Exercices sur la convergence de suite

Énoncés

Exercice : Vrai ou faux
On considère deux suites réelles (un) et (vn). Rédiger une démonstration ou donner un contre-exemple pour chacune des propositions ci-dessous.
  1. Si u et v convergent alors le produit uv aussi.
  2. Si le produit uv converge alors u et v convergent aussi.
  3. Si au moins l’une des deux suites u ou v converge vers 0 alors le produit uv converge vers 0.
  4. Si le produit uv converge vers 0 alors au moins l’une des deux suites u ou v converge vers 0.
  5. Si u et v divergent alors le produit uv aussi.
  6. Si le produit uv diverge alors au moins l’une des deux suites u ou v diverge aussi.
  7. Si u et v convergent et si v ne s’annule pas alors le quotient u/v converge.
Exercice
Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que pour tout nN, unvn. Justifier ou infirmer par un contre-exemple chacune des propositions suivantes.
  1. Si u converge alors v aussi.
  2. Si u diverge alors v aussi.
  3. Si u et v convergent alors limn→+∞ unlimn→+∞ vn.
Exercice
Calculer la limite de (n(n + 1) / 2n2).
ENS 2006 problème I
Exercice
Étudier la convergence et la limite éventuelles des suites de terme général :
Exercice
On note F la suite de Fibonacci, définie par F0 = 0, F1 = 1 et pour tout nN, Fn+2 = Fn + Fn+1.
  1. Calculer les premiers termes de la suite jusque F9.
  2. Exprimer le terme général de la suite.
  3. Démontrer que la suite ne s'annule pas à partir du rang 1.
  4. Montrer que le quotient (Fn+1/Fn) converge en calculant sa limite.
Exercice
Une offre d'abonnement téléphonique est proposée pour 15 centimes à la minute, avec un avoir chaque mois de 50 % sur la facture du mois précédent, pour un client qui utilise deux heures d'appel chaque mois. On admettra que les calculs réalisés sont valables sur une assez longue durée même si la durée d'appel fluctue autour des deux heures en moyenne.
  1. Calculer le montant u0 de la facture initiale (sans réduction), puis le montant u1 de la facture pour le premier mois suivant, et le montant u2 de la facture au bout de deux mois.
  2. Montrer que la suite des montants est arithmético-géométrique.
  3. Déterminer la limite de la suite u.
  4. Exprimer la somme des montants payés et calculer la limite du montant moyen des factures.
Exercice
Calculer la limite de (1 − (1)/(n))n.
ENS 2017 exercice question 5.c
Exercice
Soit xR. Calculer la limite de nx⌋/n lorsque n tend vers +∞.
ENS 2016 problème question 3
Exercice
Soit uR+. Calculer la limite de i=0u(d) i lorsque d tend vers +∞.
ENS 2016 problème question 9
Exercice : Série harmonique
  1. Montrer que pour tout x ∈ ]1 ; +∞[ on a ln(1 + x) ≤ x.
  2. En déduire que pour tout nN on a k=1n (1)/(k)k=1n ln(1 + (1)/(k)).
  3. Démontrer que pour tout nN on a k=1n ln(1 + (1)/(k)) = ln(n + 1).
  4. En déduire limn→+∞ k=1n (1)/(k).
Exercice
  1. Montrer que pour tout entier nN, on a k=0n k2 = (n(n + 1)(2n + 1))/(6).
  2. En déduire pour tout nN une expression de Sn = k=0n k × (nk).
  3. Montrer que (Sn)/(n3) a une limite finie lorsque n tend vers +∞.
Exercice
Moyenne arithmético-géométrique
  1. Montrer que pour tout (a, b) ∈ (R+)2 tel que a < b on a a < ab < a + b/2 < b.
  2. On fixe deux réels positifs u0 et v0 tel que u0 < v0. Montrer que les suites définies pour tout nN par un+1 = unvn et vn+1 = un + vn/2 sont bien définies et positives.
  3. On pose pour tout nN δn = vnun. Montrer que la suite δ est positive, décroissante et que pour tout nN on a δn+1δn/2.
  4. En déduire que pour tout nN on a δnδ0/2n.
  5. Montrer que les suites u et v sont adjacentes.
  6. Conclure.
Exercice
Montrer que les suites définies pour tout nN par un = k=0n (1)/(k!) et vn = un + (1)/(n!) sont adjacentes.
Exercice
On pose pour tout nN, Sn = k=0n ((−1)k)/(k + 1). Montrer que les suites (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes.
Exercice
ENS 2020 problème B question 5
Soit r > 0 et s ∈ ]0, 1] ainsi que trois suites réelles (ak)k≥1, (bk)k≥1 et (ck)k≥1 satisfaisant pour tout k ≥ 1 le système { ak+1 = rbk + ck ; bk+1 = ak ; ck+1 = sbk

