Logique mathématique

L’adjectif « logique » est parfois confondu avec « évident » et c’est malheureusement parfois lorsqu’on est à court d’arguments que l’on assure « c’est logique » dans l’espoir de convaincre son interlocuteur.

La logique mathématique ne repose pas sur une telle faiblesse rhétorique mais sur un raisonnement structuré validé par des règles de déduction communes. Elle doit donc toujours permettre une vérification par une démonstration plus ou moins longue et s’appuyant essentiellement sur des résultats antérieurs.

Notions
prédicat, conjonction, disjonction, implication, négation, quantificateur universel ou existentiel, condition nécessaire et condition suffisante
Définitions
réciproque et contraposée
Résultats
modus ponens, lois de De Morgan
Compétences
négation d’un prédicat, disjonction de cas, démonstration par l’absurde

Algèbre propositionnelle

Prédicat

Un prédicat est une formule mathématique pouvant être lue comme une phrase avec un verbe.

Formule mathématique Lecture
8 + 8 = 16 Huit et huit font seize (Jacques Prévert, Page d’écriture)

Le symbole = décrit une relation que l’on peut lire comme le verbe « égaler » ou « valoir ».

Autres relations

Certaines relations n’ont pas de symbole d’usage courant et il est tout à fait possible d’écrire un prédicat sous la forme d’une phrase en français.

Un prédicat n’est pas nécessairement toujours vrai.

Prédicat vrai 2 + 2 = 4 Victor Hugo est né en 1802.
Prédicat faux 1 = 2 Victor Hugo est né en 1800.
Formule valable 32 + 42 Naissance en 1802
Formule impossible 1 / 0 Il a né

Une assertion est un prédicat que l’on déclare comme étant vrai.

Connecteurs binaires

En pratique, une phrase en français peut contenir plusieurs propositions séparées par des conjonctions de coordination.

Ce soir, Bernadet l’insaisissable couchera en cabane, ou je ne m’appelle plus Nestor Burma…
Léo Malet, Nestor Burmat dans l’île

De même, plusieurs prédicats peuvent être assemblés avec les connecteurs (ou opérateurs) booléens suivants.

Symbole Prononciation Résultat
« et » conjonction
« ou » disjonction
« implique » implication
« si et seulement si » équivalence
et F V
F F F
V F V
ou F V
F F V
V V V
F V
F V V
V F V
F V
F V F
V F V
Tables de vérité des principaux opérateurs booléens

Les prédicats notés à gauche et à droite du symbole sont appelés les clauses du résultat.

La conjonction ne traduit pas tous les usages du mot « et » en français. La phrase « l’éclipse de soleil n’a lieu qu’en journée et en période de nouvelle lune » est bien une conjonction car les deux conditions doivent être réunies simultanément. Au contraire, la phrase « l’équinoxe n’a lieu qu’au printemps et à l’automne » est une disjonction, car les deux conditions ne sont pas simultanées.

Le connecteur « ou » est inclusif, c’est-à-dire qu’il autorise la conjonction. Ainsi, à la question « Fromage ou dessert ? », un mathématicien peut répondre « Les deux ! » Il existe aussi un connecteur « ou exclusif », mais il est d’usage moindre en mathématiques.

Le connecteur d’implication est le seul des quatre qui n’est pas symétrique. Si A et B sont deux prédicats, l’assertion AB signifie que si A est vrai alors B aussi. On dit aussi que A est une condition suffisante pour B ou encore que B est une condition nécessaire pour A. Mais sans information supplémentaire, cela ne signifie pas que B soit vrai (et A non plus d’ailleurs).

Si le monde était à l’envers,
Je marcherais les pieds en l’air
Extrait de Si…, de Jean‑Luc Moreau

L’implication AB a pour implication réciproque BA. L’une peut être vraie sans que l’autre le soit comme dans la définition du Hitzefrei en Allemagne : « S’il fait trop chaud, les élèves sont dispensés de cours ». Une dispense de cours n’implique pas nécessairement une température élevée.

Le symbole ne signifie pas « donc » même s’il est souvent employé en ce sens en prise de notes. Il ne représente ni une déduction ni une relation causale.

L’équivalence AB est une conjonction d’implications (AB) et (BA).

Exercice
Identifier des connecteurs logiques dans des phrases en français.

Négation

À côté de ces opérateurs binaires, on trouve l’opérateur unaire de négation, qui traduit le fait de passer d’une phrase affirmative à une phrase négative (et vice versa). La négation d’un prédicat A peut se noter ¬A ou A.

Lois de De Morgan
A et BA ou B
A ou BA et B

La négation permet de définir la contraposée d’une implication AB par BA. La contraposée a même valeur de vérité que l’implication directe.

Exemple
Lorsque le détective arrive à la conclusion « Le coupable se trouvait à Paris au moment des faits », la contraposée justifie l’alibi « Si je ne me trouvais pas à Paris à ce moment-là, alors je ne suis pas le coupable. » En revanche, rien ne permet d’affirmer « Si j’étais à Paris alors je suis coupable. »
Propriété
La négation d’une implication AB est la conjonction (A et B).
Exercice
Exprimer la réciproque et la contraposée d’une implication.

