Nombres complexes

Nous sommes à même, à présent, de comprendre le sens et la valeur de l’imaginaire.
Sartre, Imaginaire, 1940, p. 238.

Un nombre complexe est un objet mathématique qui peut s’écrire d’une seule manière sous la forme a + bi, appelée forme algébrique avec (a, b) ∈ R2.

Approche algébrique

L’ensemble C des nombres complexes est un corps commutatif comprenant l’ensemble des nombres réels et contenant un élément noté i, parfois appelé unité imaginaire, satisfaisant les propriétés suivantes :

La partie imaginaire est un nombre réel.

Puisque C est un corps, il satisfait les propriétés associées : identités remarquables, règle d’annulation du produit, opérations sur les puissances, formule de Bernoulli (sur la différence entre deux puissances de même degré), formule du binôme de Newton.

Tout nombre réel est un carré dans C.

Tout nombre réel positif est déjà un carré dans R.
Pour tout xR, on trouve x = (ix)2.

L’ensemble C n’est pas muni d’une relation d’ordre total compatible. En particulier, le nombre i n’est ni inférieur, ni supérieur à 0.

Conjugué et module

Pour tout z = a + bi ∈ C, on appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe z = abi.

Pour tout (z, z′) ∈ C2, pour tout nN, on a

Pour tout z = a + bi ∈ C, on appelle module de z le réel |z| = a2 + b2.

Ce module étend la définition de la valeur absolue définie sur R.

Pour tout (z, z′) ∈ C2, pour tout nN, on a

En particulier, on a obtenu le résultat suivant.

Formule de l’inverse
Pour tout zC, on a 1/z = z/|z|2.
Pour tout (z, z′) ∈ C × C, on a (z/z′) = z/z′ et |z/z′| = |z|/|z′|.
Inégalité triangulaire
Pour tout (z, z′) ∈ C, on a |z + z′||z| + |z′|
Soit (z, z′) ∈ C. On note z = a + ib et z′ = c + id avec (a, b, c, d) ∈ R2.

On a les équivalences |z + z′||z| + |z′| ⇔ (a + c)2 + (b + d)2a2 + b2 + c2 + d2 + 2(a2 + b2)(c2 + d2) ⇔ ac + bd(a2 + b2)(c2 + d2). Si ac + bd ≤ 0 alors l’inégalité est vraie. Dans le cas contraire, elle est équivalente à (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) ⇔ a2c2 + b2d2 + 2acbda2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 ⇔ 0 ≤ a2d2 + b2c2 − 2acbd ⇔ 0 ≤ (adbc)2

Équation du second degré à coefficients réels

Le fait que tout nombre réel soit un carré dans C permet d’étendre la résolution de l’équation du second degré.

Résolution de l’équation du second degré à coefficients réels dans C
Soit (a, b, c) ∈ R* × R2. On distingue trois cas selon le signe du discriminant Δ de l’équation ax2 + bx + c = 0.
  • Si Δ > 0, l’équation n’a que deux solutions réelles : bΔ/2a et b + Δ/2a.
  • Si Δ = 0, l’équation a une seule solution qui est réelle : b/2a.
  • Si Δ < 0, l’équation n’a pas de solution réelle mais a deux solutions complexes conjuguées qui sont b − i|Δ|/2a et b + i|Δ|/2a.
On met sous forme canonique ax2 + bx + ca((x + b/2a)2Δ/4a2 ).

Or quel que soit le signe du réel Δ, il existe un nombre complexe δ (réel ou imaginaire pur) tel que Δ = δ2 d’où l’on tire ax2 + bx + ca (x + b + δ/2a)(x + bδ/2a). La règle d’annulation du produit achève la démonstration.

Approche géométrique

Le plan complexe identifie les points d’un plan euclidien muni d’un repère orthonormé (O, u, v) avec l’ensemble C des nombres complexes, en associant à chaque point M de coordonnées (x, y) son affixe z = x + iy. La longueur OM correspond au module de z. Si MO, une mesure de l’angle θ = (u, OM) en radians correspond à la longueur de l’arc OM′ sur le cercle trigonométrique parcouru dans le sens positif, où M′ est l’intersection de ce cercle avec la demi-droite [OM).

