Produit scalaire

Soit n ∈ N∗. Pour tout vecteur x ∈ Rn, on note (x1, … , xn) ses composantes.

Expression et norme

Définition
Soit x = (x1, … , xn) ∈ Rn et y = (y1, … , yn) ∈ Rn.
Le produit scalaire des deux vecteurs x et y est le réel ⟨x, y⟩ = ∑i=1n xiyi.
Remarque
Le produit scalaire de deux vecteurs n’est pas un vecteur, donc on ne peut avoir d’associativité pour cette opération, que l’on ne note pas avec une croix de multiplication.
Propriété
Le produit scalaire est bilinéaire et symétrique :
pour tout (x, y, z) ∈ (Rn)3, on a ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩
et pour tout λ ∈ R, ⟨x, λ·y + z⟩ = λ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩ et ⟨λ·x + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩.
Démonstration
On utilise la commutativité de la multiplication dans R et la linéarité du symbole somme.
Propriété
Pour tout x ∈ Rn, on a ⟨x, x⟩ ≥ 0.
Démonstration
Le produit scalaire ⟨x, x⟩ = ∑i=1n xi2 est une somme de carrés tous positifs.
Définition
Pour tout x ∈ Rn, on définit sa norme ‖x‖ = √(⟨x, x⟩).
Propriété
Pour tout x ∈ Rn, on a ‖x‖ ≥ 0 avec égalité si et seulement si x = 0.
Démonstration
La somme ∑i=1n xi2 est à termes positifs donc elle est nulle si et seulement si tous ses termes sont nuls.
Identités remarquables
Pour tout (x, y) ∈ (Rn)2, on a
  • ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2⟨x, y⟩
  • ⟨x + y, x − y⟩ = ‖x‖2 − ‖y‖2
Démonstration
On utilise la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire.
Propriété
La norme est positivement homogène : pour tout x ∈ Rn, pour tout λ ∈ R, ‖λ·x‖ = |λ| × ‖x‖.
Démonstration
On a ‖λ·x‖ = √(⟨λ·x, λ·x⟩) donc par bilinéarité ‖λ·x‖ = √(λ2⟨x, x⟩) = |λ| × ‖x‖.
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tout (x, y) ∈ (Rn)2, on a ⟨x, y⟩ ≤ ‖x‖ × ‖y‖.
Démonstration
Si x = 0, l’égalité est évidente. Dans le cas contraire, on introduit la fonction du second degré f : λ ↦ ‖y − λ·x‖2 = ‖y‖2 + λ2‖x‖2 − 2λ⟨x, y⟩.

Comme f est toujours positive, son discriminant est négatif : Δ = (−2⟨x, y⟩)2 − 4‖x‖2‖y‖2 ≤ 0 donc 4⟨x, y⟩2 ≤ 4‖x‖2‖y‖2 donc |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖ × ‖y‖.

Inégalité triangulaire
Pour tout (x, y) (Rn)2, ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.
Démonstration
D’après les identités remarquables, on a l’équivalence ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ ⇔ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2⟨x, y⟩ ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖ × ‖y‖ donc l’inégalité triangulaire est donnée par l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Expression matricielle
On peut définir un produit scalaire de façon analogue sur les vecteurs colonnes : pour tout (X, Y) ∈ ℳn,1(R), en notant X = [[x1][⋮][xn]] et Y = [[y1][⋮][yn]], on pose ⟨X, Y⟩ = ∑i=1n xiyi = XT × Y.
Propriété
Pour tout A ∈ ℳn,m(R), pour tout X ∈ ℳm(R) et Y ∈ ℳn(R), on a ⟨AX, Y⟩ = ⟨X, ATY⟩.
Démonstration
On vérifie ⟨AX, Y⟩ = (AX)TY = XTATY = ⟨X, ATY⟩

Orthogonalité

Définition
Soient x, y deux vecteurs de Rn. On dit que x et y sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : ⟨x, y⟩ = 0.
Théorème de Pythagore
Deux vecteurs x et y de Rn sont orthogonaux si et seulement si ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.
Démonstration
On utilise la première identité remarquable.
Définition
Une famille de vecteurs (x1, … , xp) dans Rn est dite orthogonale si elle est composée de vecteurs deux à deux orthogonaux : pour tout i ≠ j, ⟨xi, xj⟩ = 0.
Propriété
Soit (x1, … , xp) une famille orthogonale. On a ‖∑i=1p xi‖2 = ∑i=1p ‖xi‖2.
Démonstration
On procède par récurrence en utilisant le théorème de Pythagore.
Propriété
Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Démonstration
Soit (x1, … , xp) une famille orthogonale et soit (a1, … , ap) ∈ Rp tels que ∑i=1p aixi = 0.

Les vecteurs aixi sont deux à deux orthogonaux donc ∑i=1p ‖aixi‖2 = 0 mais comme tous les termes de cette somme sont positifs, on a pour tout i ∈ ⟦1 ; p⟧, ‖aixi‖2 = 0 donc aixi = 0 avec xi ≠ 0 donc ai = 0.

