensemble {F(x), xE} est l’ensemble des objets construits à partir de la formule F sur les éléments de E.

Par exemple, on peut définir ⟦1 ; 6⟧ = {kN : 1 ≤ k ≤ 6}, R = {xR : x ≠ 0} et Q = {p/q, (p, q) ∈ Z × N*}.

Exercice
Décrire chacun des ensembles suivants à l’aide d’une liste exhaustive :

Parties

Relation d’inclusion et ensemble des parties

Il ne faut pas confondre la relation d’appartenance avec la relation d’inclusion : on dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble E et on note AE si tous les éléments de A sont aussi éléments de E. En particulier, l’ensemble vide est inclus dans tous les autres ensembles.

On obtient aussi la suite d’inclusions d’ensembles de nombres : NZDQRC.

La relation d’inclusion satisfait les propriétés suivantes.

Réflexivité
Tout ensemble est inclus dans lui-même.
Antisymétrie
Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils sont mutuellement inclus l’un dans l’autre : E = F ⇔ (EF et FE).
Transitivité
Si un ensemble est inclus dans un deuxième qui est inclus dans un troisième alors le premier est inclus dans le troisième : (EF et FG) ⇒ EG.
Exercice
Vérifier que la relation d’inclusion n’est pas totale.
Définition
Si E est un ensemble, les parties de E sont les ensembles inclus dans E et on note 𝒫(E) l’ensemble des parties de E.
Exercice
Expliciter les ensembles 𝒫({1 ; 2}), 𝒫(∅) et 𝒫(𝒫(∅)).

Opérations ensemblistes

Définition
Si A et B sont deux parties d’un ensemble E, on définit leur intersection AB = {xE : xA et xB}, leur réunion AB = {xE : xA ou xB}.
Propriété
L’union et l’intersection sont deux opérations associatives, commutatives et distributives chacune par rapport à l’autre.
Définition
Si A est une partie d’un ensemble E, le complémentaire de A dans E est l’ensemble EA = {xE : xA}.

Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble englobant, le complémentaire d’une partie A peut aussi se noter avec une barre suscrite A, notamment en théorie des probabilités.

Lois de De Morgan
Si A et B sont deux parties d’un ensemble E, alors on a AB = AB et AB = AB.
Définition
Deux ensembles sont dits disjoints si leur intersection est vide.
Exercice
Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Montrer que A et B sont disjoints si et seulement si AB = E.
Définition
Une partition d’un ensemble E non vide est un ensemble de parties non vides de E, deux à deux disjointes et dont la réunion est égale à E.