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Énoncés

Exercice
Déterminer la nature des séries de terme général ci-dessous et préciser la valeur de la somme en cas de convergence à l’aide de séries téléscopiques ou de séries de référence.
Exercice
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout nN on ait (1)/(n(n + 1)) = (a)/(n) + (b)/(n + 1) et en déduire la somme de la série de terme général (1)/(n(n + 1)).
Exercice
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout kN on ait (1)/(4k2 − 1) = (a)/(2k + 1) + (b)/(2k − 1) et en déduire la somme de la série de terme général (1)/(4k2 − 1).
Exercice
Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout n ≥ 2 on ait (1)/(n3n) = (a)/(n) + (b)/(n + 1) + (c)/(n − 1) et en déduire la somme de la série de terme général (1)/(n3n).
Exercice
Pour quelles valeurs de rR la série de terme général (rn)n≥0 est-elle convergente ?

Lorsque la série converge, donner une formule simple pour S1(r) = n≥0 rn.

ENS 2015 Exercice 1
Exercice
Déterminer la nature des séries de terme général :
Exercice
Déterminer la nature des produits infinis :
Exercice
Montrer que pour tout réel u ≥ 0 on a eu − euu eu2/6.
ENS 2015 exercice 3 partie II question 14
Exercice
BCE 2020 exercice 2 question 1
Déterminer la nature des produits de terme général :
Exercice
BCE 2020 exercice 2 question 4
Soit (an)nN une suite de réels positifs. On note pour tout nN un = 1 + an, pn = k=1n uk et Tn = an/pn.
  1. Exprimer pour tout entier n ≥ 2 le quotient Tn en fonction de pn et de pn−1.
  2. Si la suite (pn)nN converge vers un réel p > 0, montrer que la série n=1+∞ Tn converge vers 1 − 1/p.
  3. Si la suite (pn)nN diverge, montrer que la série n=1+∞ Tn converge vers 1.
Exercice
ENS 2017 planche 5 exercice 1
Soit (un)n≥1 une suite réelle vérifiant u1 > 0 et pour tout n ≥ 1, un+1 = (eun)/(n).
  1. Montrer que la suite (un) converge.
  2. Quelle est la nature de la série (∑un) ?
Exercice
Montrer que pour tout xR on a (ex + ex)/(2) ≤ ex2/2.
ENS 2017 planche 7 exercice 2 question 1
Exercice
Soit (xn)n≥0 une suite réelle telle que x0 = 0 et pour tout n ≥ 0, xn+1 = ln(exnxn). Montrer que la série (∑xn) converge et calculer n=0+∞ xn.
ENS 2017 planche 8 exercice 1
Exercice
ENS 2019 problème C, 1re partie
Pour tout xR, montrer la convergence de la suite définie pour tout NN par PN(x) = n=1N (1 + x/n) ex/n, avec une limite strictement positive.

Problèmes

Problème
Soit nN.
  1. Montrer que pour tout entier k > n on a (k!)/(n!)(n + 1)kn.
  2. En déduire que la série k>n(1)/(k!) est majorée par (1)/(n × n!).
  3. Calculer une valeur approchée de e à 0,001 près.
Problème
ENS 2016 exercice 1 questions 2, 3, 5, 6
On pose pour tout s ∈ [0, 1[, f(s) = (1)/((1 − s)2).
  1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, et pour tout sR, on a (1 − s)2 (i=1n isi−1) = 1 − sn(1 + nsn).
  2. Soit sR+. Montrer que la série i=1+∞ isi−1 converge si et seulement si pour tout s < 1, et que sa somme vaut dans ce cas f(s).
  3. Soit g : R → [0, 1[ une fonction dérivable. Montrer que la fonction h = (1)/(1−g) est dérivable avec pour tout sR, h′(s) = i=1+∞ ig′(s)g(s)i−1.
  4. Pour tout x ∈ ]0, 1[, montrer que la série t(x) = i=1+∞ i(1 − x)2i converge, puis déterminer la limite de x2t(x) lorsque x tend vers 0.
Problème
ENS 2017 problème A questions 1, 9 et 10
Soit (pn)nN une suite à termes positifs dont la série converge.
  1. Montrer que pour tout s ∈ [0, 1], la série k=0+∞ pksk converge. On notera f(s) sa valeur.
  2. Déterminer les valeurs de f(0) et f(1).
  3. Montrer que la fonction f est croissante et continue. On pourra montrer que pour tout ε > 0 il existe n0N tel que k=n0+∞ pkε.
Problème
ENS 2010 exercice 1B
Pour tout nN et pour tout xR \ Z, on pose gn(x) = 1/x + k=1+∞ 2x/x2k2.
  1. Montrer que pour tout xR \ Z, la suite (gn(x))nN converge. On note g(x) sa limite.
  2. Montrer que la fonction g est impaire et périodique de période 1.
  3. Montrer que pour tout xR \ Z on a g(x/2) + g(x + 1/2) = 2 g(x).

Annales

Ecricome 2006 problème 2 question 2
Série dérivée des puissances
ENS 2010 exercice I
Décomposition en série d’une fonction trigonométrique