Vecteurs à composantes réelles

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Notions
Vecteur, composante, addition de vecteurs et multiplication scalaire, combinaison linéaire et coefficients, coordonnées, base canonique, droite vectorielle, espace vectoriel engendré
Définitions
Famille libre ou génératrice, base, sous-espace vectoriel
Résultats
Équation de produit nul, caractérisation des bases, classification des sous-espaces vectoriels de R2
Compétences
Calculer une combinaison linéaires de vecteurs
Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires
Déterminer si un vecteur est engendré par une famille de vecteurs
Déterminer si une famille est libre et si elle est génératrice
Calculer les coordonnées d’un vecteur dans une base
Déterminer si un ensemble de vecteurs constitue un sous-espace vectoriel
Décrire un sous-espace vectoriel à l’aide d’équations ou comme un sous-espace engendré

Soit nN. Un vecteur à n composantes réelles est une liste de réels (x1, … , xn). Un tel vecteur est parfois noté à l'aide d'une lettre surmontée d'une flèche pointant vers la droite, à la manière des vecteurs géométriques, surtout au début de l’apprentissage.

Structure

L'ensemble des vecteurs à n composantes réelles est muni de deux opérations : l'addition composante par composante et la multiplication scalaire.

Pour tout (λ, x, y) ∈ R × Rn × Rn, en notant x = (x1, … , xn) et y = (y1, … , yn), on pose x + y = (x1 + y1, … , xn + yn et λ·x = (λx1, … , λxn).

Les opérations précédentes satisfont plusieurs propriétés qui permettront de définir la structure d'espace vectoriel.

Structure de groupe abélien
L’addition des vecteurs est associative et commutative dans Rn, avec le vecteur nul 0 = (0, … , 0) pour neutre, et tout vecteur (x1, … , xn) admet un opposé (−x1, … , −xn).
Distributivité
La multiplication scalaire est distributive à gauche par rapport à l'addition des scalaires et distributive à droite par rapport à l'addition des vecteurs.
Pseudo-associativité et neutre
Pour tout (λ, μ, x) ∈ R × R × Rn, (λ × μx = λ·(μ·x) et x = x.

Une première conséquence de ces propriétés est la persistance de l’équation de produit nul, qui reste valable dans ce contexte mais ne le sera plus sur l’ensemble des matrices.

Équation de produit nul
Soit (λ, x) ∈ R × Rn. On a l'équivalence suivante : λ·x = 0  ⇔  λ = 0 ou x = 0.

Colinéarité et combinaison linéaire

Définition
Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires s’il existe un réel λ tel que u = λ·v.
Propriété
La relation de colinéarité est une relation d’équivalence sur les vecteurs non nuls, c’est-à-dire que :
Remarque
On dira que le vecteur nul est colinéaire à tous les autres vecteurs, en prenant garde au fait que deux vecteurs non colinéaires entre eux sont quand même tous les deux colinéaires au même vecteur nul.

On dit qu'un vecteur y est engendré par une famille (x1, …, xp) de vecteurs s'il existe une famille de scalaires (λ1, …, λp) appelés coefficients telle que y = j=1p λj·xj, autrement dit s'il peut s'écrire comme une combinaison linéaire sur les vecteurs (x1, …, xp).

Remarque
Le vecteur nul est engendré par n'importe quelle famille de vecteurs en choisissant des coefficients tous nuls.

L’expression des coefficients s’obtient à l’aide d’un système d’équations linéaires avec n lignes (une par composante), dont les inconnues sont les p coefficients. Ce système peut se résoudre à l’aide de la méthode du pivot de Gauss.

Famille libre

Définition
Une famille de vecteurs est simplement une liste de vecteurs (x1, … , xp).
Elle est dite liée si elle peut engendrer le vecteur nul avec au moins un coefficient non nul. Dans ce cas, on obtient une relation linéaire entre les vecteurs de la famille.
Sinon, on dit que les vecteurs sont linéairement indépendants ou encore qu'ils forment une famille libre.
Propriété
Le fait qu’une famille soit libre ou liée ne dépend pas de l’ordre de ses termes.
Démonstration
Cette propriété vient de l’associativité et la commutativité de l’addition des vecteurs.
Propriété
Une famille d’un seul vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul. Une famille de deux vecteurs est libre si et seulement si ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Propriété
Toute famille de vecteurs extraits d’une famille libre est libre.
Propriété
Toute famille libre dans Rn est composée d’au plus n vecteurs.
Démonstration
Soit (x1, … , xp) une famille libre dans Rn.
L’équation i=1n ai·xi = 0 d’inconnues a1, … , ap se ramène à un système de n équations à p inconnues, avec une seule solution donc de rang r = p mais rn donc pn.

Sous-espace vectoriel

Définition
Soit FRn. On dit que F est un sous-espace vectoriel de Rn si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

Pour démontrer qu’un ensemble de vecteurs constitue un sous-espace vectoriel de Rn, on se contente en général de vérifier le critère suivant.

