Suites réelles

Définitions et exemples

Une suite peut se concevoir comme une liste infinie de termes. Formellement, il s’agit d’une famille indexée par l’ensemble N.

Une suite réelle est une application de N dans R.

Si une suite est notée u, chaque terme de la suite associe un rang nN et une valeur unR. En particulier, le terme initial est a priori noté u0, mais il arrive qu’on définisse une suite sur N*, auquel cas le terme initial est noté u1.

Les suites sont souvent définies par une formule directe de la forme nN, un = f(n) ou bien en précisant le terme initial et une formule de récurrence de la forme nN, un+1 = f(un).

Terme général d’une suite arithmétique
Soit u une suite arithmétique de raison r. Pour tout nN, on a un = u0 + nr.
Terme général d’une suite géométrique
Soit u une suite géométrique de raison q. Pour tout nN, on a un = u0 × qn.
On procède par récurrence.

Soit (a, b) ∈ (R \ {1}) × R. Soit  u une suite arithmético-géométrique satisfaisant la relation de récurrence nN, un+1 = aun + b. Alors en notant λ l'unique solution réelle de l'équation λ = aλ + b, la suite v définie par nN, vn = unλ est géométrique de raison a.

On peut aussi définir une suite à partir d’une autre.

Bornes et variations

Soit u une suite réelle.

La suite est dite majorée s’il existe MR tel que pour tout nN on ait unM.

Elle est dite minorée s’il existe mR tel que pour tout nN on ait unm.

Elle est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Les suites constantes sont bornées. Une suite est positive si et seulement si elle est minorée par 0. Elle est négative si et seulement si elle est majorée par 0.

Toute suite majorée (resp. minorée, resp. bornée) à partir d’un certain rang est majorée (resp. minorée, resp. bornée) globalement.

Soit u une suite réelle et I un intervalle stable par une fonction f. S’il existe nN tel que unI alors tous les termes suivants appartiennent aussi à I.

Une suite est croissante (stricte) si et seulement si pour tout nN, on a unun+1 (resp. un < un+1).

Elle est décroissante (stricte) si et seulement si pour tout nN, on a unun+1 (resp. un > un+1).

En particulier, une suite arithmétique est croissante si et seulement si sa raison est positive ; elle est décroissante si et seulement si sa raison est négative. Une suite géométrique strictement positive est croissante si et seulement si sa raison est supérieure à 1 ; elle est décroissante si et seulement si sa raison est inférieure à 1.

Critère de variations par différences
Une suite u est croissante (resp. croissante stricte, resp. décroissante, resp. décroissante stricte) si pour tout nN, on a un+1un ≥ 0 (resp. un+1un > 0, resp. un+1un ≤ 0, resp. un+1un < 0).
Critère de variations par quotients
Une suite u strictement positive est croissante (resp. croissante stricte, resp. décroissante, resp. décroissante stricte) si pour tout nN, on a un+1/un ≥ 1 (resp. un+1/un > 1, resp. un+1/un ≤ 1, resp. un+1/un < 1).

La somme de deux suites croissantes est croissante. Le produit de deux suites positives croissante est positive et croissante.

On applique le critère de variations par différences avec la compatibilité de l’addition et de la multiplication avec la relation d’ordre dans R.

Compétences activées