Définition
Une famille de vecteurs (x1, … , xp) est dite orthonormale ou orthonormée si elle est orthogonale avec pour tout i ∈ ⟦1 ; p⟧, ‖xi‖ = 1.
Coordonnées dans une base orthonormée
Soit (e1, … , en) une base orthonormée d’un sous-espace vectoriel F ⊂ Rn. Pour tout x ∈ F on a x = ∑i=1n ⟨x, ei⟩·ei.
Démonstration
L’application φ : x ↦ ∑i=1n ⟨x, ei⟩·ei est un endomorphisme de F et pour tout k ∈ ⟦1 ; n⟧, φ(ek) = ∑i=1n ⟨ek, ei⟩·ei = ‖ek‖2·ek = ek. Donc l’application φ est l’identité dans F.
Propriété
Soit (e1, … , en) une base orthonormée de Rn. Pour tout x ∈ Rn on a‖x‖2 = ∑i=1n⟨x, ei⟩2.
Démonstration
On applique la généralisation du théorème de Pythagore aux coordonnées dans la base orthonormée.
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Soit (x1, … , xp) une famille libre dans Rn.
Il existe une unique famille orthonormée (e1, … , ep) telle que pour tout k ∈ ⟦1 ; p⟧,
  1. Vect(e1, … , ek) = Vect(x1, … , xk) ;
  2. ⟨ek, xk⟩ > 0.
Cette famille orthonormée est appelée orthonormalisation de la famille (x1, … , xp).
Démonstration
On procède par récurrence sur p ∈ N∗ en raisonnant à chaque fois par analyse-synthèse.

Dans le cas p = 1, tout vecteur de Vect(x1) s’écrit e1 = λ·x1, avec ⟨ek, xk⟩ = λ × ‖x1‖2 donc la deuxième condition donne λ > 0, et l’équation ‖e1‖ = 1 impose λ × ‖x‖ = 1 d’où λ = (1)/(‖x1‖).
Avec cette valeur de λ, on obtient bien une famille orthonormée (e1) qui satisfait les deux conditions.

Soit p ∈ N∗ telle que la propriété soit vraie pour toute famille orthonormée de p vecteurs. Soit (x1, … , xp+1) une famille orthonormée de Rn.
On note (e1, … , ep) l’orthonormalisation de la famille (x1, … , xp).
Soit ep+1 tel que la famille (e1, … , ep) satisfasse les conditions de l’énoncé.
On trouve xp+1 = ∑i=1p+1 ⟨xp+1, ei⟩·ei avec ⟨xp+1, ep+1⟩ ≠ 0 puisque xp+1 ∉ Vect(e1, … , ep) = Vect(x1, … , xp).
Donc en posant λ = (1)/(⟨xp+1, ep+1⟩) > 0, on trouve ep+1 = λ(xp+1 − ∑i=1p ⟨xp+1, ei⟩·ei) d’où 1 = λ × ‖xp+1 − ∑i=1p ⟨xp+1, ei⟩·xi‖.

En synthèse, on pose y = xp+1 − ∑i=1p ⟨xp+1, ei⟩·ei et le vecteur ep+1 = (1)/‖y‖·y satisfait les conditions de l’énoncé.

Propriété
Toute famille orthonormée de vecteurs d’un sous-espace vectoriel F peut être complétée en une base orthonormée de F.
Démonstration
Soit F un sous-espace vectoriel Rn. On note d = dim(F).

Soit (x1, … , xp) une famille orthonormée dans F. En particulier, cette famille est orthogonale avec des vecteurs non nuls donc elle est libre et peut être complétée en une base (x1, … , xd) de F.

On note (e1, … , eq) l’orthonormalisation de (x1, … , xd). Cette famille est libre avec d vecteurs dans F donc c’est une base orthonormée de F.

La sous-famille (e1, … , ep) est une orthonormalisation de (x1, … , xp) qui est déjà orthonormée, donc pour tout i ∈ ⟦1 ; p⟧, xi = ei.

Finalement, la base orthonormée (e1, … , ed) prolonge la famille (x1, … , xp).

En particulier, on obtient que tout sous-espace vectoriel de Rn admet une base orthonormée.

Sous-espace vectoriel orthogonal

Propriété
Soit A ⊂ Rn. L’ensemble {x ∈ Rn : ∀a ∈ A, ⟨a, x⟩ = 0 } est un sous-espace vectoriel de Rn appelé orthogonal de A et noté A⊥.
Démonstration
Soit (x, y) ∈ (A⊥)2 et λ ∈ R. Par bilinéarité, pour tout a ∈ A on a ⟨a, λ·x + y⟩ = λ⟨a, x⟩ + ⟨a, y⟩ = 0 donc λ·x + y ∈ A⊥.
Propriété
Si A et B sont deux parties de Rn telles que A ⊂ B alors A⊥ ⊃ B⊥.
Démonstration
Soit y ∈ B⊥. Pour tout a ∈ A, on a a ∈ B donc ⟨a, y⟩ = 0, donc y ∈ A⊥.
Propriété
Tout sous-espace vectoriel F ⊂ Rn est un supplémentaire de son orthogonal : F ⊕ F⊥ = Rn.
Démonstration
Pour tout x ∈ F ∩ F⊥, on trouve ⟨x, x⟩ = 0 donc x = 0. Donc F ∩ F⊥ = {0}.