Propriété
Un sous-ensemble non vide F de Rn est un sous-espace vectoriel si et seulement si pour tout (λ, x, y) ∈ R × F2, on a λx + yF.
Propriété
L’ensemble des combinaisons linéaires sur une famille de vecteurs (x1, … , xp) est un sous-espace vectoriel noté Vect(x1, … , xp) et appelé sous-espace vectoriel engendré.
Démonstration
On note F = Vect(x1, … , xp), qui contient la combinaison linéaire i=1pxi = 0.
Soit (λ, u, v) ∈ R × F2. On note u = i=1p ai·xi et v = i=1p bi·xi, d’où λ·u + v = λ·i=1p ai·xi + i=1p bi·xi = i=1p (λai + bixiF.
Définition
Pour tout vecteur non nul uRn, la droite vectorielle engendrée par u est le sous-espace vectoriel Vect(u) = {λ·u, λR}.
Propriété
Tout sous-espace vectoriel est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire que pour tout (λ1, … , λk x1, … , xk) ∈ Rk × Fk, on a i=1k λi·xiF.
Démonstration
On procède par récurrence sur k.
Classification des sous-espaces vectoriels de R2
Les seuls sous-espaces vectoriels de R2 sont le sous-espace nul {0}, les droites vectorielles et l’espace R2.
Démonstration
Soit F un sous-espace vectoriel de R2. Il contient nécessairement le vecteur nul.

Si F ≠ {0} alors il existe uF ∖ {0} donc F contient la droite vectorielle engendrée par u.

Si F contient un vecteur v en dehors de cette droite vectorielle, alors les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires donc la famille (u, v) est libre. Pour tout xF, la famille (u, v, x) contient 3 vecteurs donc elle n’est pas libre dans F, donc il existe une relation a·u + b·v + c·x = 0, avec (a, b, c) ∈ R3 ∖ {(0, 0, 0)}, mais c ≠ 0 puisque la famille (u, v) est libre, donc x = (−1)/(c)·(a·u + b·v) ∈ F. Donc F = R2.

Famille génératrice

Définition
Soit (x1, … , xp) une famille de vecteurs et F un sous-espace vectoriel de Rn.
On dit que la famille est génératrice de F si F = Vect(x1, … , xp)
Propriété
Le fait qu’une famille soit génératrice ne dépend pas de l’ordre de ses termes.
Propriété
Toute famille dont on peut extraire une famille génératrice est génératrice.
Propriété
Toute famille génératrice dans Rn contient au moins n vecteurs.
Démonstration
Soit une famille génératrice de Rn avec p vecteurs. Supposons p < n. Pour tout (a1, … , an), la relation a1x1 + ⋯ + anxn = 0 est satisfaite pour tous les vecteurs x de la famille si et seulement si (a1, … , an) est solution d’un système homogène de p équations linéaires avec n inconnues. Puisque n > p, il existe une solution (a1, … , an) ∈ Rn ∖ {0}.
Comme l’équation linéaire a1x1 + ⋯ + anxn = 0 est satisfaite pour tous les vecteurs de la famille génératrice , donc elle est satisfaite pour tous les vecteurs de Rn, et en particulier pour le vecteur (a1, … , an), donc a12 + ⋯ + an2 = 0.
Mais une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chacun des termes est nul, ce qui contredit l’hypothèse (a1, … , an) ≠ 0.
Finalement, on a np.
Remarque
Les adjectifs « libre » et « génératrice » ne sont pas contradictoires. Une famille peut très bien n’être ni libre ni génératrice, ou les deux à la fois comme dans la définition suivante.

Base

Définition
Une famille de vecteurs d’un sous-espace vectoriel F de Rn est appelée base de F si elle est à la fois libre et génératrice de F.
Exemple
Tout vecteur non nul constitue une base de la droite vectorielle qu’il engendre.
Propriété
Toute base de Rn contient exactement n vecteurs.
Caractérisation des bases
Une famille de vecteurs d’un sous-espace vectoriel F est une base de F si et seulement si elle permet d’engendrer n’importe quel vecteur de F de façon unique.
Démonstration
On procède par double implication.

Si (e1, … , ep) est une base de F, alors elle est génératrice donc permet d’engendrer n’importe quel autre vecteur par définition. Soit xF et deux décompositions x = i=1p ai·ei = i=1p bi·ei.
Alors par différence on trouve i=1p (aibiei = 0 mais comme la famille est libre on trouve pour tout i ∈ ⟦1 ; p, aibi = 0 donc ai = bi.

Réciproquement, si tout vecteur se décompose d’une unique manière sur la famille (e1, … , ep) alors cette famille est génératrice par définition et on a 0 = i=1pei donc il n’y a pas d’autre décomposition du vecteur nul, ce qui justifie que la famille est libre.

