Espaces vectoriels

Structure

Définition
Un espace vectoriel (réel) est un ensemble E dont les éléments sont appelés vecteurs, muni d’une addition associative et commutative, d’un vecteur nul 0 neutre pour l’addition, et d’une multiplication scalaire qui associe à tout scalaire  λR et à tout vecteur uE, un vecteur λ·uE, en satisfaisant les propriétés suivantes :
Propriété
Pour tout uE, on a u = 0 et (−1)·u = −u.
Démonstration
On a u + 0·u = (1 + 0)·u = 1·u donc par soutraction on trouve bien u = 0.
Ensuite, on a u + (−1)·u = 1·u + (−1)·u = (1 + (−1))·u = 0·u = 0.
Propriété
Si E et F sont deux espaces vectoriels alors le produit cartésien E × F est aussi un espace vectoriel pour l'addition (u, v) + (u′, v′) = (u + u′, v + v′) et pour la multiplication scalaire λ·(u, v) = (λ·u, λ·v).
Plus généralement, pour tout pN*, l'ensemble Ep des listes de p éléments de E est un espace vectoriel pour l'addition terme à terme et la multiplication scalaire sur chaque composante.

Sous-espace vectoriel

Définition
Soit E un espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel de E toute partie F non vide et stable par addition et par multiplication scalaire.

En particulier, tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul.

En pratique, pour démontrer qu'un ensemble constitue un espace vectoriel, on se contente d’utiliser la propriété suivante.

Propriété
Soit E un espace vectoriel. Soit F une partie non vide de E. Si pour tout (λ, u, v) ∈ R × F2 on a λ·u + vF, alors F est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration
Comme F est non vide, elle contient un vecteur x donc elle contient (−1)·x + x = 0. Par conséquent, pour tout (λ, u) ∈ R × E elle contient λ.u + 0 = λ.u.
Et pour tout (u, v) ∈ F2 on a u + v = 1.u + vF.
Finalement, l'ensemble F est bien un sous-espace vectoriel de E.

Si G est un sous-espace vectoriel de F qui est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, alors G est un sous-espace vectoriel de E.

Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E, alors leur intersection FG est encore un sous-espace vectoriel de E.
Plus généralement, si (Fi) est une famille de sous-espaces vectoriels de E alors leur intersection F = i Fi est encore un sous-espace vectoriel de E.

On applique le critère donné ci-dessus.

Tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul donc 0 ∈ F donc F est non vide.

Soit (λ, u, v) ∈ K × F2. En particulier, pour tout i, on a uFi et vFi donc λ.u + vFi.
Finalement, λ.u + vi Fi = F.

En revanche, l'union de deux sous-espaces vectoriels n'est presque jamais un sous-espace vectoriel, sauf si l'un est inclus dans l'autre.

Application linéaire

Définition
Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit φ : EF. On dit que φ est linéaire si elle vérifie pour tout (λ, u, v) ∈ R × E2, φ(u + v) = φ(u) + φ(v) et φ(λ·u) = λ·φ(u).
On note L(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E vers F.

En pratique, on vérifie directement la relation φ(λ·u + v) = λ·φ(u) + φ(v).

Propriété
L’ensemble L(E, F) est lui-même un espace vectoriel.
Propriété
La restriction d’une application linéaire à un sous-espace vectoriel de son espace de départ est encore une application linéaire.

On retrouve aussi toutes les propriétés démontrées pour les applications linéaires entre espaces de vecteurs à composantes réelles.

Propriété
La composée de deux applications linéaires est linéaire.
Propriété
Soit φ ∈ L(E, F). Pour tout sous-espace vectoriel GE, l’image φ(G) = {φ(x), xG} est un sous-espace vectoriel de F.
Pour tout sous-espace vectoriel HF, la préimage φ−1(H) = {xE : φ(x) ∈ H} est un sous-espace vectoriel de E.

