Fonctions réelles d'une variable réelle

Notions
Fonction réelle d’une variable réelle et exemples, courbe représentative, position relative de deux courbes, image d’une fonction, variations d’une fonction
Définitions
Point fixe, intervalle stable
Fonction croissante, décroissante, monotone (strictement ou non), fonction paire ou impaire, fonction majorée, minorée, bornée
Résultats
Composée de fonctions monotones
Caractérisation des fonctions bornées, somme et produit de fonctions bornées
Compétences
Déterminer le domaine de définition d'une fonction définie par une expression algébrique
Déterminer la parité d'une fonction
Exprimer la composée de deux fonctions
Déterminer une expression de la réciproque pour une composée de fonctions de référence
Déterminer les variations d'une fonction définie comme composée de fonctions de référence

Introduction

Définitions
Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’un ensemble DR (appelé domaine de définition) vers R.
Elle est le plus souvent précisée par une expression f(x) ∈ R dépendant d’une variable xD avec la notation f : DR, xf(x) .
Pour tout (x, y) ∈ D × R tel que y = f(x), on dit que y est l’image de x et que x est un antécédent de y.

Deux fonctions f et g sont égales si et seulement si elles ont le même domaine de définition D et si pour tout xD, on a f(x) = g(x).

Dans le cadre du cours, on s'intéressera exclusivement aux fonctions définies sur une réunion d'intervalles non dégénérés.

Par défaut, on note 𝒟f le domaine de définition d’une fonction f.

Définition
La restriction d’une fonction f à une partie A de son domaine de définition est la fonction f|A : AR, qui vérifie pour tout xA, f|A(x) = f(x).
Exemple
La fonction x(x − 2)/(2 − x) est la restriction de la fonction constante de valeur −1 à l’ensemble R ∖ {2}.

Courbe représentative

Définition
La courbe représentative d'une fonction réelle f d'une variable réelle est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y) satisfont l'équation y = f(x).
Par défaut, on note 𝒞f cette courbe.

En particulier, les droites non verticales dans le plan sont exactement les courbes représentatives des fonctions affines.

Remarque
Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont la même courbe représentative.
Définition
Soient f et g deux fonctions réelles définies sur le même domaine D. On dit que la courbe de f est (strictement) au-dessus de la courbe de g si la différence fg est (strictement) positive. Dans ce cas, on dit aussi que la courbe de g est (strictement) en-dessous de la courbe de f.
Exemple
La courbe de la fonction racine carrée restreinte à l'intervalle [0 ; 1] est au-dessus de la courbe de la fonction identité restreinte à ce même intervalle.
Définition
Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D non vide de R. Soit xD.
On dit que x est un point fixe de f si f(x) = x.

Les points fixes de f sont les abscisses des intersections de la courbe représentative avec la première bissectrice.

Parité et périodicité

Définition
Une fonction f est dite paire si pour tout x𝓓f on a  x𝓓f et f(−x) = f(x).
Elle est dite impaire si pour tout x𝓓f on a x𝓓f et f(−x) = −f(x).
Propriété
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.
Propriété
Si une fonction impaire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de même sens sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.
Si une fonction paire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de sens contraire sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.
Définition
Soit TR∗+. Une fonction f : DR est dite T-périodique si pour tout xD et pour tout kZ on a x + kTD et f(x + T) = f(x).

Une fonction est T-périodique si et seulement si sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur (T ; 0).

Variations

Définitions
Soit A une partie de R et f une fonction réelle définie sur A.

On dit que f est croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y).
On dit que f est strictement croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que x < y on a f(x) < f(y).

On dit que f est décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y).
On dit que f est strictement décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que x < y on a f(x) > f(y).

On dit que f est (strictement) monotone sur A si elle est (strictement) croissante ou décroissante sur A.

Démonstration
Pour la fonction carré, on démontre les variations séparément sur R+ et sur R.

Pour tout (x, y) ∈ (R+)2 tel que x < y on a les équivalences : x2 < y2  ⇔  x2y2 < 0  ⇔  (x + y)(xy) < 0 ce qui est vrai par règle des signes.

Pour tout (x, y) ∈ (R)2 tel que x < y on a les équivalences : x2 > y2  ⇔  x2y2 > 0  ⇔  (x + y)(xy) > 0 ce qui est vrai par règle des signes.

En pratique, les variations d’une fonction se déterminent le plus souvent en étudiant le signe de sa dérivée, mais si la fonction s’écrit comme une composée de fonctions de référence, il est plus rapide d’obtenir les variations par composition.