Variables et quantificateurs

En français le pronom « qui » peut être employé nominalement pour représenter n’importe quel être humain sans désigner personne en particulier, notamment dans beaucoup de proverbes (« Qui dort dine »). En mathématiques, cette notion se retrouve dans l’usage de variables. Il s’agit généralement de lettres isolées, le plus souvent en italique, apparaissant dans des phrases en français ou dans des formules et pouvant être remplacées par différentes valeurs.

Exemple
La fraction a + 1/a − 2 a un sens pour n’importe quelle valeur réelle de a différente de 2.

Il est préférable de préciser systématiquement l’ensemble des valeurs possibles pour chaque variable. On a tendance à l’omettre si toutes les variables sont réelles quelconques, mais certaines peuvent représenter des fonctions, des suites, des ensembles, des matrices, des prédicats… En outre, les domaines de définition des fonctions ou les conditions d’application des théorèmes peuvent restreindre le domaine des variables.

Le fait de préciser le domaine des variables dans un prédicat ne signifie pas que ce prédicat est toujours vrai. Par exemple, l’égalité x2 = x a un sens pour n’importe quel réel x mais elle n’est vraie que si x est positif.
De même, on peut considérer l’équation de droite y = 2x + 1 avec deux variables réelles x et y représentant les coordonnées de n’importe quel point du plan, mais l’équation n’est satisfaite que lorsque le point est sur la droite.

Pour formuler une assertion, on introduit donc chaque variable avec un quantificateur qui apporte une information sur les cas de validation du prédicat. On en utilise principalement deux :

Le quantificateur universel peut sembler plus exigeant que l’existentiel (« si c’est vrai tout le temps, c’est vrai au moins une fois »). En réalité, il y a un cas où l’universel est vrai et l’existentiel faux : lorsque le domaine de la variable est vide.

Exemple
Dans une classe où tous les élèves sont majeurs, on satisfait automatiquement la condition d’organisation d’un voyage « Chaque élève mineur est muni d’une autorisation parentale » alors qu’on ne peut affirmer « Il y a au moins un élève mineur muni d’une autorisation parentale ».
« Sur une île qui n’existe pas, tout peut exister. »
Barthélémy, dans Le Naufragé du « A » des aventures de Philémon par Fred

L’ordre d’énonciation des quantificateurs est crucial en français comme en mathématiques.

Exemple
La place du complément circonstanciel change le sens de la phrase entre De même, une seule des deux propositions suivantes est vraie :
Propriété
La négation d’un quantificateur universel est un quantificateur existentiel, et réciproquement. Mais la négation d’un prédicat ne change pas l’ordre d’introduction des variables.
Exercice
Exprimer la négation d’une phrase en français en identifiant les quantificateurs sous-entendus

Formes d’inférence

Déduction

Le raisonnement mathématique consiste à produire une succession d’assertions justifiées par les précédentes ou par des axiomes (propositions admises à partir desquelles découle tout le corpus des mathématiques), suivant des règles dérivées du modus ponens. Cette règle est une formalisation du syllogisme aristotélicien :

Tous les hommes sont mortels
Or Socrate est un homme
Donc Socrate est mortel.

Les logiciens l’écrivent sous la forme AB,   A   ⊢   B dans laquelle le symbole ⊢ est beaucoup plus proche du sens du mot « donc » que ne l’est le symbole d’implication ⇒.

Induction

L’induction consiste à faire émerger une règle générale à partir de cas particuliers.

Socrate est un homme
Or Socrate est mortel
Donc tous les hommes sont mortels.

Même si la conclusion est correcte, ce procédé ne constitue pas une démonstration. En effet, l’accumulation d’exemples ne permet pas d’exclure qu’un contre-exemple puisse survenir, sauf si on s’assure d’avoir examiné tous les cas possibles. Ainsi, les Européens ont longtemps cru qu’il n’existait pas de cygne noir avant d’en trouver en Australie.

En mathématiques, de nombreux résultats traitent précisément de l’existence ou non de contre-exemples à des propriétés qui semblent vraies pour les premiers entiers ou pour les fonctions usuelles. Certaines de ces propriétés restent d’ailleurs encore à l’état de conjecture, c’est-à-dire qu’on ignore pour l’instant si elles admettent ou non un contre-exemple. L’induction est donc surtout un moyen de formuler des conjectures.

Abduction

L’abduction prend une implication à rebours.

Socrate est mortel
Or tous les hommes sont mortels
Donc Socrate est un homme.

Là encore, il ne s’agit pas d’une démonstration. Socrate pourrait aussi être le prénom d’un chien et valider ainsi seulement les deux prémisses du raisonnement. Certes, l’abduction est un mécanisme intellectuel courant (« si ça ressemble à un chien, c’est un chien » ou bien « la rue est mouillée, donc il a plu »). Mais elle mène régulièrement à des raccourcis contestables : « Cet homme a une fiche S, or tous les terroristes ont une fiche S, donc cet homme est un terroriste. »

En mathématiques, l’abduction se réalise dans l’étude de la vraisemblance en statistique inférentielle. Elle permet d’éventuellement infirmer une hypothèse d’indépendance, par exemple, mais jamais de la justifier.

Monsieur Jourdain
Qu’est-ce que c’est que cette logique ?
Maitre de philosophie
C’est elle qui enseigne les trois opérations de l’esprit. [...] La première est de bien concevoir par le moyen des universaux ; la seconde, de bien juger par le moyen des catégories ; et la troisième, de bien tirer une conséquence par le moyen des figures.

Références