Applications linéaires matricielles

Application associée

Définition
Pour toute matrice A = (ai,j) ∈ ℳn,m(R), l’application associée est l’application φ : RmRn vérifiant pour tout x = (x1, … , xm) ∈ Rm, φ(x) = ( j=1m a1,jxj, … , j=1m an,jxj). Autrement dit, avec la notation en vecteurs colonnes, il s’agit de l’application XAX.
Définition
Soient (m, n) ∈ (N)2. Une application φ : RmRn est dite linéaire si elle vérifie pour tout (λ, u, v) ∈ R × (Rm)2, φ(u + v) = φ(u) + φ(v) et φ(λ·u) = λ·φ(u).
On note L(Rm, Rn) l’ensemble des applications linéaires de Rm vers Rn.

En pratique, on vérifie directement la relation φ(λ·u + v) = λ·φ(u) + φ(v).

Propriété
Toute application associée à une matrice est linéaire.
Propriété
Toute application linéaire de Rm vers Rn est associée à une unique matrice de n,m(R), dont les colonnes décrivent les images des vecteurs de la base canonique.
Démonstration
Soit φ ∈ L(Rm, Rn). On note (e1, … , em) la base canonique de Rm.

Si φ est associée à une matrice A ∈ ℳn,m(R), alors pour tout j ∈ ⟦1 ; m la j-ème colonne de A représente le vecteur φ(ej), donc φ ne peut être associée à une autre matrice.

Réciproquement, si on note pour tout j ∈ ⟦1 ; m, φ(ej) = (a1,j, … , an,j). alors pour tout x = (x1, … , xm) ∈ Rm, on trouve φ(x) = j=1m xj·φ(ei) = ( j=1m a1,jxj, … , j=1m an,jxj).
Donc l’application φ est bien associée à la matrice A = (ai,j) ∈ ℳn,m(R).

Composée et réciproque

Propriété
La composée de deux applications linéaires est linéaire, et associée au produit des matrices correspondantes.
Démonstration
Soit f ∈ L(Rm, Rn) et g ∈ L(Rn, Rp) associées respectivement aux matrices A = (ai,j)∈ ℳn,m(R) et B = (bi,j)∈ ℳp,n(R).

En notant (e1, … , em) la base canonique de Rm, on trouve pour tout j ∈ ⟦1 ; m, (gf)(ej) = g(f(ej)) = g(a1,j, a2,j, … , an,j) = k=1n ak,jg(ek) = (k=1n ak,j b1,k, … , k=1n ak,j bp,k) .

La composée gf est donc associée à la matrice produit B × A.

Propriété
Une application linéaire est bijective si et seulement si elle est associée à une matrice inversible.

Sous-espaces vectoriels

Définition
Soit A ∈ ℳn,m(R). L’image de A est l’ensemble Im(A) = {AX, X ∈ ℳm,1(R)}, son noyau est l’ensemble Ker(A) = {X ∈ ℳn,1(R) : AX = 0}.
Propriété
L’image et le noyau représentent des sous-espaces vectoriels de vecteurs colonnes.
Propriété
Une application linéaire est injective si et seulement si elle est associée à une matrice de noyau nul.
Propriété
Plus généralement, l’image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’ensemble but. La préimage d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’ensemble de départ.
Famille des colonnes
Soit A ∈ ℳn,m(R). On note φ : XAX l’application associée entre Rm et Rn.
  1. L'application φ est injective si et seulement si les vecteurs colonnes de A forment une famille libre.
  2. L'application φ est surjective si et seulement si les vecteurs colonnes de A forment une famille génératrice de n,1(R).
  3. L'application φ est bijective si et seulement si les vecteurs colonnes de A forment une base de n,1(R).
Propriété
Soit φ un isomorphisme entre deux espaces vectoriels E et F.
Une famille de vecteurs (x1, … , xp) ∈ Ep est libre (resp. génératrice de E, resp. une base de E) si et seulement si la famille (φ(x1), … , φ(xp)) est libre (resp. génératrice de F, resp. une base de F).

Rang

Définition
Le rang d’une matrice est la dimension de l’espace engendré par ses colonnes.
Exemple
Le rang d’une matrice (non nécessairement carrée) dont tous les coefficients sont nuls en dehors de la diagonale est le nombre de coefficients non nuls.
Théorème du rang
Pour tout A ∈ ℳn,m(R) on a m = dim(Ker(A)) + rg(A).
Démonstration
On note (X1, … , Xk) une base de Ker(A) ⊂ Rm, qui est une famille libre et que l’on complète en une base (X1, … , Xm) de Rm.
On montre ensuite que la famille = (AXk+1, … , AXm) est une base de Im(A).

Soit (λk+1, … , λm) ∈ Rmk tel que i=k+1m λi·AXi = 0 c’est-à-dire A(i=k+1m λi·Xi) = 0. On a alors i=k+1m λi·Xi ∈ Ker(A) donc il existe (λ1, … , λk) ∈ Rk tel que i=k+1m λi·Xi = i=1k λi·Xi mais par unicité de la décomposition sur une base, on trouve pour tout i ∈ ⟦1 ; m, λi = 0. Donc la famille est libre.

Soit Y ∈ Im(A). Il existe XRm tel que Y = AX donc en notant X = i=1m λi·Xi, on trouve Y = Ai=1m λi·Xi = i=k+1m λi·AXi. Donc la famille est génératrice dans Im(A).

Finalement, on trouve rg(A) = dim(Vect(ℬ)) = mk donc m = rg(A) + k = rg(A) + dim(Ker(A).

Propriété
Pour tout A ∈ ℳn,p(R), pour tout B ∈ ℳp,q(R), rg(AB) ≤ max(rg(A), rg(B)).
Propriété
Toute matrice est de même rang que son produit avec une matrice inversible.

Matrices équivalentes

Définition
Une matrice A ∈ ℳm,n(R) est dite équivalente à une matrice B ∈ ℳm,n(R) s’il existe deux matrices inversibles P ∈ 𝒢ℒm(R) et Q ∈ 𝒢ℒn(R) telles que B = Q−1AP.
Propriété
La relation ainsi définie est :
Propriété
Toute matrice A ∈ ℳn,p(R) de rang r est équivalente à la matrice Jn,p,r dont les coefficients ci,j valent 1 si i = jr et 0 sinon.
Propriété
Deux matrices dans n,m sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.
Propriété
Toute matrice a le même rang que sa transposée.