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Méthodologie

Énoncés

  1. Déterminer la nature des séries de terme général ci-dessous et préciser la valeur de la somme en cas de convergence à l’aide de séries téléscopiques ou de séries de référence.
  2. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout nN on ait 1/n(n + 1) = a/n + b/n + 1 et en déduire la somme de la série de terme général 1/n(n + 1).
  3. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout kN on ait 1/4k2 − 1 = a/2k + 1 + b/2k − 1 et en déduire la somme de la série de terme général 1/4k2 − 1.
  4. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout n ≥ 2 on ait 1/n3n = a/n + b/n + 1 + c/n − 1 et en déduire la somme de la série de terme général 1/n3n.
  5. Pour quelles valeurs de rR la série de terme général (rn)n≥0 est-elle convergente ?

    Lorsque la série converge, donner une formule simple pour S1(r) = n≥0 rn.

    ENS 2015 Exercice 1
  6. Déterminer la nature des séries de terme général :
  7. Déterminer la nature des produits infinis :
  8. Soit nN.
    1. Montrer que pour tout entier k > n on a k!/n!(n + 1)kn.
    2. En déduire que la série k>n1/k! est majorée par 1/n × n!.
    3. Calculer une valeur approchée de e à 0,001 près.
  9. Montrer que la suite définie pour tout entier n ≥ 1 par an = k=1n1/k − ln(n) converge à l’aide d’un développement limité à l’ordre 2 de la suite de ses différences.
    Ecricome 2001 problème I

Problèmes

  1. Pour quelles valeurs de rR la série de terme général ((−1)nr2n)n≥0 est-elle convergente ? Lorsque la série converge, donner une formule simple pour S2(r) = n≥0 (−1)nr2n.
  2. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 1] on a 1 − x21/1 + x2 ≤ 1 − x2 + x4.
    Ces deux inégalités sont-elles valables pour tout xR ?
  3. Soit jN. Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1] on a k=02j−1 (−1)k x2k1/1 + x2k=02j (−1)k x2k.
  4. Justifier que l'étendue de cet encadrement tend vers 0 lorsque j tend vers +∞.
  5. Par intégration sur l'intervalle [0 ; 1], en déduire un encadrement de π.
  6. Quelle valeur de j peut-on prendre pour obtenir ainsi un encadrement de π à 10−2 près ?
ENS 2015 Exercice 1
Pour tout nN et pour tout xR \ Z, on pose gn(x) = 1/x + k=1+∞ 2x/x2k2.
  1. Montrer que pour tout xR \ Z, la suite (gn(x))nN converge. On note g(x) sa limite.
  2. Montrer que la fonction g est impaire et périodique de période 1.
  3. Montrer que pour tout xR \ Z on a g(x/2) + g(x + 1/2) = 2 g(x).
ENS 2010 exercice 1B

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