Applications entre ensembles

Notions
Ensemble, graphe, diagramme sagittal, image et antécédent, application identité, projection, composée
Définitions
Restriction, application injective, surjective, bijective
image directe et réciproque
Résultats
composée de deux applications injectives, surjectives ou bijectives
Compétences
Déterminer si une application est injective, surjective, bijective.
Déterminer une expression de la réciproque pour une fonction numérique.
Déterminer une image directe ou une image réciproque.
Exprimer la composée de deux fonctions.

Définitions

Une application f est la donnée d’un ensemble de départ ou ensemble source E, d’un ensemble d’arrivée ou ensemble but F et d’un graphe Γ inclus dans E×F tel que pour tout élément xE il existe un unique yF, appelé image de x et noté f(x), pour lequel (x, y) ∈ Γ. Dans ce cas, on dit que x est un antécédent de y.

Lorsque les ensembles source et but sont définis par une liste exhaustive, une application peut être représentée par un diagramme sagittal, dans lequel on trace une flèche entre chaque élément de la source et son image. Une application peut aussi être définie par une expression, notamment dans le cadre des fonctions numériques.

L'ensemble des applications de E dans F peut être noté ℱ(E, F) mais s'identifie à l'ensemble FE des familles d'éléments de F indexées par E.

Deux applications f et g sont égales si elles ont même ensemble source, même ensemble but et si pour tout x dans l’ensemble source on a f(x) = g(x).

Soit f une application d'un ensemble E vers un ensemble F et soit A une partie de E. La restriction de f à A, notée f|A, est l'application de A dans F définie pour tout xA par f|A(x) = f(x).

Injectivité, surjectivité, bijectivité

Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F.

Elle est dite surjective si tout élément de l’ensemble but a au moins un antécédent.

Elle est dite injective si tout élément de l’ensemble but a au plus un antécédent, c’est-à-dire si deux éléments distincts de la source ont toujours deux images distinctes.

Elle est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si tout élément de l’ensemble but admet exactement un antécédent. Dans ce cas, l’application réciproque de f, notée f−1, est l’application qui à tout élément yF associe son antécédent par f.

Images directe et réciproque

Soit f𝓕(E, F). Pour tout A𝓟(E), l’image directe de A par f est l’ensemble des images des éléments de A et se note f(A) = {f(x), xA}.

Pour tout B𝓟(F), l’image réciproque de B par f est l’ensemble des antécédents des éléments de B et se note f−1(B) = {xE : f(x) ∈ B}.

Autrement dit, une application est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble but.

Propriété
Soit f𝓕(E, F).

Pour tout (A, B) ∈ 𝓟(E)2 on a f(AB) = f(A) ∪ f(B) et f(AB) ⊂ f(A) ∩ f(B).

Pour tout (A, B) ∈ 𝓟(F)2 on a f−1(AB) = f−1(A) ∪ f−1(B) et f−1(AB) = f−1(A) ∩ f−1(B).

Un contre-exemple à l'égalité pour l'intersection des images directes est donné par la fonction carré avec les parties R+ et R.

Composition

Soient E, F et G trois ensembles et soient f𝓕(E, F) et g𝓕(F, G).
La composée de f par g, notée gf𝓕(E, G) est l'application définie par xE, (gf)(x) = g(f(x)) ∈ G.

Propriété
La composition est associative, au sens où pour tout quadruplet d'ensembles (E, F, G, H), pour tout (f, g, h) ∈ 𝓕(E, F) × 𝓕(F, G) × 𝓕(G, H) on a h ∘ (gf) = (hg) ∘ f.
Remarque
La composition n’est pas commutative.
Exercice
Calculer les neuf composées possibles des fonctions suivantes d’une variable réelle :
Propriété
La composée de deux applications injectives (resp. surjectives, bijectives) est injective (resp. surjective, bijective).
Soient f𝓕(E, F) et g𝓕(F, G) deux applications.

Supposons que f et g sont injectives. Soit (x, x′) ∈ E2 tel que (gf)(x) = (gf)(x′) c'est-à-dire g(f(x)) = g(f(x′)). Alors par injectivité de g on trouve f(x) = f(x′) donc par injectivité de f on obtient x = x′. Finalement, la composée gf est bien injective.

Supposons maintenant que f et g sont surjectives. Soit zG. Puisque g est surjective, il existe yF tel que g(y) = z. Puisque f est surjective, il existe xE tel que f(x) = y, donc g(f(x) = z. Finalement, la composée gf est surjective.

Propriété
Soient f𝓕(E, F) et g𝓕(F, G) deux applications.
Propriété
Une application f𝓕(E, F) est bijective si et seulement s'il existe g𝓕(F, E) telle que gf = idE et fg = idF et dans ce cas on a g = f−1.