Espace vectoriels

Dans tout ce chapitre, on note K le corps des réels ou celui des nombre complexes. On appellera scalaire tout élément de ce corps.

Définition et exemples

Un espace vectoriel sur le corps K (ou K-espace vectoriel) est un ensemble E muni d'une addition (une loi de composition interne qui en fait un groupe abélien) et une multiplication scalaire qui associe à tout scalaire  λK et à tout élément uE, un élément λ.uE, en satisfaisant les propriétés suivantes :

Les éléments d'un espace vectoriel sont appelés vecteurs, même s'il s'agit de fonctions, de suites, de polynômes, de matrices…

Pour tout uE, le vecteur 0.u est le vecteur nul, neutre pour l'addition dans E et noté également 0 ou 0.
En outre on a (−1).u = −u.

On a 1.u + 0.u = (1 + 0).u = 1.u donc par soutraction on trouve bien 0.u = 0.
Ensuite, on a u + (−1).u = 1.u + (−1).u = (1 + (−1)).u = 0.u = 0.

Si E et F sont deux K-espaces vectoriels alors E × F est aussi un K-espace vectoriel pour l'addition (u, v) + (u′, v′) = (u + u′, v + v′) et pour la multiplication scalaire λ.(u, v) = (λ.u, λ.v).
Plus généralement, pour tout pN*, l'ensemble Ep des listes de p éléments de E est un K-espace vectoriel pour l'addition terme à terme et la multiplication scalaire sur chaque composante.

Sous-espace vectoriel

Soit E un K-espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel de E toute partie F non vide et stable par addition et par multiplication scalaire.

En particulier, tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul.

En pratique, pour démontrer qu'un ensemble constitue un espace vectoriel, on se contente de montrer qu'il est non vide, inclus dans un espace vectoriel connu, et qu'il vérifie pour tout (λ, u, v) ∈ K × F2, λ.u + vF.

Soit E un K-espace vectoriel. Soit F une partie non vide de E. Si pour tout (λ, u, v) ∈ K × F2 on a λ.u + vF, alors F est un sous-espace vectoriel de E.

Comme F est non vide, elle contient un vecteur x donc elle contient (−1).x + x = 0. Par conséquent, pour tout (λ, u) ∈ K × E elle contient λ.u + 0 = λ.u.
Et pour tout (u, v) ∈ F2 on a u + v = 1.u + vF.
Finalement, l'ensemble F est bien un sous-espace vectoriel de E.

Si G est un sous-espace vectoriel de F qui est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, alors G est un sous-espace vectoriel de E.

Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E, alors leur intersection FG est encore un sous-espace vectoriel de E.
Plus généralement, si (Fi) est une famille de sous-espaces vectoriels de E alors leur intersection F = i Fi est encore un sous-espace vectoriel de E.

On applique le critère donné ci-dessus.

Tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul donc 0 ∈ F donc F est non vide.

Soit (λ, u, v) ∈ K × F2. En particulier, pour tout i, on a uFi et vFi donc λ.u + vFi.
Finalement, λ.u + vi Fi = F.

En revanche, l'union de deux sous-espaces vectoriels n'est presque jamais un sous-espace vectoriel, sauf si l'un est inclus dans l'autre.

La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G d'un espace vectoriel E est définie par F + G = {x + y, xF, yG}.

La somme de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E.

On note H = F + G et on a 0 ∈ F et 0 ∈ G donc par somme 0 ∈ F + G donc H est non vide.

Soit (λ, x, x′) ∈ K × H2. Il existe (y, y′, z, z′) ∈ F2 × G2 tel que x = y + z et x′ = y′ + z′, d'où l'on tire λ.x + x′ = λ.(y + z) + y′ + z′ = (λ.y + y′) + (λ.z + z′) ∈ F + G.

Donc F + G est bien un sous-espace vectoriel de E.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E.
On dit que F et G sont en somme directe si leur intersection est nulle : FG = {0}.
On dit que F et G sont supplémentaires dans E si on a à la fois FG = {0} et F + G = E. Dans ce cas, on note FG = E et on dit que E est la somme directe de F et G.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. Alors F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si pour tout xE il existe un unique (y, z) ∈ F × G tel que x = y + z.

On raisonne par double implication.

Supposons que F et G soient supplémentaires dans E. Soit xE = F + G. Par définition, il existe (y, z) ∈ F × G tel que x = y + z. Soit (y′, z′) ∈ F × G tel que x = y′ + z′. Alors on a y + z = x = y′ + z′ donc la différence yy′ = z′z appartient à la fois à F et à G donc elle est nulle. Donc on obtient y = y′ et z′ = z.