Définition
La base canonique de Rn est la famille (e1, … , en), dans laquelle chaque vecteur ei a sa i-ème composante qui vaut 1 et toutes les autres sont nulles.
Propriété
Une famille libre maximale, c’est-à-dire qui ne peut être prolongée en une famille libre avec un vecteur supplémentaire, est nécessairement une base.
Démonstration
Soit (x1, … , xp) une famille libre maximale dans un sous-espace vectoriel F.
Pour tout yF, la famille (x1, … , xp, y) n’est pas libre donc il existe (a1, … , ap, b) ∈ Rp+1 ∖ {0} tel que a1·x1 + ⋯ + ap·xp + by = 0.
Or la famille (x1, … , xp) est libre donc b ≠ 0 donc y = (−1)/(b) (a1·x1 + ⋯ + ap·xp) ∈ Vect(x1, … , xp).
Finalement, la famille (x1, … , xp) est aussi génératrice de F donc c’est une base de F.
Propriété
Tout sous-espace vectoriel non nul admet une base.
Démonstration
Soit F un sous-espace vectoriel non nul de Rn. Il contient au moins un vecteur non nul qui constitue une famille libre dans F de longueur 1.
L’ensemble des longueurs de familles libres dans F est une partie non vide de N et majorée par n. Il admet un maximum m et il existe une famille libre de longueur m. Par construction, cette famille est de longueur maximale donc elle est maximale, donc c’est une base.

Par convention, le sous-espace vectoriel nul admet une unique base vide (de longueur 0).

Théorème de la base incomplète
Soit une famille libre et 𝒢 une famille génératrice dans un même sous-espace vectoriel F de Rn. Si la famille n’est pas déjà une base, on peut la prolonger avec certains vecteurs de la famille 𝒢 pour obtenir une base de F.
Démonstration
On note A l’ensemble des longueurs de familles libres obtenues en prolongeant la famille à l’aide de vecteurs de 𝒢.
L’ensemble A est une partie non vide de N et majorée par n donc A admet un maximum m.
Il existe donc une famille libre de m vecteurs obtenue en prolongeant la famille avec des vecteurs de 𝒢. Comme tout prolongement avec un vecteur de 𝒢 donne une famille liée, on obtient que tous les vecteurs de 𝒢 sont engendrés par , donc est génératrice de F, or elle est libre par définition, donc c’est une base de F.

Coordonnées

Définition
Si (e1, … , ep) est une base d’un sous-espace vectoriel F de Rn, pour tout xF s’écrivant de manière unique x = i=1p λi·ei, la famille (λ1, … , λp) est appelée coordonnées de x dans la base (e1, … , ep).
On note en général ces coordonnées sous la forme d’un vecteur colonne [[λ1][][λp]]
Remarque
Les coordonnées d’un vecteur dans la base canonique sont simplement ses composantes.

Les coordonnées d’une combinaison linéaire de vecteurs sont obtenues par combinaison linéaires des coordonnées avec les mêmes coefficients, ce qui permet de justifier la propriété suivante.

Propriété
Soit une famille de vecteurs dans un sous-espace vectoriel F admettant une base (e1, … , ep).
La famille est libre (ou génératrice dans F) si et seulement si la famille de ses vecteurs de coordonnées est libre (ou génératrice dans Rp).

Dimension

Propriété
Toute famille libre a autant ou moins de vecteurs qu’une famille génératrice dans le même sous-espace vectoriel.
Démonstration
Soit une famille libre et 𝒢 une famille génératrice dans le même sous-espace vectoriel admettant une base  = (e1, … , ep).
Les vecteurs de coordonnées des termes de  dans la base  forment une famille libre dans Rp donc  contient au plus p vecteurs, tandis que les vecteurs de coordonnées des termes de 𝒢 dans la base forment une famille génératrice dans Rp donc 𝒢 contient au moins p vecteurs.
Théorème de la dimension
Dans un sous-espace vectoriel, toutes les bases ont le même nombre de vecteurs.
Démonstration
Soient et ℬ′ deux bases d’un sous-espace vectoriel F.
Chacune des deux bases est libre et génératrice, donc chacune a au plus autant de vecteurs que l’autre, donc elles ont autant de vecteurs.
Définition
La dimension d’un sous-espace vectoriel F est le nombre de vecteurs de chacune de ses bases et on la note dim(F).
Par convention, dim({0}) = 0.
Propriété
Dans un sous-espace vectoriel F de dimension d, toute famille libre ou génératrice contenant exactement d vecteurs est une base de F.
Démonstration
Soit x1, … , xd une famille libre dans F. Il est possible de la compléter en une base de F, qui aurait aussi d vecteurs, donc la famille est déjà une base de F.
Soit 𝒢 = y1, … , yd une famille génératrice de F. Le vecteur y1 constitue une famille libre, qu’il est possible de la compléter en une base de F avec (d − 1) vecteurs de 𝒢, donc cette base est 𝒢.
Propriété
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Rn tels que FG alors dim(F) ≤ dim(G).
Démonstration
Il existe une base de F, avec dim(F) vecteurs. La base qui est une famille libre de G donc contient au plus dim(G) vecteurs. Finalement, dim(F) ≤ dim(G).
Propriété
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Rn tels que FG avec dim(F) = dim(G) alors F = G.
Démonstration
On note p = dim(F) = dim(G). Il existe une base de F qui est libre avec p vecteurs dans G, donc est aussi une base de G.