Intégration sur un segment

Pages associées

Introduction

Il existe plusieurs procédés pour définir l'intégrale d'une fonction réelle f continue sur un segment [a, b] de R. Si la fonction est positive, cette intégrale, notée ab f(t) dt, représente l'aire du domaine délimité au dessus de l'axe des abscisses et en dessous de la courbe, entre les deux axes verticaux d'équation x = a et x = b dans le plan muni d'un repère orthonormé. Dans le cas général, l'intégrale mesure l'aire algébrique du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses, c'est-à-dire que les composantes situées sous l'axe des abscisses sont comptées négativement.
Par convention, on note aussi ba f(t) dt = −ab f(t) dt.

L'intégrale de Riemann traduit analytiquement cette définition géométrique, qui aboutit aux propriétés fondamentales suivantes.

Cohérence avec les aires de rectangles
Pour toute fonction constante de valeur cR sur un intervalle I de R, pour tout (a, b) ∈ I2, on a ab c dt = c × (ba).
Positivité
Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a, b]. Alors on a ab f(t) dt ≥ 0.
Additivité (relation de Chasles)
Soit f continue sur un intervalle I. Pour tout (a, b, c) ∈ I3 on a ab f(t) dt + bc f(t) dt = ac f(t) dt.
Linéarité
Soit I un intervalle réel. Soit λR et soient f et g deux fonctions continues sur I. Pour tout (a, b) ∈ I2 on a ab (λf(t) + g(t)) dt = λ ab f(t) dt + ab g(t) dt.

L'additivité implique qu'une intégrale entre deux bornes identiques est nécessairement nulle : aa f(t) dt = 0.

Premières propriétés

Croissance
Soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a, b]. Si on a fg alors ab f(t) dtab g(t) dt.
La différence de deux fonctions continues étant continue, on a ici gf ≥ 0 donc ab (g(t) − f(t)) dt ≥ 0 donc par linéarité de l'intégrale on obtient ab g(t) dtab f(t) dt ≥ 0.
Stricte positivité
Soit f une fonction continue et de signe constant sur un segment [a, b] avec a < b.
Si ab f(t) dt = 0 alors la fonction f est constamment nulle sur [a, b].
On démontre la contraposée, d'abord dans le cas d'une fonction positive.

Supposons qu'il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que f(x0) > 0. Alors la fonction f est strictement supérieure à f(x0)/2 au voisinage de x0 donc il existe deux réels c et d tels que a < c < x0 < d < b et pour tout x ∈ ]c, d[ on ait f(x) > f(x0)/2.

On trouve alors ab f(t) dt = ac f(t) dt + cd f(t) dt + db f(t) dtcd f(x0)/2 dt = f(x0)/2(dc) > 0.

Pour une fonction négative, on applique la propriété à la fonction opposée, qui est positive d'intégrale nulle.

Inégalité triangulaire
Pour toute fonction f continue sur un segment [a, b], on a |ab f(t) dt|ab |f(t)| dt
On a pour tout t ∈ [a, b], |f(t)|f(t) ≤ |f(t)| donc ab|f(t)| dtabf(t) dtab|f(t)| dt.

Valeur moyenne

Pour toute fonction f continue sur un segment [a, b] avec a < b, sa valeur moyenne est définie par 1/ baab f(t) dt.

La formule de la valeur moyenne est valable même si les bornes sont données dans l'ordre décroissant : 1/ ba ab f(t) dt = 1/ ab ba f(t) dt.

Inégalités de la moyenne
Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] non dégénéré.
Si f est minorée par m et majorée par M alors on a m1/ baab f(t) dtM.
On a pour tout t ∈ [a, b], mf(t) ≤ M donc ab m dtabf(t) dtab M dt c'est-à-dire m × (ba) ≤ abf(t) dtM × (ba).

Relations avec la dérivée

Théorème fondamental de l'analyse
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I non dégénéré. Soit aI.

La fonction F : xax f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.

Soit xI et hR+∗ tel que x + hI.

