Exercices sur les fonctions

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Méthodologie

Étude directe

Exercice
Déterminer le domaine de validité des expressions suivantes et étudier la parité, les points fixes et les variations des fonctions qu’elles définissent.
Exercice
Déterminer le domaine de validité des expressions suivantes et montrer que chacune définit une fonction injective dont on déterminera l'image et une expression de la réciproque.
Déterminer aussi dans chaque cas les éventuels points fixes.
Exercice
On pose q : xx(1)/(x) définie sur R+∗.
  1. Étudier les variations de q.
  2. Montrer que pour tout yR il existe une unique solution strictement positive à l’équation x(1)/(x) = y et donner son expression en fonction de y.
  3. En déduire l’image de la fonction q. Est-elle injective ?
Exercice
  1. Étudier le domaine des fonctions f : t(2t)/(t + 3) et g : t(t − 5)/(t + 3) d’une variable t réelle.
  2. Montrer que la fonction f est injective puis déterminer son image et une expression de sa réciproque f−1.
  3. Calculer une expression de la composée gf−1.
  4. Résoudre pour tout tR ∖ {−3} l’inéquation f(t) ≤ g(t).
    En déduire la position relative des courbes de f et de g.
  5. Déterminer les éventuels points fixes des fonctions f et g.

Étude avec dérivation

Exercice
Dériver lorsque c’est possible les fonctions des exercices ci-dessus.
Exercice
Dresser le tableau de variations de la fonction f : xxx2 définie sur [0 ; 1] à valeurs dans R.
HEC 2012 exercice 1
Exercice
Étudier les variations de la fonction f : x(x2 + x− 6)/(2x − 1) en précisant ses points d’annulation.
Exercice
Étudier les variations de la fonction f : xx2 + 1 / 2x − 1 définie sur l'intervalle ]1/2 ; +∞[ et montrer qu'elle admet un minimum en un réel φ.
Ecricome 2006 problème 2 question 3
Exercice
On pose pour tout s ∈ [0, 1[, f(s) = (1)/((1 − s)2).
  1. Dresser le tableau de variations de f.
  2. Calculer l’équation de la droite Δ tangente à la courbe 𝒞 représentative de f au point d’abscisse s = 1/2.
  3. Représenter sur une même figure Δ et 𝒞.
ENS 2016 exercice 1 question 1
Exercice
Soit p ∈ ]0 ; 1[. Calculer l’image de la fonction g : xpx / px + (1 − p)(1 − x) sur [0 ; 1].
Exercice
Dériver les fonctions suivantes lorsque c’est possible.
Exercice
Justifier que pour tout uR∗+, u ln(u) ≥ u − 1.
Ecricome 2008 problème 2.1.2
Exercice
Montrer que x − 2x2 ≤ ln(1 − x) ≤ x pour tout 0 < x ≤ 1/2.
ENS 2017 planche 15 exercice 2 question 3
Exercice
Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1], ln(1 + x) ≤ x(x2)/(4).
BCE ESSEC 2007
Exercice
Étudier les variations de la fonction φ : y ↦ eyy sur R. En déduire que cette fonction est minorée par 1.
Montrer que pour tout yR on a φ(y) ≤ φ(|y|).
ENS 2006 exercice
Exercice
Montrer que pour tout entier k strictement positif, la fonction f : xxk ln(x) admet un minimum et calculer la valeur de ce minimum.

