Exercices sur les fonctions réelles d'une variable réelle

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Énoncés

Fonctions rationnelles et radicaux

Déterminer le domaine de validité des expressions suivantes et montrer que chacune définit une fonction injective dont on déterminera l'image et une expression de la réciproque.
Déterminer aussi dans chaque cas les éventuels points fixes.
Déterminer le domaine de définition, les variations et les points fixes des fonctions suivantes, en précisant leur éventuelle parité.
Dériver les fonctions suivantes.
Soit p ∈ ]0 ; 1[. Calculer l’image de la fonction g : xpx / px + (1 − p)(1 − x) sur [0 ; 1].
Étudier les variations de la fonction f : xx2 + 1 / 2x − 1 définie sur l'intervalle ]1/2 ; +∞[ et montrer qu'elle admet un minimum en un réel φ.
Ecricome 2006 problème 2 question 3
Calculer la limite de x(2 / 1 − x2 + 4π2) lorsque x tend vers 0.
ENS 2010 ex 1C

Avec exponentielle et logarithme

Déterminer le domaine de validité des expressions suivantes et montrer que chacune définit une fonction injective dont on déterminera l'image et une expression de la réciproque. On pourra aussi déterminer la dérivée de ces fonctions, calculer les éventuelles limites aux bornes de leur domaine et représenter l'allure de leur courbe.
Étudier la fonction ch : xex + ex/2 et montrer que sa restriction à R+ admet une réciproque dont on déterminera une expression.
ENS 2002
Étudier les fonctions suivantes.
Étudier la fonction φ : xx − ln(1 −x)/x2.
ENS 2003
Justifier que pour tout uR∗+, u ln(u) ≥ −1.
Ecricome 2008 problème 2.1.2
Montrer que pour tout réel u ≥ 0 on a eu − euu eu2/6.
ENS 2015 exercice 3 partie II question 14
Montrer que pour tout entier k strictement positif, la fonction f : xxk ln(x) admet un minimum et calculer la valeur de ce minimum.
Étudier la fonction xxx.
Soit r ≥ 1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : xexp(−rx)/1 − x sur [0 ; 1[ en précisant ses éventuelles limites et représenter l'allure de sa courbe.
ENS 2013 exercice 2 question 1
Étudier les variations de la fonction φ : y ↦ eyy sur R. En déduire que cette fonction est minorée par 1.
Montrer que pour tout yR on a φ(y) ≤ φ(|y|).
ENS 2006 exercice
Soit u0 un réel positif quelconque. Montrer que pour tout uu0 on a |eu − 1 − u| ≤ eu0 u2/2.
Ecricome 2000 problème III

Avec fonctions trigonométriques

Montrer que la fonction définie par f : xπ cos(πx) / sin(πx) est définie et continue sur R \ Z, impaire et périodique de période 1.
ENS 2010 ex 1A
Montrer que pour tout x[0 ; π/2] on a 2x/π ≤ sin(x) ≤ x.
On pourra étudier les différences des expressions associées à chaque inégalité.
Montrer que pour tout xR on a cos(x) ≥ 1 − x2/2.
En déduire la limite de cos(x) − 1/xx lorsque x tend vers 0.
Montrer que pour tout x[0 ; π/2[ on a tan(x) ≥ x.
Montrer que pour tout x ∈ [−1 ; 1] on a Arcsin(x) + Arccos(x) = π/2.
On pourra dériver le membre de gauche par rapport à x.
Montrer que pour tout xR∗+ on a Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2.
Cette égalité est-elle vraie sur R∗− ?
Montrer que pour tout x ∈ [−1 ; 1] on a cos(Arcsin(x)) = 1 − x2 = sin(Arccos(x)) et que pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ on a tan(Arcsin(x)) = x/1 − x2.
On pourra utiliser la relation cos2 + sin2 = 1.
Montrer que pour tout xR on a cos(Arctan(x)) = 1/1 + x2 et sin(Arctan(x)) = x/1 + x2.
On pourra utiliser la relation 1 + tan2 = 1/cos2.

