Exercices sur les suites réelles

Terme général et variations

Exercice
Ecricome 2006 problème 2 question 3.1
On considère la fonction définie sur l'intervalle ]1/2 ; +∞[ par f : xx2 + 1/2x − 1 et on définit une suite (bn) par b0 = 2 et pour tout nN, bn+1 = f(bn). Calculer les termes b1 et b2.
Exercice
On considère une suite arithmétique notée (an) qui admet les valeurs suivantes : a7 = 10 et a9 = 14. Calculer sa raison et son premier terme a0.
Exercice
Ecricome 1998 problème 2 question 4.b.3
Soit (a, b) ∈ R2. Montrer que la suite v définie pour tout nN par vn = 2n(an + b) satisfait la relation de récurrence pour tout nN, vn+4 = 4vn+3 − 3vn+2 − 4vn+1 + 4vn.
Exercice
Soit qR. On considère la suite géométrique définie pour tout nN par un = qn. Montrer que la suite u vérifie pour tout nN la relation de récurrence un+3 = 2un+25/4un+1 + 1/4un si et seulement si q est racine du polynôme défini par P(x) = x3 − 2x2 + 5/4x1/4.
Exercice
BCE ESSEC 2007
Étudier les variations de la suite définie pour tout nN par un = exp(−n)(nn)/(n!).

Limites directes

Exercice
Calculer la limite de (n(n + 1) / 2n2).
ENS 2006 problème I
Exercice
Étudier la convergence et la limite éventuelles des suites de terme général :
Exercice : Suite sous-géométrique

Pour tout nN on note qn = n/2n

  1. Montrer que la suite est strictement positive à partir du rang 1 et que pour tout n ≥ 2 on a qn+13/4 qn.
  2. En déduire que pour tout nN on a 0 ≤ qn(3/4)n.
  3. En déduire la limite de la suite q.
Exercice
Soit xR. Calculer la limite de nx⌋/n lorsque n tend vers +∞.
ENS 2016 problème question 3
Exercice
Soit uR+. Calculer la limite de 1/di=0ud i lorsque d tend vers +∞.
ENS 2016 problème question 9
Exercice
Calculer la limite de (1 − (1)/(n))n.
ENS 2017 exercice question 5.c
Exercice
On pose pour tout nN, un = k=0n (1)/((k parmi n)).
  1. Montrer que pour tout entier n ≥ 4, pour tout k ∈ ⟦2, n − 2⟧, (k parmi n)(n(n − 1))/(2).
  2. En déduire que la suite (un)nN converge en précisant sa limite.

Suites récurrentes

Exercice
ENS 2017 question 3
Soit u une suite réelle vérifiant pour tout nN, un+1 = (1+un)/(2).
  1. Montrer que la suite définie pour tout nN par zn = un − 1 est géométrique.
  2. En déduire une expression pour les suites z et u.
  3. Montrer que la suite u converge vers une limite que l’on déterminera.
Exercice
HEC 2019 exercice 1 question 3
On considère la suite définie par u1 = 1 et pour tout nN, un+1 = un + 1/un2.
  1. Montrer que la suite u est bien définie.
  2. Étudier les variations de la suite u.
  3. Montrer que limn→+∞ un = +∞.
Exercice
ENS 2017 planche 1 exercice 1 question 2
On pose pour tout tR, f(t) = (t2 + 1)/(4).
Soit (an)nN une suite réelle vérifiant a0[(1)/(4), (1)/(2)] et pour tout nN, an+1 = f(an).
Étudier la convergence de la suite (an).
Exercice
ENS 2017 planche 5 exercice 1
Soit (un)n≥1 une suite réelle vérifiant u1 > 0 et pour tout n ≥ 1, un+1 = (eun)/(n).
  1. Montrer que la suite (un) converge et préciser sa limite.
  2. Montrer que la suite (nun) converge et préciser sa limite.
Exercice
ENS 2017 planche 8 exercice 1
Soit (xn)n≥0 une suite réelle telle que x0 = 0 et pour tout n ≥ 0, xn+1 = ln(exnxn).
  1. Montrer que la suite est à termes strictement positifs.
  2. Montrer que la suite converge et préciser sa limite.
Exercice
ENS 2017 planche 14 exercice 1
Soit (un)n≥0 une suite réelle vérifiant u0 > 2 et pour tout n ≥ 0, un+1 = 2(un − 1).
  1. Étudier la convergence de la suite (un)n≥0.
  2. On pose vn = un − 2 pour tout n ≥ 0. Montrer que limn→+∞ ((1)/(vn+1)(1)/(vn)) = (1)/(4).
Exercice
ENS 2019 planche 4 exercice 1 question 3
Soit a, b ∈ ]0, 1[. Soit (pn)nN une suite vérifiant pour tout nN, pn+1 = (1 − a)pn + b(1 − pn).
Montrer que limn→+∞ pn = b/(a + b).
Exercice
ENS 2020 problème B question 5
Soit r > 0 et s ∈ ]0, 1] ainsi que trois suites réelles (ak)k≥1, (bk)k≥1 et (ck)k≥1 satisfaisant pour tout k ≥ 1 le système { ak+1 = rbk + ck ; bk+1 = ak ; ck+1 = sbk