Étude avec limites

Exercice
Étudier les limites des fonctions définies dans les exercices précédents, aux bornes de leur domaine de définition.
Exercice
Calculer la limite de x(2 / 1 − x2 + 4π2) lorsque x tend vers 0.
ENS 2010 ex 1C
Exercice
Étudier les fonctions suivantes avec leurs éventuelles limites.
Exercice
Déterminer le domaine de validité des expressions suivantes et montrer que chacune définit une fonction injective dont on déterminera l'image et une expression de la réciproque. On pourra aussi déterminer la dérivée de ces fonctions, calculer les éventuelles limites aux bornes de leur domaine et représenter l'allure de leur courbe.
Exercice
Soit λR+∗. Montrer que la fonction F : x ↦ 1 − eλx définit une bijection de R+ sur [0 ; 1[ et déterminer une expression de sa réciproque.
Ecricome 2011
Exercice
Dresser le tableau de variations de la fonction φ : t(1 + t ln(t))/(2) et expliciter son intervalle image, puis vérifier qu’il est stable par φ.
Exercice
On pose f : xx ln(x) − x définie sur R+∗.
  1. Calculer f(1) et f(e).
  2. Calculer limx→0 f(x) et limx→+∞ f(x).
  3. Dresser le tableau de variations de f.
  4. Calculer l’équation de la droite Δ, tangente à la courbe 𝒞 de f au point d’abscisse e.
  5. Représenter sur une même figure Δ et 𝒞.
ENS 2017 exercice question 1
Exercice
On pose pour tout x ∈ [0 ; 1[, h(x) = x + (1 − x) × ln(1 − x).
  1. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  2. Montrer que la dérivée de h est croissante.
  3. Montrer que la fonction h est prolongeable par continuité en 1.
    Le prolongement par continuité est-il dérivable en 1 ?
  4. Tracer l'allure de la courbe représentative de h.
  5. Justifier qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection entre la courbe et la droite d’équation y = 1 − x.
  6. Montrer que l'ordonnée de ce point d'intersection satisfait l'équation 1 + y ln(y) = 2y.
Ecricome 2011
Exercice
Dresser le tableau de variations et représenter graphiquement la fonction f : x(1)/(x+1) − ln(1+(1)/(x)).
ENS 2018 problème A question 1
Exercice
On définit une fonction f : RR en posant f(t) = (t2 + 1)/(4) pour tout t ∈ [0 ; 1], et en supposant que f soit constante sur ]−∞ ; 0] et sur [1 ; +∞[.
La fonction est-elle de classe 𝒞 sur R ?
ENS 2017 planche 1 exercice 1 question 3
Exercice : Fonctions hyperboliques
On définit les fonctions ch et sh pour tout xR par ch(x) = (ex + ex)/(2) et sh(x) = (ex − ex)/(2).
  1. Justifier que ces deux fonctions sont dérivables et que pour tout xR :
    • exp(x) = ch(x) + sh(x)
    • ch2(x) − sh2(x) = 1
    • ch′(x) = sh(x)
    • sh′(x) = ch(x).
  2. Représenter les courbes de ces deux fonctions sur un même graphique.
Exercice
On considère la fonction f : t(1)/(et + et).
  1. Justifier que la fonction f est définie et deux fois dérivable sur R puis déterminer ses variations.
    Préciser ses éventuelles limites et sa valeur en 0.
  2. Montrer que le signe de la dérivée seconde de f est déterminé par celui de e2t + e−2t − 6 pour tout tR.
  3. Déterminer le signe de u + 1/u − 6 pour tout uR+∗.
    En déduire que la dérivée seconde f ne s’annule qu’en α = (1)/(2) ln(3 + 2(2)) sur R+.
Exercice
Étudier la fonction ch : xex + ex/2 et montrer que sa restriction à R+ admet une réciproque dont on déterminera une expression.
ENS 2002
Exercice
Étudier la fonction φ : x(x − ln(1 −x))/(x2).
ENS 2003
Exercice
Soit r ≥ 1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : xexp(−rx)/1 − x sur [0 ; 1[ en précisant ses éventuelles limites et représenter l'allure de sa courbe.
ENS 2013 exercice 2 question 1
Exercice
Étudier la parité, les variations et les limites de g : xx2 ex2, puis justifier que pour tout xR+ on a g(x) ≤ x.

