Vecteurs dans le plan euclidien

Milieu d'un segment

Si A et B sont deux points du plan euclidien, il existe un unique point I du plan tel que AI = IB = AB/2, de coordonnées ((x_A + x_B)/2 ; (x_A + x_B)/2).

Le point défini par ces coordonnées satisfait effectivement la double inégalité. Il reste à démontrer l'unicité, à l'aide d'une disjonction de cas.

Si A = B alors le point A est le seul point satisfaisant la double égalité.
Si A ≠ B alors tout point I satisfaisant la double égalité est sur le segment [AB] donc sur la droite (AB). En outre, la première égalité se traduit par l'égalité (x − x_A)² + (y − y_A)² = (x − x_B)² + (y − y_B)²
⇔ 2x(x_B − x_A) + 2y(y_B − y_A) = x_B² − x_A² + y_B² − y_A² . Cette équation décrit une droite qui ne passe pas par A donc qui ne peut avoir deux points communs avec la droite (AB).

Si A et B sont deux points du plan euclidien, on appelle milieu de [AB] l'unique point I du plan satisfaisant la double égalité AI = IB = AB/2.

Soient A, B, C, D quatre points du plan. On a l'équivalence suivante : Les segments [AD] et [BC] ont même milieu si et seulement si on a x_B − x_A = x_D − x_C et y_B − y_A = y_D − y_C.

Cette propriété montre que la définition suivante ne dépend pas de la paramétrisation du plan.

Définition analytique

Soient A, B, C, D quatre points du plan.
On dit que les couples de points (A, B) et (C, D) décrivent le même vecteur du plan si on a (x_B − x_A ; y_B − y_A) = (x_D − x_C ; y_D − y_C).
Ce couple constitue alors les coordonnées du vecteur que l'on note indifféremment A^→B ou C^→D.

Deux vecteurs sont donc égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées. L'ensemble des vecteurs du plan est alors en bijection avec l'ensemble R² et tout point M du plan a même coordonnées que le vecteur O^→M où O est l'origine du plan.

Pour éviter de confondre les coordonnées de points et celles des vecteurs, on va prendre l'habitude de noter verticalement les coordonnées des vecteurs.

Pour tout point A du plan et pour tout vecteur u du plan il existe un unique point B tel que u = A^→B.

Il est courant (mais pas systématique) de noter les vecteurs avec une flèche suscrite.

Soient u ab et v a′b′ deux vecteurs du plan et λ ∈ R.

La somme u+v est le vecteur de coordonnées [a + a′ ; b + b′].

La produit du vecteur u par le scalaire λ est le vecteur λ.u de coordonnées [λa ; λb].

Le vecteur nul est le vecteur de coordonnées [0 ; 0].

Pour tout triplet (A, B, C) de points du plan, on a A^→B + B^→C = A^→C.

En particulier, on en déduit que l'addition de vecteurs ne dépend pas du choix des représentants.

Structure de l'ensemble des vecteurs: L'ensemble E des vecteurs du plan forme un groupe pour l'addition de vecteurs, avec le vecteur nul pour neutre.; La multiplication scalaire est (pseudo)-associative par rapport à la multiplication dans R :
pour tout (λ, μ, u) ∈ R² × E, on a (λ × μ).u = λ.(μ.u).; La multiplication scalaire est distributive par rapport à l'addition des scalaires et des vecteurs :
pour tout (λ, μ, u, v) ∈ R² × E², on a (λ + μ).u = λ.u + μ.u et λ.(u + v) = λ.u + λ.v.; La multiplication scalaire par 1 est l'identité sur l'ensemble des vecteurs :
pour tout u ∈ E, 1.u = u.

Ces propriétés permettront de définir la structure d'espace vectoriel.

Colinéarité

Deux vecteurs sont dits colinéaires si l'un peut être obtenu à partir de l'autre par multiplication scalaire.

Deux vecteurs u [a ; b] et v [a′ ; b′] sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles : ab′ = a′b.

L'implication directe est évidente. On démontre l'implication réciproque.

Si ab′ = a′b′, alors on distingue trois cas.

Si a ≠ 0 alors v = a′/a.u.
Si a = 0 et b ≠ 0 alors a′ = 0 donc v = b′/b.u.
Si u = 0, alors u = 0.v.

Tous les vecteurs colinéaires à un même vecteur non nul sont colinéaires entre eux.

Soit (A, B, C) un triplet de points du plan. Les propositions suivantes sont équivalentes.

Les points A, B et C sont alignés.
Les points A, B et C appartiennent à une même droite.
Les vecteurs A^→B et A^→C sont colinéaires.

Si deux des trois points sont confondus, les trois propositions sont satisfaites. On raisonne par implications cycliques dans le cas où les trois points sont deux à deux distincts.

Si A, B et C sont alignés, alors il existe une équation de droite qui est satisfaite simultanément par leurs coordonnées.

Si A, B et C appartiennent à une même droite d'équation ax + by = c alors les vecteurs A^→B et A^→C sont tous les deux colinéaires au vecteur [b ; −a].

Si les vecteurs A^→B et A^→C sont colinéaires alors il existe λ ∈ R tel que A^→C = λ.A^→B et on distingue trois cas.

Si λ ∈ [0 ; 1] alors on vérifie AC + CB = AB.
Si λ > 1 alors on vérifie AB + BC = AC.
Si λ < 0 alors on vérifie CA + AB = CB.

Repère

Soient u et v deux vecteurs non colinéaires du plan. Pour tout vecteur w du plan il existe un unique couple (x, y) ∈ R² tel que w = xu + yv.

On note u aa′, v bb′ et w cc′. Pour tout (x, y) ∈ R², la relation vectorielle w = xu + yv est équivalente au système { c = xa + yb c′ = xa′ + yb′

Or ce système correspond à la recherche de l'intersection de deux droites et la condition de non-colinéarité revient à dire que ces droites sont sécantes, donc il existe un unique point d'intersection, dont les coordonnées sont les coefficients recherchés.

Un repère du plan est la donnée d'un point du plan et de deux vecteurs non colinéaires.

Soit R(O ; u, v) un repère du plan. Les coordonnées d'un point M dans le repère R sont le couple solution de l'équation vectorielle O^→M = xu + yv.

Le repère initial est souvent noté (O ; 𝚤, 𝚥), où 𝚤 a pour coordonnées (0 ; 1) et 𝚥 a pour coordonnées (1 ; 0).

Translation

Soit (a, b) ∈ R². La translation de vecteur u [a ; b] est une application du plan dans lui-même qui à tout point de coordonnées (x, y) associe le point de coordonnées (x + a, y + b).