Un système d'équations est simplement une liste d'équations portant sur les mêmes inconnues. Il est dit linéaire si chaque équation relie une combinaison linéaire des inconnues à une constante en second membre.
On écrit en général les équations en lignes successives de façon à disposer les occurrences de chaque inconnue soient alignées verticalement. Une accolade à gauche regroupe les équations.
Un tel système traduit une relation matricielle avec une matrice des coefficients et des vecteurs colonnes regroupant d’une part les inconnues, d’autre part les constantes.
La résolution d’un tel système consiste à exprimer les inconnues en fonction des coefficients et de variables libres. Ces dernières correspondent en général à certaines des inconnues, choisies en fin de résolution.
On commence par choisir une ligne de pivot dans laquelle le coefficient de la première inconnue est le plus simple possible qu’on écrit en premier dans un nouveau système, puis on élimine cette inconnue dans toutes les autres équations à l’aide d’une combinaison avec cette ligne et la ligne de pivot.
On élimine éventuellement les équations tautologiques (0 = 0) et les lignes redondantes, puis on choisit une nouvelle ligne de pivot pour éliminer l’inconnue suivante dans les équations suivantes, et ainsi de suite jusqu’à ce que le système obtenu soit échelonné, c’est-à-dire que chaque ligne commence par une inconnue différente.
Tous les systèmes ainsi obtenus sont équivalents, c’est-à-dire que les solutions sont les mêmes.
À partir du système échelonné, on détermine les solutions en partant de la ligne la plus basse. Si on trouve une unique solution (c’est-à-dire une seule valeur possible pour chaque inconnue), le système est de Cramer. Cela se produit si le système échelonné est triangulaire avec des coefficients diagonaux non nuls, c’est-à-dire s’il y a autant de lignes que d’inconnues et que chaque inconnue apparait avec le premier coefficient non nul sur une de ces lignes.
Si au contraire une étape de la résolution du système fait apparaitre une équation impossible, le système n’a pas de solution.
Si enfin il y a plus d’inconnues que d’équations et s’il n’y a aucune équation impossible dans le système échelonné, alors il y a une infinité de solutions, paramétrées par (p − r) variables libres, où p est le nombre d’inconnues, et r est le nombre d’équations du système échelonné (éventuellement inférieur au nombre d’équations du système initial) et appelé rang du système.
Pour choisir ces variables libres, on peut utiliser les inconnues n’apparaissant pas en début de ligne.
Un système d’équations linéaires est dit homogène si tous ses seconds membres sont nuls. Dans ce cas, il admet automatiquement la solution nulle, dans laquelle toutes les inconnues prennent la valeur 0. Toutes les autres solutions sont alors des combinaisons linéaires des variables libres.