Avec fonctions trigonométriques

Exercice
Montrer que la fonction définie par f : xπ cos(πx) / sin(πx) est définie et continue sur R \ Z, impaire et périodique de période 1.
ENS 2010 ex 1A
Exercice
Montrer que pour tout x[0 ; π/2] on a 2x/π ≤ sin(x) ≤ x. On pourra étudier les différences des expressions associées à chaque inégalité.
Exercice
Montrer que pour tout xR on a cos(x) ≥ 1 − x2/2.
En déduire la limite de cos(x) − 1/xx lorsque x tend vers 0.
Exercice
Montrer que pour tout x[0 ; π/2[ on a tan(x) ≥ x.
Exercice
Montrer que pour tout xR∗+ on a Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2.
Cette égalité est-elle vraie sur R∗− ?
Exercice
Montrer que pour tout xR on a cos(Arctan(x)) = 1/1 + x2 et sin(Arctan(x)) = x/1 + x2.
On pourra utiliser la relation 1 + tan2 = 1/cos2.
Exercice
Montrer que la fonction f : t(sin(t))/(t) est prolongeable par continuité en 0 et préciser sa limite.
Exercice
Montrer que pour tout nN, pour tout x ∈ ]0 ; π/2], (sin((2n + 1) x))/(sin(x)) = 1 + 2 k=1n cos(2kx).

Analyse sur une fonction inconnue

Exercice
Démontrer que toute fonction affine non constante admet une réciproque affine sur R.
À quelle condition sur les coefficients une fonction affine est-elle égale à sa réciproque ?
Exercice
Montrer qu’une fonction affine est impaire si et seulement si elle est linéaire.
Exercice
Soit f une fonction continue et strictement positive sur [0 ; 1]. Montrer qu'il existe M ≥ 1 tel que pour tout réel x ∈ [0 ; 1], on ait 1/Mf(x) ≤ M.
ENS 2006 exercice