En particulier, l’image Im(φ) = φ(E) et le noyau Ker(φ) = φ−1({0}) sont des sous-espaces vectoriels.

Propriété
Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est nul.
Définition
Un isomorphisme (d’espaces vectoriels) est une application linéaire bijective.
Propriété
La composée de deux isomorphismes est encore un isomorphisme.
Propriété
L’application réciproque d’un isomorphisme est aussi un isomorphisme.
Définition
Deux espaces vectoriels E et F sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme entre E et F.
Propriété
Tout espace vectoriel est isomorphe à lui-même.
Deux espaces vectoriels isomorphes à un même troisième sont isomorphes entre eux.

Famille de vecteurs

Définitions
Soit E un espace vectoriel et pN. Soit (x1, … , xp) ∈ Ep et (λ1, … , λp) ∈ Rp.

La combinaison linéaire sur les vecteurs x1, … , xp avec les coefficients λ1, … , λp s’écrit k=1p λkxk.

La famille (x1, … , xp) est dite libre si la seule combinaison linéaire nulle sur ces vecteurs est celle avec des coefficients nuls. Elle est dite liée dans le cas contraire.

La famille (x1, … , xp) est dite génératrice de E si E est l’ensemble des combinaisons linéaires sur ces vecteurs et dans ce cas on note E = Vect(x1, … , xp).

Une base de E est une famille à la fois libre et génératrice.

Propriété
Une famille de vecteurs (x1, … , xp) ∈ Ep est une base si et seulement si pour tout vecteur yE il existe une unique famille de coefficients (λ1, … , λp) ∈ Rp telle que k=1p λkxk = y.
Démonstration
On procède comme pour la caractérisation des bases dans Rn.
Théorème de la base incomplète
Soit E un espace vectoriel admettant une famille libre et une famille génératrice 𝒢 (éventuellement vides). Il existe alors une base de E constituée des vecteurs de et de certains des vecteurs de 𝒢.
Démonstration
On procède comme pour la démonstration du théorème dans Rn.
Propriété
Soit E et F deux espaces vectoriels. Soit (e1, … , en) une base de E.
Pour tout (y1, … , yn) ∈ Fn il existe une unique application linéaire φ ∈ L(E, F) telle que pour tout i ∈ ⟦1 ; n on ait φ(ei) = yi.
Image d'une base par une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit (e1, …, en) une base de E et φ ∈ L(E, F). On a les équivalences suivantes.
  1. L'application φ est injective si et seulement si la famille (φ(e1), …, φ(en)) est libre.
  2. L'application φ est surjective si et seulement si la famille (φ(e1), …, φ(en)) est génératrice dans F.
  3. L'application φ est bijective si et seulement si la famille (φ(e1), …, φ(en)) est une base de F.
Démonstration
On procède par double implication dans chacun des deux premiers cas. Le troisième cas combine les deux premiers.
  1. Supposons que l'application φ est injective. Soit (λ1, …, λk) ∈ Rk tel que i=1k λi.φ(ei) = 0. Alors on trouve φ(i=1k λi.ei) = 0 donc i=1k λi.ei = 0 donc pour tout i, λi = 0. Donc la famille (φ(e1), …, φ(ek)) est libre.
    Réciproquement, supposons que la famille (φ(e1), …, φ(ek)) est libre. Soit x ∈ Ker(φ). Il existe (λ1, …, λk) ∈ Rk tel que x = i=1k λi.ei donc 0 = φ(x) = i=1k λi.φ(ei) donc pour tout i, λi = 0 donc x = 0. Donc φ est injective.
  2. Supposons que l'application φ est surjective. Soit yF. Il existe xE tel que φ(x) = y et il existe (λ1, …, λk) ∈ Rk tel que x = i=1k λi.ei donc y = φ(x) = i=1k λi.φ(ei). Donc la famille (φ(e1), …, φ(ek)) est génératrice.
    Réciproquement, supposons que la famille (φ(e1), …, φ(ek)) est génératrice dans F. Soit yF. Il existe (λ1, …, λk) ∈ Rk tel que y = i=1k λi.φ(ei) = φ(i=1k λi.ei) ∈ Im(φ). Donc φ est surjective.
Propriété
Si E est muni d'une base (e1, …, ek). L'application (λ1, … , λk) ↦ i=1k λi.ei constitue un isomorphisme entre Rk et E.
Démonstration
La base (e1, … , ek) est l’image par φ de la base canonique de Rk donc φ est bijective.
Propriété
Soit φ un isomorphisme entre deux espaces vectoriels E et F.
Une famille de vecteurs (x1, … , xp) ∈ Ep est libre (resp. génératrice de E, resp. une base de E) si et seulement si la famille (φ(x1), … , φ(xp)) est libre (resp. génératrice de F, resp. une base de F).

