Trigonométrie

Cercle et disque

Définitions
Soit A un point du plan et rR+. Le cercle de centre A et de rayon r est l’ensemble des points du plan à distance r de A. Le disque de centre A et de rayon r est l’ensemble des points du plan à distance inférieure ou égale à r de A.

Avec les notations précédentes, le cercle de centre A et de rayon r a donc pour équation AM = r ⇔ (xxA)2 + (yyA)2 = r2.

Cercle trigonométrique

Dans le plan euclidien muni d'un repère, le signe de l'abscisse et de l'ordonnée définissent quatre quadrants notés en chiffres romains.

Le cercle trigonométrique est le cercle centré à l'origine O et de rayon 1, c'est-à-dire l'ensemble des points M tels que OM = 1, c'est-à-dire ceux dont les coordonnées (x, y) satisfont l'équation x2 + y2 = 1.

Cercle trigonométrique
0 −1 1 −1 1 I II III IV I I′ J J′ M α (0) (π/2) (π) (−π/2) cos(α) sin(α)

Le cercle se décompose en deux demi-cercles (supérieur et inférieur) d'équations respectives y = 1 − x2 et y = −1 − x2, avec des extrémités communes aux points I : (1 ; 0) et I′ : (−1 ; 0).

On introduit aussi les points J : (0 ; 1) et J′ : (0 ; −1) à l'intersection des demi-cercles et de l'axe des ordonnées.

Pour tout point M sur le demi-cercle supérieur, l'ensemble des points d'abscisse supérieure à celle de M sur ce demi-cercle forme un arc noté IM. La longueur de cet arc peut être définie comme la borne supérieure des longueurs de chemin polygonal reliant I à M le long de l'arc avec des abscisses décroissantes.

La longueur de l'arc IM est alors appelée angle polaire de M. En particulier, l'angle polaire de I vaut 0, l'angle polaire de I′ vaut π et celui de J vaut π/2.

Sur le demi-cercle inférieur, on définit l'angle polaire comme l'opposé de la longueur de l'arc, donc celui de J′ vaut −π/2. Mais le point I′ admet donc aussi l'angle polaire −π.

Chaque point admet ainsi plusieurs angles polaires, qui diffèrent d'un nombre entier de tours complets, c'est-à-dire d'un multiple de .

L'application qui à toute abscisse entre −1 et 1 associe la longueur de l'arc est une application continue et strictement décroissante dont la réciproque est appelée cosinus. De même, l'ordonnée d'un point du cercle est le sinus de ce cet angle.

Fonctions trigonométriques

Courbe représentative du cosinus
−π −π/2 0 π/2 π y = 1 y = −1 y = cos(x)
Courbe représentative du sinus
−π −π/2 0 π/2 π y = 1 y = −1 y = sin(x)

Les fonctions sinus et cosinus sont -périodiques et vérifient pour tout (α, β) ∈ R2 :

La fonction sinus est donc impaire tandis que la fonction cosinus est paire.

En outre, on montre que les fonctions sinus et cosinus sont toutes deux dérivables avec sin′ = cos et cos′ = − sin.

On définit aussi pour tout xR \ {π/2 + kπ, kZ}, tan(x) = sin(x)/cos(x).

Courbe représentative de la fonction tan
−π −π/2 0 π/2 π/4 1 π y = tan(x)

La fonction tangente ainsi définie est π-périodique et dérivable sur son domaine de définition avec tan′ = 1 + tan2 = 1/cos2. Elle est donc strictement croissante sur tout intervalle de la forme ]kπ − π/2 ; kπ + π/2[ avec kZ.

On obtient enfin le tableau de valeurs suivant.

Valeurs remarquables des lignes trigonométriques
x 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sin(x) 0 1/2 2/2 3/2 1
cos(x) 1 3/2 2/2 1/2 0
tan(x) 0 3/3 1 3

Fonctions trigonométriques réciproques

La fonction tangente admet une réciproque partielle de R vers ]−π/2, π/2[ appelée arc tangente et notée arctan, dérivable pour tout xR avec arctan′(x) = 1/1 + x2.

Courbe représentative de la fonction arctan
−π/2 0 π/2 π/4 1 π y = arctan(x) y = −π/2 y = π/2
Propriété
Pour tout xR+∗, on a arctan(x) + arctan(1/x) = π/2.

De même, la fonction cosinus admet une réciproque partielle de [−1 ; 1] vers [0 ; π] appelée arc cosinus et notée arccos, dérivable pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ avec arccos′(x) = −1/1 − x2, et la fonction sinus admet une réciproque partielle de [−1 ; 1] vers [−π/2, π/2] appelée arc sinus et notée arcsin, dérivable pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ avec arcsin′(x) = 1/1 − x2.

Courbes représentatives des fonctions arcsin et arccos
0 −1 1 −π/2 π/2 y = arcsin(x)
0 −1 1 π/2 π y = arccos(x)

Coordonnées polaires

Propriété
Tout point du plan peut être identifié par un couple (r, θ) ∈ R+ × R appelé coordonnées polaires et permettant de calculer ses coordonnées cartésiennes par x = r cos(θ) et y = r sin(θ), le rayon étant défini par r = (x2 + y2) et l’angle polaire θ étant défini à un multiple près de (sauf si le point est à l’origine du repère).
Démonstration
Pour l’origine, n’importe quelle valeur pour θ convient. Pour tous les autres points, si y ≥ 0, on peut poser θ = arccos(x/r), sinon on pose θ = −arccos(x/r).