Problèmes

Problème : Fonction définie par morceaux
Soit (a, b) ∈ R2. On considère une fonction f définie sur R par f(x) = (−1)/(x) pour tout x < −2, f(x) = (x) pour tout x > 4, f(x) = ax + b pour tout x ∈ [−2, 4].
  1. Déterminer les limites à droite et à gauche de la fonction en −2 et en 4.
  2. À quelles conditions sur (a, b) la fonction f est-elle continue ?
  3. Dans les conditions de la question précédentes, la fonction f est-elle dérivable sur R ?
Problème
ENS 2017 planche 10 exercice 1
Soit m ≥ 2 un entier et p > 0 un nombre réel.
  1. Donner le tableau de variation de la fonction f : R+R définie par f(x) = mpxm−1 − (m − 1)xm pour tout x ≥ 0.
  2. Montrer que pm = supx≥0(f(x)).
  3. Soit (p1, … , pN) ∈ [0 ; 1]N tel que p1 + ⋯ + pN = 1. Montrer que i=1N pimN1−m.
Problème
ENS 2018 problème C première partie
On dit qu’une fonction f : R+∗R est à variation lente si pour tout c > 0, limx→+∞ (f(cx))/(f(x)) = 1.
  1. Montrer que la fonction ln est à variation lente.
  2. Montrer que toute fonction admettant une limite finie non nulle en +∞ est à variation lente.
  3. Est-ce que toute fonction admettant une limite nulle en +∞ est à variation lente ?
Problème
D'après ENS 2015 exercice 1 question 3 et 4
On définit pour tout xR, f(x) = 1 / 1 + x2
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f en indiquant les valeurs prises en −1, 0 et 1.
  2. Déterminer la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 en justifiant la position relative de la courbe et de cette tangente.
  3. Déterminer les éventuelles asymptotes à la courbe de f.
  4. Représenter graphiquement l'allure de la courbe de f en s'appuyant sur les diverses droites déterminées dans les questions précédentes.
Problème
Ecricome 2012 problème 2.1
On considère la fonction définie pour tout xR∗+ par f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1.
  1. Déterminer une fonction h définie sur R∗+ telle que pour tout réel x non nul sur cet intervalle, f′(x) = h(x)/x2.
  2. Étudier les variations de h puis en déduire celles de f.
  3. Montrer que la fonction f s'annule en un unique réel α. (On admettra α 1,26.)
  4. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Problème
ENS 2011 exercice I
Soit (p, q) ∈ ]0 ; 1[2. On définit la fonction h : ttp − ln((1 − q) + q exp(t)) sur R.
  1. Justifier que la fonction h est bien définie et deux fois dérivable sur R, puis calculer sa dérivée et sa dérivée seconde.
  2. Montrer que h admet un unique maximum sur R et déterminer la valeur t en lequel ce minimum est atteint.
  3. Montrer que ce minimum vaut h(t) = p ln(p/q) + (1 − p) ln(1 − p/1 − q).
Problème : Estimateur du maximum
On considère la fonction f : xx4 − (x − 1)4/x3 − (x − 1)3, permettant de définir un estimateur sans biais de la valeur maximale d'une loi uniforme discrète à partir du maximum d'un échantillon.
  1. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R.
  2. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x4 − 24x3 + 18x2 − 6x + 1.
  3. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s'annule en 1/2.
Problème
On considère la fonction f : xln(1 + x)/x définie sur ]−1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.
  1. Montrer que la fonction f est dérivable et que sa dérivée est du signe de la fonction g : xx/1 + x − ln(1 + x).
  2. Étudier les variations et le signe de g et en déduire les variations de f
Problème
ENS 2010 exercice IA
On considère la fonction f : xπ cos(πx)/sin(πx).
  1. Montrer que la fonction f est définie et continue sur R\Z, impaire et périodique de période 1.
  2. Montrer que pour tout xR\Z on a g(x/2) + g(x + 1/2) = 2 g(x).
Problème
ENS 2004
Soit p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p et pour tout x réel, φ(x) = ln(peqx + qepx).
  1. Justifier que φ est dérivable sur R et calculer φ(0) ainsi que φ′(0).
  2. Montrer que la dérivée seconde de φ peut s’écrire pour tout x réel φ″(x) = A(x) B(x) / (A(x) + B(x))2.
  3. Montrer que la dérivée seconde de φ(x) est majorée par 1/4 sur R.
  4. En déduire que φ(x) ≤ x2/8 pour tout x réel.
Problème
Ecricome 2011 Indice de concentration d'une variable exponentielle question 2
Soit λR∗+.
  1. Montrer que la fonction définie sur R+ par x ↦ 1 − eλx est bijective et préciser sa fonction réciproque, que l'on notera g.
  2. En posant Q : x ↦ 1 − (1 + λx) eλx, calculer la composée h = Qg.
  3. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  4. Montrer que h est convexe.
Problème
ENS 2014 exercice 2 : théorème de Weierstrass (préliminaires)
On considère la fonction f : x ↦ cos(πt) e−πt de [0 ; 1] dans R.
  1. Donner le tableau de variation de la fonction f et représenter son graphe.
  2. Déterminer une constante numérique MR telle que pour tout (t, u) ∈ [0 ; 1]2 on ait l'inégalité |f(t) − f(u)|M |tu|.
Problème
Ecricome 2008 problème 2.2.1
On pose pour tout p ∈ ]0 ; 1[, φ(p) = −p ln(p) + (p − 1) (p + ln(1 − p)).
  1. Calculer la dérivée et la dérivée seconde de φ.
  2. Étudier les variations de φ et calculer φ(1/2)
  3. En déduire les variations de φ.
Caractérisation d’une fonction affine par une équation fonctionnelle sur les limites à l’infini ENS 2014 exercice 3 : fonction puissance ENS 2007 ex I : majoration et minoration à l'aide de la dérivée, montrer que lim f = limf'' = 0 en +∞ implique lim f' = 0 Ecricome 1999 Pb 1 : application du théorème de Rolle à la majoration d'une fonction nulle aux bornes ENS 2009 ex II A : fonction nulle en 0 et inférieure à sa dérivée Ecricome 2001 Pb I