Dimension finie

Définition
Un espace vectoriel (réel) E est dit de dimension finie s’il est nul ou s’il admet une famille génératrice finie.
Propriété
Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s’il existe un entier nN et un isomorphisme φ : RnE. Dans ce cas, toutes les bases de E sont constituées de n vecteurs.
Démonstration
Si E admet une famille génératrice alors par théorème de la base incomplète, il admet une base , donc il existe une application linéaire φ ∈ L(Rn, E) qui associe aux vecteurs de la base canonique de Rn ceux de la base , donc φ est un isomorphisme.
Réciproquement, s’il existe un isomorphisme φ ∈ L(Rn, E) alors les images des vecteurs de la base canonique de Rn constituent une base de E. En outre, l’isomorphisme φ−1 envoie chaque base de E sur une base de Rn donc toutes les bases de E sont constituées de n vecteurs.
Définition
On appelle dimension d’un espace vectoriel E le nombre de vecteurs dans chacune de ses bases et on la note dim(E).

L’isomorphisme assure aussi que toutes les propriétés énoncées sur les familles de vecteurs dans Rn s’étendent aux espaces vectoriels de dimension n : toute famille libre est constituée d’au plus n vecteurs, toute famille génératrice est constituée d’au moins n vecteurs, toute famille libre ou génératrice et constituée d’exactement n vecteurs est une base.

Propriété
Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension.
Propriété
Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors E × F aussi et on a dim(E × F) = dim(E) + dim(F).
Propriété
Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors L(E, F) aussi et on a dim(L(E, F)) = dim(E) × dim(F).
Propriété
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace vectoriel de E est aussi de dimension finie, inférieure à celle de E.
Le seul sous-espace vectoriel de E qui a la même dimension est E lui-même.

Rang

Définitions
Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension de l’espace vectoriel engendré.
Le rang d’une application linéaire φ est la dimension de son image, si elle existe. On la note alors rg(φ).
Théorème du rang
Soit E et F deux espaces vectoriels et φ ∈ L(E, F).
Si E est de dimension finie alors Im(φ) aussi et on a dim(E) = dim(Ker(φ)) + rg(φ).
Démonstration
On procède comme dans le cas des applications matricielles.
Propriété
Si φ ∈ L(E, F) est une application linéaire injective, tout sous-espace vectoriel de E a la même dimension que son image.
Démonstration
Soit G un sous-espace vectoriel de E. L’application induite ~φ ∈ L(G, φ(G)) est un isomorphisme donc dim(G) = dim(φ(G)).

Endomorphisme

Définition
Soient E un espace vectoriel. Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E.
Propriété
Soit E un espace vectoriel. La composition définit une opération associative mais en général non commutative sur L(E), distributive par rapport à l’addition et admettant l’identité pour neutre.

Pour tout u ∈ L(E), on note u0 = idE et pour tout kN, on note uk+1 = uuk.
Cette notation ne doit pas être confondue avec la puissance comme répétition de multiplication.