Image

L’image d'une fonction est l'image directe de son domaine de définition, autrement dit c'est l'ensemble des ordonnées des points de sa courbe représentative.

Remarque
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. Soit f une fonction réelle définie sur [a, b]. Il n’y a pas d’inclusion en général entre l’ensemble image f([a, b]) et l’intervalle [f(a) , f(b)], ni dans un sens ni dans l’autre.
Définition
Soit I un intervalle réel non dégénéré et f une fonction réelle définie sur I. On dit que l’intervalle I est stable par f si on a f(I) ⊂ I.

Bornes

Définition
Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel.
Une fonction est dite bornée si son image est bornée.
Caractérisation des fonctions bornées
Une fonction est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée.
Démonstration
Soit f une fonction réelle définie sur un domaine DR non vide.

S'il existe (m, M) ∈ R2 tel que pour tout xD on ait mf(x) ≤ M alors on trouve |M||m| ≤ − |m|mf(x) ≤ M|M||M| + |m| donc |f(x)||M| + |m|.

Réciproquement, s'il existe MR tel que pour tout xD on ait |f(x)|M alors on trouve Mf(x) ≤ M

Propriété
Soient f et g deux fonctions définies sur un même domaine D. Si f et g sont bornées alors leur somme et leur produit sont bornés aussi sur D.
Démonstration
Supposons qu'il existe (M, M′) ∈ R2 tel que pour tout xD on ait |f(x)|M et |g(x)|M′.

Pour tout xD on a |f(x) + g(x)||f(x)| + |g(x)|M + M′ et |f(x) × g(x)|M × M′
donc f+g et f×g sont bornées.

Composition

Définition
Soit f : DR et soit g une fonction définie sur l’image de f. La composée de f par g, notée gf, est la fonction définie sur D par xg(f(x)).

En pratique, on ne compose en général qu’une restriction de la première fonction de façon à ce que son image soit incluse dans le domaine de définition de la deuxième.

Exercice
Calculer les neuf composées possibles des fonctions suivantes d’une variable réelle :
Propriété
La composition est associative, au sens où si f, g et h sont trois fonctions réelles d’une variable réelle, on a h ∘ (gf) = (hg) ∘ f.
Remarque
La composition n’est pas commutative.
Propriété
L’identité est neutre pour la composition de fonctions.
Composée de fonctions monotones
La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est croissante. La composée de deux fonctions monotones de sens de variation contraires est décroissante.
Démonstration
On procède par disjonction de cas. Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R et soient f𝓕(I, J) et g𝓕(J, R).

Si f et g sont toutes deux croissantes alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction gf est croissante.

Si f et g sont toutes deux décroissantes alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction gf est croissante.

Si f est croissante et g décroissante alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction gf est décroissante.

Si f est décroissante et g croissante alors pour tout (x, y) ∈ I2 tel que xy on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction gf est décroissante.

Injectivité

Définition
Une fonction f : DR est dite injective si pour tout couple de réels distincts (x, x′) du domaine de définition de f on a f(x) ≠ f(x′).
Autrement dit, pour tout (x, x′) ∈ D2 tel que f(x) = f(x′) on a x = x′.
Exemple
Les fonctions affines non constantes, les fonctions inverse, racine carrée, exponentielle et logarithme sont injectives.
Propriété
Une fonction strictement monotone est toujours injective.

La réciproque est fausse, comme dans le cas de la fonction inverse.

Propriété
La composée de deux fonctions injectives est injective.
Démonstration
Soit f : DfR et g : DgR deux fonction injectives telles que f(Df) ⊂ Dg.
Soit (x, x′) ∈ Df2 tel que (gf)(x) = (gf)(x′) c’est-à-dire g(f(x)) = g(f(x′)). Par injectivité de g on trouve f(x) = f(x′) donc par injectivité de f on trouve x = x′.
Finalement, gf est injective.
Définition
Soit f et g deux fonctions réelles d’une variable réelle.
On dit que g est la réciproque de f si leurs composées coïncident avec l’identité, autrement dit pour tout x ∈ 𝒟f, g(f(x)) = x et pour tout x ∈ 𝒟g, f(g(x)) = x.
Propriété
Une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est injective. Dans ce cas la réciproque est injective aussi et chaque fonction est la réciproque de sa réciproque.
Propriété
Toute fonction strictement monotone, alors elle admet une réciproque strictement monotone avec le même sens de variation.