L’argument d’un nombre complexe z non nul désigne tout nombre réel arg(z) = θ vérifiant les relations Re(z) = |z| cos(θ) et Im(z) = |z| sin(θ).

Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous forme trigonométrique z = ρ (cos(θ) + i sin(θ))ρ est le module de z et θ est un argument de z.

Deux nombres réels θ et θ′ sont deux arguments d’un même nombre complexe non nul si et seulement si leur différence est un multiple de .

Pour tout θR, on note eiθ = cos(θ) + i sin(θ).

Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous forme exponentielle z = ρ eiθρ est le module de z et θ est un argument de z.

Pour tout (θ, θ′) ∈ R2, on a ei(θ+θ′) = eiθ × eiθ′.

Formule de De Moivre
Pour tout réel θ et pour tout nN on a (eiθ)n = einθ.
Formules d’Euler
Pour tout réel θ on a cos(θ) = eiθ + e−iθ/2 et sin(θ) = eiθ − e−iθ/2i.

Racines de l’unité

Soit nN. Il existe exactement n nombres complexes satisfaisant l’équation zn = 1, qui sont tous de module 1 et qui s’écrivent ei 2kπ/n, avec k ∈ ⟦0 ; n − 1⟧ et qu’on appelle racines n-ièmes de l’unité.

Pour tout zC tel que zn = 1 on a |z|n = |1| = 1 donc |z| = 1 donc z s’écrit eiθ.

En outre, pour tout θR on a les équivalences (eiθ)n = 1 ⇔ einθ = ei 0kZ : nθ = 2kπ. Et pour tout mZ, en notant q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de k par n on trouve 0 ≤ r < n et k = qn + r donc ei 2kπ/n = ei (2qπ + 2rπ/n) = ei 2rπ/n.

Réciproquement, tout nombre complexe sous cette forme est une racine de l’unité.

Enfin, ces nombres sont tous distincts puisque les arguments de ei 2kπ/n et ei 2hπ/n diffèrent de 2 (kh) π/n ∈ ]0 ; 2π[ si 0 ≤ h < k < n.

En particulier, les nombres 1, −1, i et −i sont les quatre racines quatrièmes de l’unité. Les racines troisièmes de l’unité sont les nombres 1, j = e2i π/3 et j = e−2i π/3.

La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle et le produit de ces racines vaut (−1)n−1.

D’après la formule de la différence des puissances, on a (ei 2π/n − 1) × (k=0n−1 ei 2kπ/n 1n−1−k) = ei 2nπ/n − 1n = 1 − 1 = 0 donc k=0n−1 ei 2kπ/n = 0.
En outre, on a k=0n−1 ei 2kπ/n = eiSS = k=0n−1 2kπ/n = /n n(n − 1)/2 = (n − 1)π. Donc on trouve eiS = (e)n−1 = (−1)n−1.
Propriété
Soit ω = ρ eiθC et nN. Il existe exactement n nombres complexes satisfaisant l’équation zn = ω, qui s’écrivent z = nρ ei(θ+2kπ)/n, avec k ∈ ⟦0 ; n − 1⟧.
Les nombres proposés sont clairement des racines n-ièmes de ω. Réciproquement, pour tout zC tel que zn = ω, le nombre z′ = z/nρ e−iθ/n vérifie z′n = ω/ρ e−iθ = 1 donc il existe un entier k entre 0 et n−1 tel que z′ = e−ikπ/n, donc z a bien la forme annoncée.

Exponentielle complexe

La fonction t ↦ eit est une fonction définie sur R à valeurs dans C dont l’image est le cercle unité, ensemble des nombres complexes de module 1, correspondant au cercle de centre à l’origine et de rayon 1.

Cette fonction est continue au sens où sa partie réelle (cos) et sa partie imaginaire (sin) sont des fonctions continues.

Cette fonction n’est pas à valeurs réelles et ne satisfait pas les conclusions du théorème de Rolle : elle est -périodique donc prend la même valeurs aux extrémités du segment [0 ; 2π] et pourtant sa dérivée t ↦ i eit ne s’annule jamais.

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