Le taux d'accroissement de F entre x et x+h se note 1/h xx+h f(t) dt, c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle entre x et x+h (quel que soit le signe de h).

Pour tout intervalle ouvert J contenant f(x), il existe un intervalle ouvert contenant x d'image dans J, donc par inégalités de la moyenne, le taux d'accroissement appartient aussi à J.

Finalement, le taux d'accroissement de F en x tend vers f(x) donc la fonction F est dérivable en x avec F′(x) = f(x).

Il est clair que F s'annule en a, et pour toute autre primitive G de f s'annulant en a, la différence FG est de dérivée nulle donc est constante mais s'annule en a, donc FG = 0.

Toute fonction continue sur un intervalle I de R admet une primitive sur I.

Au lieu d'utiliser l'intégrale de Riemann, on peut aussi démontrer ce corolaire d'une autre manière et transformer le théorème fondamental de l'analyse en définition de l'intégrale pour une fonction continue. Les propriétés de l'introduction s'en déduisent facilement.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur cet intervalle.
Alors pour tout (a, b) ∈ I2 on a ab f(t) dt = [F(t)]ab = F(b) − F(a).

Cette propriété permet de calculer de nombreuses intégrales grâce aux formules de dérivées des fonctions de référence.

Intégration par parties
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, avec g dérivable sur I.
Soit F une primitive de f sur I et (a, b) ∈ I2.
Alors on a ab f(t) g(t) dt = [F(t) g(t)]abab F(t) g′(t)dt.
La fonction F × g est une primitive de la fonction continue f × g + F × g donc on trouve [F(t) g(t)]ab = ab (F(t) g′(t) + f(t) g(t) )dt = ab F(t) g′(t)dt + ab f(t) g(t) dt .
Changement de variable
Soit φ une fonction de classe C1 sur un segment [a, b] à valeur dans un intervalle J. Soit f une fonction continue sur J.
Alors on a φ(a)φ(b) f(t) dt = ab f(φ(u)) φ′(u) du
Notons F une primitive de la fonction f.

Alors pour tout x ∈ [a, b] on a φ(x) ∈ J et φ(a)φ(x) f(t) dt = F(φ(x)) − F(φ(a)).

Donc la fonction xφ(a)φ(x) f(t) dt est une primitive de la fonction xφ′(x) × f(φ(x)) et elle s'annule en a.

Par conséquent, pour tout x ∈ [a, b] on a φ(a)φ(x) f(t) dt = ax f(φ(u)) φ′(u) du.

Le changement de variable s'utilise en général en sur une intégrale de la forme ab f(t) dt en posant t = φ(u)φ est une fonction de classe C1 sur un intervalle I et par laquelle les réels a et b admettent des antécédents. Dans ce cas, on note en général dt = φ′(u) du, on cherche des antécédents α et β pour les bornes a et b puis on calcule ab f(t) dt = αβ f(φ(u)) φ′(u) du.

Pour calculer 04 exp(x) dx, on peut poser x = t2, la fonction carré étant de classe C1 sur R+, avec dx = 2t dt, les bornes 0 et 4 admettant pour antécédents respectifs 0 et 2, on en déduit 04 exp(x) dx = 02 exp(t) 2t dt et une intégration par parties permet de conclure 02 exp(t) 2t dt = [exp(t) 2t]02 − 202 exp(t) dt = 4 e2 − 2(e2 − 1) = 2 e2 + 2.

Sommes de Riemann

Les sommes de Riemann (à droite) associées à une fonction f continue sur un segment [a, b] s'écrivent pour tout nN, Sn = ba / n k=1n f(a + kba/n).

On peut aussi définir des sommes de Riemann à gauche sous la forme ba / n k=0n−1 f(a + kba/n).

La suite des sommes de Riemann converge vers l'intégrale ab f(t) dt.

En particulier, pour toute fonction f continue sur [0 ; 1], on a limn→+∞ 1/n k=1n f(k/n) = 0 1 f(t) dt.