Si les trois suites convergent avec des limites strictement positives, montrer que r + rs = 1.

Propriétés générales

Exercice : Stabilité des propriétés
Pour chacune des propriétés suivantes, si u et v sont deux suites satisfaisant la propriété, déterminer si la somme, le produit, la différence et le quotient satisfont toujours la même propriété. Pour chacune des propriétés ci-dessus, si u est une suite satisfaisant la propriété et si v est une suite vérifiant pour tout nN, on aunvn, déterminer si v satisfait obligatoirement la même propriété.
Exercice
Si le produit de deux suites est constamment nul, cela implique-t-il que l'une des deux suites soit constamment nulle ?
Exercice : Vrai ou faux
On considère deux suites réelles (un) et (vn). Rédiger une démonstration ou donner un contre-exemple pour chacune des propositions ci-dessous.
  1. Si u et v convergent alors le produit uv aussi.
  2. Si le produit uv converge alors u et v convergent aussi.
  3. Si au moins l’une des deux suites u ou v converge vers 0 alors le produit uv converge vers 0.
  4. Si le produit uv converge vers 0 alors au moins l’une des deux suites u ou v converge vers 0.
  5. Si u et v divergent alors le produit uv aussi.
  6. Si le produit uv diverge alors au moins l’une des deux suites u ou v diverge aussi.
  7. Si u et v convergent et si v ne s’annule pas alors le quotient u/v converge.
Exercice
Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que pour tout nN, unvn. Justifier ou infirmer par un contre-exemple chacune des propositions suivantes.
  1. Si u converge alors v aussi.
  2. Si u diverge alors v aussi.
  3. Si u et v convergent alors limn→+∞ unlimn→+∞ vn.

Suites adjacentes

Exercice
Montrer que les suites définies pour tout nN par un = k=0n (1)/(k!) et vn = un + (1)/(n!) sont adjacentes.
Exercice
On pose pour tout nN, Sn = k=0n ((−1)k)/(k + 1). Montrer que les suites (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes.

Problèmes

Problème : Somme des produits de complémentaires
  1. Montrer que pour tout entier nN, on a k=0n k2 = (n(n + 1)(2n + 1))/(6).
  2. En déduire pour tout nN une expression de Sn = k=0n k × (nk).
  3. Montrer que (Sn)/(n3) a une limite finie lorsque n tend vers +∞.
Problème : Suite arithmético-géométrique

On considère une suite réelle définie par v0 = 2 et pour tout nN, vn+1 = 3vn − 2.

  1. On pose pour tout nN, wn = vn − 1.
    Montrer que la suite (wn) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  2. Donner une expression du terme général de (wn) et en déduire une expression du terme général de (vn).
Problème : Forfait déclaré

Un forfait téléphonique est présenté avec les conditions suivantes : il coute 24 € par mois, mais chaque mois on est remboursé de la moitié de ce que l’on a payé le mois précédent.

  1. À combien revient le 2e mois ? et le 3e ?
  2. On note un le prix de revient du n-ième mois. Vérifier que l’on a la relation de récurrence un+1 = 24 − un/2 pour tout n > 1.
  3. Déterminer aR tel que a = 24 − a/2.
  4. On pose vn = una pour tout n > 1.
    Montrer que la suite v est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  5. En déduire l’expression de la suite u et déterminer sa limite.
  6. Déterminer la limite de la moyenne 1/n × k=1n uk lorsque n tend vers +∞.
Problème : Intervalle stable par une fonction de récurrence

On définit une suite par récurrence en posant u0 = 1 et pour tout nN, un+1 = un(5 − un)/3.

