Fonctions réelles d'une variable réelle

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Introduction

Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’un ensemble DR (appelé domaine de définition) vers R.

Dans le cadre du cours, on s'intéressera exclusivement aux fonctions définies sur une réunion d'intervalles non dégénérés.

Courbe représentative

La courbe représentative d'une fonction réelle f d'une variable réelle est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y) satisfont l'équation y = f(x).

En particulier, les droites non verticales dans le plan sont exactement les courbes représentatives des fonctions affines.

Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont la même courbe représentative.

Soient f et g deux fonctions réelles définies sur le même domaine D. On dit que la courbe de f est (strictement) au-dessus de la courbe de g si la différence fg est (strictement) positive. Dans ce cas, on dit aussi que la courbe de g est (strictement) en-dessous de la courbe de f.

La courbe de la fonction racine carrée restreinte à l'intervalle [0 ; 1] est au-dessus de la courbe de la fonction identité restreinte à ce même intervalle.

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D non vide de R. Soit xD.
On dit que x est un point fixe de f si f(x) = x.

Les points fixes de f sont les abscisses des intersections de la courbe représentative avec la première bissectrice.

Image

L'image d'une fonction est l'image directe de son domaine de définition, autrement dit c'est l'ensemble des ordonnées des points de sa courbe représentative.

Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. Soit f une fonction réelle définie sur [a, b]. Il n’y a pas d’inclusion en général entre l’ensemble image f([a, b]) et l’intervalle [f(a) , f(b)], ni dans un sens ni dans l’autre.

Soit I un intervalle réel non dégénéré et f une fonction réelle définie sur I. On dit que l’intervalle I est stable par f si on a f(I) ⊂ I.

Variations

Soit A une partie de R et f une fonction réelle définie sur A.

On dit que f est croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y).
On dit que f est strictement croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que x < y on a f(x) < f(y).

On dit que f est décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y).
On dit que f est strictement décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que x < y on a f(x) > f(y).

On dit que f est (strictement) monotone sur A si elle est (strictement) croissante ou décroissante sur A.

Une fonction monotone est strictement monotone si et seulement si elle est injective.

Pour la fonction carré, on démontre les variations séparément sur R+ et sur R.

Pour tout (x, y) ∈ (R+)2 tel que xy on a les équivalences : x2y2  ⇔  x2y2 ≤ 0  ⇔  (x + y)(xy) ≤ 0 ce qui est vrai par règle des signes.

Pour tout (x, y) ∈ (R)2 tel que xy on a les équivalences : x2y2  ⇔  x2y2 ≥ 0  ⇔  (x + y)(xy) ≥ 0 ce qui est vrai par règle des signes.

La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est croissante. La composée de deux fonctions monotones de sens de variation contraires est décroissante.

On procède par disjonction de cas. Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R et soient f𝓕(I, J) et g𝓕(J, R).

Si f et g sont toutes deux croissantes alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction gf est croissante.

Si f et g sont toutes deux décroissantes alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction gf est croissante.

Si f est croissante et g décroissante alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction gf est décroissante.

Si f est décroissante et g croissante alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction gf est décroissante.

La somme de deux fonctions monotones de même sens est aussi monotone de même sens. Le produit de deux fonctions positives et monotones de même sens est aussi monotone de même sens.

Il n'y a pas de règle générale pour la somme ou le produit de fonctions monotones de sens contraire, ni pour le produit de fonctions monotones de signe variable.

Parité et périodicité

Une fonction f est dite paire si son domaine 𝓓f est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x𝓓f on a f(−x) = f(x).
Elle est dite impaire si son domaine est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x𝓓f on a f(−x) = −f(x).

Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.

Si une fonction impaire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de même sens sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.
Si une fonction paire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de sens contraire sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.

Soit TR∗+. Une fonction f est dite T-périodique si elle est égale à la fonction xf(x + T).

La fonction partie fractionnaire définie sur R par xxE(x) est 1-périodique.

Une fonction est T-périodique si et seulement si sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur (T ; 0).

Bornes

Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel.
Une fonction est dite bornée si son image est bornée.

Caractérisation des fonctions bornées
Une fonction est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée.
Soit f une fonction réelle définie sur un domaine DR non vide.