Analyse sur une fonction inconnue

Démontrer que toute fonction affine non constante admet une réciproque affine sur R.
À quelle condition sur les coefficients une fonction affine est-elle égale à sa réciproque ?
>Montrer qu’une fonction affine est impaire si et seulement si elle est linéaire.
Soit f une fonction continue et strictement positive sur [0 ; 1]. Montrer qu'il existe M ≥ 1 tel que pour tout réel x ∈ [0 ; 1], on ait 1/Mf(x) ≤ M.
ENS 2006 exercice

Problèmes

On définit pour tout xR, f(x) 1 / 1 + x2
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f en indiquant les valeurs prises en −1, 0 et 1.
  2. Déterminer la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 en justifiant la position relative de la courbe et de cette tangente.
  3. Déterminer les éventuelles asymptotes à la courbe de f.
  4. Représenter graphiquement l'allure de la courbe de f en s'appuyant sur les diverses droites déterminées dans les questions précédentes.
D'après ENS 2015 exercice 1 question 3 et 4
On considère la fonction définie pour tout xR∗+ par f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1.
  1. Déterminer une fonction h définie sur R∗+ telle que pour tout réel x non nul sur cet intervalle, f′(x) = h(x)/x2.
  2. Étudier les variations de h puis en déduire celles de f.
  3. Montrer que la fonction f s'annule en un unique réel α. (On admettra α 1,26.)
  4. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Ecricome 2012 problème 2.1
Soit (p, q) ∈ ]0 ; 1[2. On définit la fonction h : ttp − ln((1 − q) + q exp(t)) sur R.
  1. Justifier que la fonction h est bien définie et deux fois dérivable sur R, puis calculer sa dérivée et sa dérivée seconde.
  2. Montrer que h admet un unique maximum sur R et déterminer la valeur t en lequel ce minimum est atteint.
  3. Montrer que ce minimum vaut h(t) = p ln(p/q) + (1 − p) ln(1 − p/1 − q).
ENS 2011 exercice I
On considère la fonction f : xx4 − (x − 1)4/x3 − (x − 1)3, permettant de définir un estimateur sans biais de la valeur maximale d'une loi uniforme discrète à partir du maximum d'un échantillon.
  1. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R.
  2. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x4 − 24x3 + 18x2 − 6x + 1.
  3. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s'annule en 1/2.
On considère la fonction f : xln(1 + x)/x définie sur ]−1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.
  1. Montrer que la fonction f est dérivable et que sa dérivée est du signe de la fonction g : xx/1 + x − ln(1 + x).
  2. Étudier les variations et le signe de g et en déduire les variations de f
On considère la fonction f : xπ cos(πx)/sin(πx).
  1. Montrer que la fonction f est définie et continue sur R\Z, impaire et périodique de période 1.
  2. Montrer que pour tout xR\Z on a g(x/2) + g(x + 1/2) = 2 g(x).
ENS 2010 exercice IA
Soit p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p et pour tout x réel, φ(x) = ln(peqx + qepx).
  1. Justifier que φ est dérivable sur R et calculer φ(0) ainsi que φ′(0).
  2. Montrer que la dérivée seconde de φ peut s’écrire pour tout x réel φ″(x) = A(x) B(x) / (A(x) + B(x))2.
  3. Montrer que la dérivée seconde de φ(x) est majorée par 1/4 sur R.
  4. En déduire que φ(x) ≤ x2/8 pour tout x réel.
ENS 2004
Soit λR∗+.
  1. Montrer que la fonction définie sur R+ par x ↦ 1 − eλx est bijective et préciser sa fonction réciproque, que l'on notera g.
  2. En posant Q : x ↦ 1 − (1 + λx) eλx, calculer la composée h = Qg.
  3. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  4. Montrer que h est convexe.
Ecricome 2011 Indice de concentration d'une variable exponentielle question 2
On considère la fonction f : x ↦ cos(πt) e−πt de [0 ; 1] dans R.
  1. Donner le tableau de variation de la fonction f et représenter son graphe.
  2. Déterminer une constante numérique MR telle que pour tout (t, u) ∈ [0 ; 1]2 on ait l'inégalité |f(t) − f(u)|M |tu|.
ENS 2014 exercice 2 : théorème de Weierstrass (préliminaires)
On pose pour tout p ∈ ]0 ; 1[, φ(p) = −p ln(p) + (p − 1) (p + ln(1 − p)).
  1. Calculer la dérivée et la dérivée seconde de φ.
  2. Étudier les variations de φ et calculer φ(1/2)
  3. En déduire les variations de φ.
Ecricome 2008 problème 2.2.1

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