Si les trois suites convergent avec des limites strictement positives, montrer que r + rs = 1.

Exercice
ENS 2019 planche 1 exercice 1
Soit n ≥ 2. On pose fn(x) = xn + x + 1 pour tout x ≥ 0.
  1. Pour tout n ≥ 2, montrer que la fonction fn s’annule en un unique réel que l’on notera xn.
  2. Montrer que la suite (xn)n≥2 est strictement positive et majorée par 1.
  3. En calculant le signe de fn+1(xn), déterminer les variations de la suite (xn).
  4. En déduire la convergence de la suite et préciser sa limite.

Problèmes

Problème : Composition des accroissements infinitésimaux
Soit xR. On définit pour tout nN, un = (1 + x/n)n et vn = (1 − x/n)n.
  1. Montrer que pour tout nN tel que n > |x|, on a un > 0.
  2. Soit nN tel que n > |x|. Montrer l'égalité un+1/un = (1 + x/n) (1 − x/(n + 1)(n + x))n+1.
  3. Montrer que pour tout nN tel que n|2x| on a x/(n + 1)(n + x) < 1.
    En déduire que pour tout n > |2x| on a un+1/un = (1 + x/n) (1 − x/n + x).
  4. En déduire que la suite (un) est croissante à partir d'un rang N > |2x|.
  5. Justifier de même que la suite (vn) est croissante et strictement positive à partir du rang N.
  6. Montrer que la suite (unvn) est majorée par 1
    puis montrer que les suites (un) et (vn) convergent.
Problème : Suite avec une fonction de récurrence harmonique

On définit la fonction h : x(5x + 1)/(3x + 7).

  1. Montrer que la fonction h est bien définie sur R+ et que cet intervalle est stable par h.
  2. En déduire qu’en posant p0 = 0 et pour tout nN, pn+1 = h(pn) on définit une suite positive.
  3. Calculer p1 et p2. Montrer que la fonction h admet un unique point fixe négatif que l’on notera α.
  4. On pose pour tout nN, qn = pnα. Montrer que la suite (qn) ne s’annule pas et que son inverse (rn) = (1/qn) vérifie la relation pour tout nN, rn+1 = (3 + 4rn)/(8).
  5. Montrer que l’équation x = (3 + 4x)/(8) admet une unique solution positive que l’on appellera β.
  6. Montrer que la suite (sn) = (rnβ) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  7. En déduire les expressions du terme général pour les suites (sn), (rn), (qn), et (pn).
  8. Déterminer les limites éventuelles de ces 4 suites.
Problème : Forfait déclaré

Un forfait téléphonique est présenté avec les conditions suivantes : il coute 24 € par mois, mais chaque mois on est remboursé de la moitié de ce que l’on a payé le mois précédent.

  1. À combien revient le 2e mois ? et le 3e ?
  2. On note un le prix de revient du n-ième mois. Vérifier que l’on a la relation de récurrence un+1 = 24 − un/2 pour tout n > 1.
  3. Déterminer aR tel que a = 24 − a/2.
  4. On pose vn = una pour tout n > 1.
    Montrer que la suite v est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  5. En déduire l’expression de la suite u et déterminer sa limite.
  6. Déterminer la limite de la moyenne 1/n × k=1n uk lorsque n tend vers +∞.