Fonctions réelles d'une variable réelle

Notions
fonction réelle d’une variable réelle et exemples, courbe représentative, position relative de deux courbes, image d’une fonction, variations d’une fonction
Définitions
Point fixe, intervalle stable, fonction croissante, décroissante, monotone (strictement ou non), fonction paire ou impaire, fonction majorée, minorée, bornée
Résultats
Composée de fonctions monotones, caractérisation des fonctions bornées, somme et produit de fonctions bornées
Compétences
Déterminer le domaine de définition d'une fonction définie par une expression algébrique
Déterminer la parité ou la périodicité d'une fonction
Déterminer les variations d'une fonction définie comme composée de fonctions de référence

Introduction

Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’un ensemble DR (appelé domaine de définition) vers R.

Dans le cadre du cours, on s'intéressera exclusivement aux fonctions définies sur une réunion d'intervalles non dégénérés.

Courbe représentative

Définition
La courbe représentative d'une fonction réelle f d'une variable réelle est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y) satisfont l'équation y = f(x).

En particulier, les droites non verticales dans le plan sont exactement les courbes représentatives des fonctions affines.

Remarque
Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont la même courbe représentative.
Définition
Soient f et g deux fonctions réelles définies sur le même domaine D. On dit que la courbe de f est (strictement) au-dessus de la courbe de g si la différence fg est (strictement) positive. Dans ce cas, on dit aussi que la courbe de g est (strictement) en-dessous de la courbe de f.
Exemple
La courbe de la fonction racine carrée restreinte à l'intervalle [0 ; 1] est au-dessus de la courbe de la fonction identité restreinte à ce même intervalle.
Définition
Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D non vide de R. Soit xD.
On dit que x est un point fixe de f si f(x) = x.

Les points fixes de f sont les abscisses des intersections de la courbe représentative avec la première bissectrice.

Image

L'image d'une fonction est l'image directe de son domaine de définition, autrement dit c'est l'ensemble des ordonnées des points de sa courbe représentative.

Remarque
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. Soit f une fonction réelle définie sur [a, b]. Il n’y a pas d’inclusion en général entre l’ensemble image f([a, b]) et l’intervalle [f(a) , f(b)], ni dans un sens ni dans l’autre.
Définition
Soit I un intervalle réel non dégénéré et f une fonction réelle définie sur I. On dit que l’intervalle I est stable par f si on a f(I) ⊂ I.

Variations

Soit A une partie de R et f une fonction réelle définie sur A.

On dit que f est croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y).
On dit que f est strictement croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que x < y on a f(x) < f(y).

On dit que f est décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y).
On dit que f est strictement décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que x < y on a f(x) > f(y).

On dit que f est (strictement) monotone sur A si elle est (strictement) croissante ou décroissante sur A.

Remarque
Une fonction monotone est strictement monotone si et seulement si elle est injective.
Démonstration
Pour la fonction carré, on démontre les variations séparément sur R+ et sur R.

Pour tout (x, y) ∈ (R+)2 tel que xy on a les équivalences : x2y2  ⇔  x2y2 ≤ 0  ⇔  (x + y)(xy) ≤ 0 ce qui est vrai par règle des signes.

Pour tout (x, y) ∈ (R)2 tel que xy on a les équivalences : x2y2  ⇔  x2y2 ≥ 0  ⇔  (x + y)(xy) ≥ 0 ce qui est vrai par règle des signes.

Composée de fonctions monotones
La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est croissante. La composée de deux fonctions monotones de sens de variation contraires est décroissante.
On procède par disjonction de cas. Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R et soient f𝓕(I, J) et g𝓕(J, R).

Si f et g sont toutes deux croissantes alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction gf est croissante.

Si f et g sont toutes deux décroissantes alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction gf est croissante.

Si f est croissante et g décroissante alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction gf est décroissante.

Si f est décroissante et g croissante alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction gf est décroissante.

Propriété
La somme de deux fonctions monotones de même sens est aussi monotone de même sens. Le produit de deux fonctions positives et monotones de même sens est aussi monotone de même sens.
Remarque
Il n'y a pas de règle générale pour la somme ou le produit de fonctions monotones de sens contraire, ni pour le produit de fonctions monotones de signe variable.

Parité

Une fonction f est dite paire si pour tout x𝓓f on a  x𝓓 et f(−x) = f(x).
Elle est dite impaire si pour tout x𝓓f on a x𝓓 et f(−x) = −f(x).

Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.

Si une fonction impaire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de même sens sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.
Si une fonction paire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de sens contraire sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.

Bornes

Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel.
Une fonction est dite bornée si son image est bornée.

Caractérisation des fonctions bornées
Une fonction est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée.
Soit f une fonction réelle définie sur un domaine DR non vide.

S'il existe (m, M) ∈ R2 tel que pour tout xD on ait mf(x) ≤ M alors on trouve |M||m| ≤ − |m|mf(x) ≤ M|M||M| + |m| donc |f(x)||M| + |m|.

Réciproquement, s'il existe MR tel que pour tout xD on ait |f(x)|M alors on trouve Mf(x) ≤ M

Propriété
Soient f et g deux fonctions définies sur un même domaine D. Si f et g sont bornées alors leur somme et leur produit sont bornés aussi sur D.
Supposons qu'il existe (M, M′) ∈ R2 tel que pour tout xD on ait |f(x)|M et |g(x)|M′.

Pour tout xD on a |f(x) + g(x)||f(x)| + |g(x)|M + M′ et |f(x) × g(x)|M × M′
donc f+g et f×g sont bornées.