On complète une base orthonormée de F notée (e1, … , ed) en une base orthonormée de Rn, notée (e1, … , en). Le sous-espace G = Vect(ed+1, … , en) est un sous-espace supplémentaire de F et G ⊂ F⊥ donc F + F⊥ = Rn.

Propriété
L’orthogonal d’un vecteur non nul est un hyperplan.
Démonstration
Soit e ∈ E ∖ {0}. On a {e} ⊂ Vect(e) donc {e}⊥ ⊃ Vect(e)⊥ or Vect(e)⊥ est un supplémentaire de Vect(e) donc dim({e}⊥) ≥ dim(Vect(e)⊥ = n − 1. Mais e ∉ {e}⊥ donc {e}⊥ ≠ Rn donc dim({e}⊥) < n. Finalement, {e}⊥ est bien un hyperplan.
Propriété
Deux vecteurs orthogonaux à un même hyperplan sont colinéaires
Démonstration
Soient x et y deux vecteurs orthogonaux à un même hyperplan H. Alors x et y appartiennent tous les deux à l’espace H⊥ de dimension 1, donc ils sont colinéaires.
Propriété
Tout sous-espace vectoriel F ⊂ Rn est l’orthogonal de son orthogonal : (F⊥)⊥ = F.
Démonstration
Pour tout (x, y) ∈ F × F⊥, on a ⟨y, x⟩ = 0 donc x ∈ (F⊥)⊥. Donc F ⊂ (F⊥)⊥.

Or F et (F⊥)⊥ sont des supplémentaires de F⊥ donc ils ont la même dimension.

Donc F = (F⊥)⊥.

Propriété
Une base de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F ⊂ Rn donne un système d’équations de F.
Démonstration
Soit (y1, … , yq) une base de F⊥. L’ensemble des solutions du système formé par les équations linéaires ⟨x, yi⟩ contient F et est contenu dans F⊥⊥ donc il s’agit bien de F.
Définition
Soit F un sous-espace vectoriel de Rn. La projection orthogonale sur F est la projection sur F parallèlement à F⊥.
Propriété
Soit (e1, … , ep) une base orthonormée d’un sous-espace vectoriel F ⊂ Rn. L’application définie pour tout x ∈ Rn par p(x) = ∑i=1p ⟨x, ei⟩·ei est la projection orthogonale sur F.
Démonstration
L’application p ainsi définie est un endomorphisme de Rn et vérifie pour tout y ∈ F, p(y) = y par expression des coordonnées dans une base orthonormée, et pour tout z ∈ F⊥, p(z) = ∑i=1p ⟨z, ei⟩·ei = 0.

Topologie

Définition
Pour tout (x, y) ∈ (Rn)2, la distance entre x et y est la norme de leur différence : d(x, y) = ‖y − x‖.
Propriété
Pour tout (x, y, z) ∈ (Rn)3,

On dit alors qu’un vecteur x est plus proche d’un vecteur y que d’un vecteur z si d(x, y) ≤ d(x, z).

Propriété
Le projeté orthogonal d’un vecteur x sur un sous-espace vectoriel F est le point de F le plus proche de x.
Démonstration
On note p la projection orthogonale sur F et y = p(x). Soit z ∈ F. On a p(y − x) = p2(x) − p(x) = 0 par propriété des projections, donc y − x ∈ F⊥, et z − y ∈ F. Donc on a ‖z − y‖2 + ‖y − x‖2 = ‖z − x‖2 par théorème de Pythagore, d’où d(y, x) ≤ d(z, x).
Définition
La distance d’un vecteur x à un sous-espace vectoriel F est la norme ‖x − p(x)‖, où p est la projection orthogonale sur F.
Définition
Soit (xm)m∈N une suite de vecteurs dans Rn. On dit que la suite converge vers un vecteur ℓ si pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧ on a limm→+∞xm,i = ℓi.
Convergence vers le vecteur nul
Une suite de vecteurs (xm)m∈N converge vers le vecteur nul si et seulement si limm→+∞ ‖xm‖ = 0.
Démonstration
On raisonne par double implication.

Si (xm)m∈N converge vers le vecteur nul alors par définition pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧ on a limm→+∞xm,i = 0, donc limm→+∞ ∑i=1n xm,i2 = 0 donc limm→+∞ ‖xm‖ = 0.

Réciproquement, supposons limm→+∞ ‖xm‖ = 0. Pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧ , on a xm,i2 ≤ ‖xm‖2 donc limm→+∞xm,i2 = 0, donc limm→+∞xm,i = 0.

Définitions
Soit a ∈ Rn et r ∈ R+.

La boule ouverte de centre a et de rayon r est l’ensemble Ba,r = {x ∈ Rn : d(a, x) < r}.

La boule fermée de centre a et de rayon r est l’ensemble ¯(B)a,r = {x ∈ Rn : d(a, x) ≤ r}.

La sphère de centre a et de rayon r est l’ensemble Sa,r = {x ∈ Rn : d(a, x) = r}.

Exemples