Séries numériques

Notions
série et somme d’une série
Définitions
divergence grossière, série harmonique, convergence absolue
Résultats
critère de convergence des séries alternées, théorème de comparaison critère de convergence des séries de Riemann, critère de convergence par négligeabilité, critère par une série de terme général équivalent, critère de D’Alembert
somme d’une série géométrique, des séries géométriques dérivées et de la série exponentielle
Compétences
étude de la convergence d’une série

Cadre général

Soit (un)nN une suite réelle ou complexe. Sa série associée est la suite définie pour tout nN, Sn = i=0n ui, parfois notée (∑un).
Si cette série converge, sa limite est appelée somme de la série.

Si une suite est indexée par N ou plus généralement pour tout nk, la série associée est indexée par le même ensemble.

Remarque
Toute suite (un)nN est la série associée à la suite (unun−1)nN, avec la convention u−1 = 0.
Propriété
Si une série converge alors son terme général tend vers 0.

Si le terme général d'une suite ne tend pas vers 0, on dit que sa série diverge grossièrement.

Propriété
L'ensemble des suites réelles (ou complexes) dont la série converge forme un espace vectoriel. La limite de la série définit une forme linéaire sur cet espace.
Critère de convergence des séries alternées
Soit (an) une suite réelle positive et décroissante à partir d'un certain rang, de limite nulle. La série (∑ (−1)nan) converge.
Exemple
La série ((−1)n/n) converge.

Séries à termes positifs

Propriété
Une série à termes positifs est croissante.

Grâce au critère de convergence des suites croissantes, cette propriété mène aux trois résultats de comparaison suivants.

Théorème de comparaison
Soient (un)nN et (vn)nN deux suites réelles telles que pour tout entier n à partir d’un certain rang, 0 ≤ unvn. Si la série (∑vn) converge alors la série (∑un) converge aussi.

Ce théorème permet entre autres de justifier le résultat suivant.

Critère de convergence des séries de Riemann
Soit αR. La série (1/nα) converge si et seulement si α > 1.

De même, on montre ainsi qu'une série de Bertrand, de la forme (1/n lnβ(n)) convergent si et seulement si β > 1.

Terme général négligeable
Soient (un)nN et (vn)nN deux suites réelles telles que un = on→+∞ (vn) avec (vn) positive à partir d’un certain rang. Si la série associée (∑vn) converge alors (∑un) converge aussi.

Ce résultat repose de façon cruciale sur l'hypothèse de signe constant.

Séries d’équivalents
Soient (un)nN et (vn)nN deux suites réelles de signe constant à partir d’un certain rang. Si un n→+∞ vn alors leurs séries associées ont le même comportement à l'infini : elles divergent toutes deux ou convergent toutes deux.

Dans le cas de la convergence, rien ne dit que les sommes de ces séries soient égales.

Critère de d'Alembert
Soit (un)nN une suite réelle à termes strictement positifs. Supposons que la suite (un+1/un) converge vers un réel L.
  • Si L < 1 alors la série (∑un) converge.
  • Si L > 1 alors la série (∑un) diverge grossièrement.

Le critère de d'Alembert ne permet pas de répondre lorsque la limite L des quotients de termes successifs vaut 1.

Convergence absolue

Soit (un)nN une suite réelle. On dit que la série (∑un) converge absolument si la série (∑ |un|) converge.

Encadrement par des séries convergentes
Si pour tout entier n à partir d’un certain rang, vnunwn et que les séries associées (∑vn) et (∑wn) convergent alors la série (∑un) converge aussi.
Convergence absolue
Si la série (∑|un|) converge alors la série (∑un) converge aussi.

La série ((−1)n/n) converge comme série alternée mais ne converge pas absolument car la série harmonique diverge.

Sommes de référence

Série géométrique
Pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ la série (xn) converge absolument et sa somme vaut 1/1 − x.
Séries géométriques dérivées
Pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ les séries (nxn−1) et (n(n − 1)xn−2) convergent absolument avec n=1+∞ nxn−1 = 1/(1 − x)2 et n=2+∞ n(n − 1)xn−2 = 2/(1 − x)3.
Série exponentielle
Pour tout xR, la série (xn/n!) converge absolument et sa somme vaut ex.