Résolution de système d’équations linéaires et calcul du rang

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Les systèmes d’équations linéaires sont en général donnés avec au moins deux inconnues mais ont parfois des coefficients qui dépendent d’autres variables appelées paramètres. Résoudre un tel système consiste à exprimer les inconnues en fonction des paramètres et de variables libres. Souvent, ces variables libres sont identifiées à certaines inconnues. Le nombre de variables libres est le rang du système.

Dans certains cas, il peut être utile de traduire un système d’équations linéaires sous forme matricielle AX = BA est la matrice des coefficients du système, X est un vecteur colonne dont les composantes sont les inconnues et B est le vecteur colonne des seconds membres du système. Cependant, en pratique la traduction se fait plus souvent en sens inverse, la résolution de système permettant de résoudre des équations matricielles.

Résolution

La résolution d’un système d’équations linéaires se fait systématiquement [sic] par équivalences.

Exceptionnellement, le raisonnement par analyse et synthèse peut être employé si l’on a un moyen simple de s’assurer qu’il y a une unique solution. Dans ce cas, on peut calculer les composantes de cette solution par réductions successives des équations, mais cette méthode est rarement plus rapide.

Par double substitution

Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues sans paramètre, il est parfois plus simple d’exprimer une inconnue à l’aide de l’autre dans une équation puis de substituer cette inconnue avec son expression dans la deuxième équation. On résout alors l’équation du premier degré avec une seule équation et on en déduit la valeur de la deuxième inconnue par une nouvelle substitution.

Cependant, il vaut mieux s’habituer à résoudre les systèmes d’équations linéaires en appliquant la méthode du pivot de Gauss.

Par la méthode du pivot de Gauss

Après avoir bien introduit les inconnues, on commence par écrire le système en alignant verticalement les inconnues d’une ligne à l’autre. Puis on raisonne par équivalences pour transformer progressivement le système en un système échelonné.

Pour chaque transformation, on choisit une nouvelle ligne de pivot, sur laquelle le premier coefficient non nul est le plus à gauche possible. Si plusieurs lignes sont possibles, on en choisit une sur laquelle ce coefficient est le plus simple possible (sans paramètre).

Après le symbole d’équivalence, on écrit donc un système avec toutes les lignes de pivot utilisées, puis on élimine l’inconnue du premier coefficient non nul sur toutes les lignes restantes par combinaison linéaire avec la dernière ligne de pivot.

Pour cela, si dernière la ligne de pivot, notée , s’écrit λx + … = … et si une autre ligne, notée Li, s’écrivait μx + … = …, on peut coder l’opération élémentaire par Liμ/λ.

Attention, la combinaison linéaire agit à gauche et à droite du signe égal. En outre, si un seul des deux coefficients λ ou μ s’exprime en commençant par le signe moins, le codage de l’opération se notera donc avec un signe plus !

Lorsque le système est échelonné, on le note équivalent à un dernier système dans lequel on exprime la première inconnue de chaque ligne en fonction des inconnues suivantes. Les inconnues n’apparaissant pas à gauche sont assimilées à des variables libres.

Il ne reste qu’à exprimer chacune des inconnues à gauche en fonction des variables libres.

Avec une solution particulière

À partir d’une solution particulière X0 et de l’ensemble S0 des solutions du système homogène associé, l’ensemble des solutions d’un système s’écrit S = {X0 + V, VS0}.

Par matrice inverse

Dans le cas où le système s’écrit matriciellement AX = B avec une matrice A inversible dont l’inverse est connue, l’unique solution s’écrit directement X = A−1B.

Rang

Le rang d’un système échelonné est le nombre de lignes avec des inconnues. Il correspond à la différence entre le nombre d’inconnues et le nombre de variables libres. Il est égal au rang de la matrice dans sa traduction matricielle.

Le rang d’un système d’équations linéaires est égal au rang du système homogène associé.