Réciproquement, supposons que tout élément de E se décompose de manière unique en une somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G. Alors par définition, pour tout xE on a xF + G. Donc on a EF + G mais E F + G donc E = F + G.
Soit xFG. Alors x = x + 0 = 0 + x avec (0, x) ∈ F × G et (x, 0) ∈ F × G, d'où par unicité de la décomposition, x = 0.

Application linéaire

Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Une application φ de E vers F est dite linéaire si elle est compatible avec l'addition et la multiplication scalaire, c'est-à-dire que pour tout (λ, u, v) ∈ K × E2, on a φ(u + v) = φ(u) + φ(v) ∈ F et φ(λ.u) = λ.φ(u) ∈ F.
On note L(E, F) l'ensemble des applications linéaires de E vers F.

Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Soit φ une application de E vers F. L'application φ est linéaire si elle vérifie pour tout (λ, u, v) ∈ K × E2, φ(λ.u + v) = λ.φ(u) + φ(v) ∈ F.

On montre la compatibilité avec l'addition à l'aide du scalaire λ = 1, puis on a φ(0) = φ(1.0 + 0) = 1.φ(0) + φ(0) = φ(0) + φ(0) donc par soustraction on trouve φ(0) = 0.
On obtient alors pour tout (λ, u) ∈ K × F, φ(λ.u) = φ(λ.u + 0) = λ.φ(u) + φ(0) = λ.φ(u).

L'ensemble des applications linéaires de E vers F forme un sous-espace vectoriel de 𝓕(E, F).

En effet, il contient l'application nulle qui est linéaire, et pour tout pour tout (α, φ, ψ) ∈ K × L(E, F)2, pour tout (λ, u, v) ∈ K × E2, on a (α.φ + ψ)(λ.u + v) = α.φ(λ.u + v) + ψ(λ.u + v) = α.(λ.φ(u)) + α.φ(v) + λ.ψ(u) + ψ(v) = λ.(αφ(u)+ψ(u)) + α.φ(v) + ψ(v) = λ.(αφ + ψ)(u) + (α.φ + ψ)(v) donc l'application α.φ + ψ est bien linéaire.

La composée de deux applications linéaires est linéaire.

Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit φ une application linéaire de E dans F.
Pour tout sous-espace G de E, son image φ(G) est un sous-espace vectoriel de F.
Pour tout sous-espace H de F, son image réciproque φ−1(H) est un sous-espace vectoriel de E.

On note Im(φ) = φ(E) l'image de φ et on note Ker(φ) = φ−1({0}) l'ensemble des antécédents du vecteur nul, appelé noyau de φ.

Une application linéaire φ : EF est injective si et seulement si son noyau est le sous-espace nul.

Soit E un K-espace vectoriel. Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
On note L(E) l'ensemble des endomorphismes de E.

La composition définit une loi de composition interne dans L(E) qui est distributive par rapport à l'addition à gauche et à droite.

Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Un isomorphisme entre E et F est une application linéaire bijective de E sur F.
S'il en existe, alors on dit que E est isomorphe à F.

Soit E un K-espace vectoriel. Un automorphisme de E est un isomorphisme de E dans E.
On note GL(E) l'ensemble des automorphismes de E.

L'ensemble GL(E) forme un groupe pour la composition, dont le neutre est l'endomorphisme identité.

Projecteur

Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires d'un espace vectoriel E. Alors il existe une unique application linéaire p ∈ L(E) telle que pour tout xF, p(x) = x et pour tout xG, p(x) = 0.

Pour tout xE, en notant x = y + z avec (y, z) ∈ F × G (l'unique décomposition sur la somme de sous-espaces supplémentaires), on pose p(x) = y.

Soit (λ, x, x′) ∈ K × E2. Il existe (y, y′, z, z′) ∈ F2 × G2 tel que x = y + z et x′ = y′ + z′, d'où l'on tire p(λ.x + x′) = p(λ.y + y′ + λ.z + z′) = λ.y + y′ = λ.p(x) + p(x′).

On appelle projection sur F parallèlement à G l'unique application linéaire p ∈ L(E) telle que pour tout xF, p(x) = x et pour tout xG, p(x) = 0.

Pour toute projection p, on a p = p2.

Pour tout xE, en notant x = y + z avec (y, z) ∈ F × G, on a p2(x) = p(p(x)) = p(y) = y = p(x).

On appelle projecteur tout endomorphisme p satisfaisant la relation p = p2.

Tout projecteur est la projection sur son image parallèlement à son noyau. En particulier, le noyau et l'image d'un projecteur sont nécessairement supplémentaires.