Trigonométrie

Cercle trigonométrique

0 −1 1 −1 1 I II III IV I I′ J J′ M α (0) (π/2) (π) (−π/2) cos(α) sin(α)

Dans le plan euclidien muni d'un repère, le signe de l'abscisse et de l'ordonnée définissent quatre quadrants notés en chiffres romains.

Le cercle trigonométrique est le cercle centré à l'origine O et de rayon 1, c'est-à-dire l'ensemble des points M tels que OM = 1, c'est-à-dire ceux dont les coordonnées (x, y) satisfont l'équation x2 + y2 = 1.

Le cercle se décompose en deux demi-cercles (supérieur et inférieur) d'équations respectives y = 1 − x2 et y = −1 − x2, avec des extrémités communes aux points I : (1 ; 0) et I′ : (−1 ; 0).

On introduit aussi les points J : (0 ; 1) et J′ : (0 ; −1) à l'intersection des demi-cercles et de l'axe des ordonnées.

Pour tout point M sur le demi-cercle supérieur, l'ensemble des points d'abscisse supérieure à celle de M sur ce demi-cercle forme un arc noté IM. La longueur de cet arc peut être définie comme la borne supérieure des longueurs de chemin polygonal reliant I à M le long de l'arc avec des abscisses décroissantes.

La longueur de l'arc IM est alors appelée angle polaire de M. En particulier, l'angle polaire de I vaut 0, l'angle polaire de I′ vaut π et celui de J vaut π/2.

Sur le demi-cercle inférieur, on définit l'angle polaire comme l'opposé de la longueur de l'arc, donc celui de J′ vaut −π/2. Mais le point I′ admet donc aussi l'angle polaire −π.

Chaque point admet ainsi plusieurs angles polaires, qui diffèrent d'un nombre entier de tours complets, c'est-à-dire d'un multiple de .

L'application qui à toute abscisse entre −1 et 1 associe la longueur de l'arc est une application continue et strictement décroissante dont la réciproque est appelée cosinus. De même, l'ordonnée d'un point du cercle est le sinus de ce cet angle.

Fonctions trigonométriques

−π −π/2 0 π/2 π y = 1 y = −1 y = cos(x) −π −π/2 0 π/2 π y = 1 y = −1 y = sin(x)

Les fonctions sinus et cosinus sont -périodiques et vérifient pour tout αR :

La fonction sinus est donc impaire tandis que la fonction cosinus est paire.

En outre, on montre que les fonctions sinus et cosinus sont toutes deux dérivables avec sin′ = cos et cos′ = − sin.

On définit aussi pour tout xR \ {π/2 + kπ, kZ}, tan(x) = sin(x)/cos(x).

−π −π/2 0 π/2 π/4 1 π y = tan(x)

La fonction tangente ainsi définie est π-périodique et dérivable sur son domaine de définition avec tan′ = 1 + tan2 = 1/cos2. Elle est donc strictement croissante sur tout intervalle de la forme ]kπ − π/2 ; kπ + π/2[ avec kZ.

On obtient enfin le tableau de valeurs suivant.

Valeurs remarquables des lignes trigonométriques
x 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sin(x) 0 1/2 2/2 3/2 1
cos(x) 1 3/2 2/2 1/2 0
tan(x) 0 3/3 1 3

Fonctions trigonométriques réciproques

0 −1 1 π/2 π y = arccos(x)

La fonction cosinus admet une réciproque partielle de [−1 ; 1] vers [0 ; π] appelée arc cosinus et notée arccos, dérivable pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ avec arccos′(x) = −1/1 − x2.

0 −1 1 −π/2 π/2 y = arcsin(x)

De même, la fonction sinus admet une réciproque partielle de [−1 ; 1] vers [−π/2, π/2] appelée arc sinus et notée arcsin, dérivable pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ avec arcsin′(x) = 1/1 − x2.

Enfin, la fonction tangente admet une réciproque partielle de R vers ]−π/2, π/2[ appelée arc tangente et notée arctan, dérivable pour tout xR avec arctan′(x) = 1/1 + x2.

−π/2 0 π/2 π/4 1 π y = arctan(x) y = −π/2 y = π/2