S'il existe (m, M) ∈ R2 tel que pour tout xD on ait mf(x) ≤ M alors on trouve |M||m| ≤ − |m|mf(x) ≤ M|M||M| + |m| donc |f(x)||M| + |m|.

Réciproquement, s'il existe MR tel que pour tout xD on ait |f(x)|M alors on trouve Mf(x) ≤ M

Soient f et g deux fonctions définies sur un même domaine D. Si f et g sont bornées alors leur somme et leur produit sont bornés aussi sur D.

Supposons qu'il existe (M, M′) ∈ R2 tel que pour tout xD on ait |f(x)|M et |g(x)|M′.

Pour tout xD on a |f(x) + g(x)||f(x)| + |g(x)|M + M′ et |f(x) × g(x)|M × M′
donc f+g et f×g sont bornées.

Limite finie en un réel

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine DR.

Soit aR.

On dit que f est définie au voisinage de a si pour tout intervalle ouvert I contenant a, on a ID ≠ ∅.

Si tel est le cas, soit LR. On dit que f admet une limite L en a si pour tout intervalle ouvert J contenant L il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout xID on a f(x) ∈ J et on note alors limxa f(x) = L.

Soit aR et soit f une fonction d’une variable réelle telle que f soit définie en a et au voisinage de a. La fonction f est continue en a si et seulement si on a limxa f(x) = f(a).

Soit I un intervalle non dégénéré de R. Soit aI. Soient f et g deux fonctions réelles définies sur I et continues en a. Alors f+g et f×g sont continues en a.
En outre, si g(a) ≠ 0 alors la fonction g ne s’annule pas au voisinage de a et le quotient f/g est continu en a.

Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R. Soit aI. Soit f une fonction réelle définie sur I à valeurs dans J et continue en a. Soit g une fonction réelle définie sur J et continue en b = f(a). Alors la composée gf est continue en a.

On utilise les propriétés des limites sur les opérations.

Continuité

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine DR.

Soit aD. On dit que f est continue en a si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout xID on a f(x) ∈ J.

On dit que f est continue sur son domaine si elle est continue en chaque point de ce domaine.

Soit aR et soit f une fonction d’une variable réelle telle que f soit définie en a et au voisinage de a. La fonction f est continue en a si et seulement si on a limxa f(x) = f(a).

Soit I un intervalle non dégénéré de R. Soit aI. Soient f et g deux fonctions réelles définies sur I et continues en a. Alors f+g et f×g sont continues en a.
En outre, si g(a) ≠ 0 alors la fonction g ne s’annule pas au voisinage de a et le quotient f/g est continu en a.

Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R. Soit aI. Soit f une fonction réelle définie sur I à valeurs dans J et continue en a. Soit g une fonction réelle définie sur J et continue en b = f(a). Alors la composée gf est continue en a.

On utilise les propriétés des limites sur les opérations.

Continuité sur un intervalle

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D de R. On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout réel a de D.

Soit I un intervalle réel fermé et f une fonction réelle définie sur I et continue avec f(I) ⊂ I. Soit u une suite réelle convergente satisfaisant la relation de récurrence un+1 = f(un) avec unI à partir d’un certain rang.
Alors la limite de u est un point fixe de f dans I.

Soient f et g deux fonctions réelles continues sur un même domaine de R. Leur somme, leur différence, leur produit et leur quotient sont continues là où ils sont définis.

Soient f et g deux fonctions réelles d’une variable réelle continues. Leur composée gf est continue là où elle est définie.

Toute restriction d’une fonction continue est continue.

Si la restriction d’une fonction f à un intervalle ouvert I est continue, alors la fonction f est continue en tout point de I.

On en déduit que dans le cas d’une fonction définie par morceaux, la continuité se démontre par restriction à chaque intervalle ouvert et par limite à gauche et à droite en chaque point de la subdivision.

Soit I un intervalle réel non dégénéré. Soit aI et soit f une fonction réelle définie sur I\a.
On dit que la fonction f est prolongeable par continuité sur I si elle admet une limite finie en a. Dans ce cas, on appelle prolongement par continuité de f à I la fonction F définie sur I par xI \ a, F(x) = f(x) et F(a) = limxa f(x).

Le prolongement par continuité d’une fonction continue est continu.

Par construction, la fonction F est continue en dehors de a et on a limxa ; xa F(x) = limxa f(x) = F(a).

Compétences activées