  1. Calculer les termes u1 et u2.
  2. Conjecturer le sens de variation de la suite.
  3. Dresser le tableau de la fonction f : xx(5 − x)/3 et montrer que l'intervalle [0 ; 2,5] est stable par f.
  4. En déduire que pour tout nN on a 0 ≤ un ≤ 2,5. En déduire que la suite u est croissante.
Problème : Suite avec une fonction de récurrence homographique
On définit la fonction h : x(5x + 8)/(3x + 7).
  1. Montrer que la fonction h est bien définie sur R+ et que cet intervalle est stable par h.
  2. En déduire qu’en posant p0 = 0 et pour tout nN, pn+1 = h(pn) on définit une suite positive.
  3. Calculer p1 et p2. Montrer que la fonction h admet un unique point fixe négatif que l’on notera α.
  4. On pose pour tout nN, qn = pnα. Montrer que la suite (qn) ne s’annule pas et que son inverse (rn) = (1/qn) vérifie la relation pour tout nN, rn+1 = (3 + rn)/(11).
  5. Montrer que l’équation x = (3 + x)/(11) admet une unique solution positive que l’on appellera β.
  6. Montrer que la suite (sn) = (rnβ) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  7. En déduire les expressions du terme général pour les suites (sn), (rn), (qn), (pn).
Problème : Série harmonique
  1. Montrer que pour tout x ∈ ]1 ; +∞[ on a ln(1 + x) ≤ x.
  2. En déduire que pour tout nN on a k=1n (1)/(k)k=1n ln(1 + (1)/(k)).
  3. Démontrer que pour tout nN on a k=1n ln(1 + (1)/(k)) = ln(n + 1).
  4. En déduire limn→+∞ k=1n (1)/(k).
Problème : Soustraction du carré
HEC 2012 exercice 1
On considère une suite définie par x0 ∈ ]0, 1[ et pour tout nN, xn+1 = xnxn2.
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : xxx2 définie sur [0 ; 1] à valeurs dans R.
    1. Montrer que la suite (xn)nN est monotone et convergente.
    2. Déterminer la limite de la suite (xn)nN.
    1. Établir pour tout nN, l’encadrement 0 < xn(1)/(n+1).
    2. Retrouver ainsi la limite de la suite (xn)nN
  2. Soit (vn)nN la suite définie pour tout nN par vn = nxn.
    1. Montrer que la suite (vn)nN est croissante.
    2. En déduire que la suite (vn)nN converge vers un réel qu’on ne demande pas de calculer.
    3. Montrer que 0 < ℓ ≤ 1.
Problème : Suite de Fibonacci
On note F la suite de Fibonacci, définie par F0 = 0, F1 = 1 et pour tout nN, Fn+2 = Fn + Fn+1.
  1. Calculer les premiers termes de la suite jusque F9.
  2. Déterminer les raisons de suites géométriques satisfaisant la même relation de récurrence nN, qn+2 = qn+1 + qn.
  3. En notant q et r deux réels trouvés à la question précédente, déterminer deux réels a et b tels que F0 = aq0 + br0 et F1 = aq1 + br1.
  4. Justifier que pour tout nN on a Fn = aqn + brn à l’aide d’une récurrence double.
  5. Démontrer que la suite ne s'annule pas à partir du rang 1.
  6. Montrer que le quotient (Fn+1/Fn) converge en calculant sa limite.
Problème : Suite implicite
ENS 2019 planche 1 exercice 1

Pour tout n ⩾ 2, on pose fn(x) = xn + x − 1 pour tout x ⩾ 0.

  1. Soit n ⩾ 2. Montrer qu’il existe un unique réel x ⩾ 0 tel que fn(x) = 0. On notera xn ce réel.
  2. Pour tout n ⩾ 2, déterminer le signe de fn+1(xn).
  3. Montrer que la suite (xn)n⩾2 converge vers 1.
  4. Montrer que limn→+∞ n(1 − ln(n)/n)n = 1.
  5. En déduire qu’à partir d’un certain rang on a 1 − ln(n)/n < xn < 1.
Problème : Moyenne de Cesaro
HEC 2019 exercice 1 question 1

Soit (an)nN une suite réelle croissante qui converge vers un réel . Pour tout entier nN on pose bn = 1/n k=1n ak.

  1. Montrer que pour tout nN on a bn+1bn = 1/(n(n + 1)) (nan+1k=1n ak).
  2. Montrer que la suite (bn)nN est croissante.
  3. Montrer que la suite (bn)nN converge vers un réel ℓ′ qui vérifie ℓ′.
  4. Établir pour tout nN l’inégalité b2n(bn + an)/2.
  5. Déduire des deux questions précédentes que la suite (bn)nN converge vers .
  6. Justifier que la conclusion est la même si on suppose que la suite (an)nN est décroissante.
Problème : Moyenne arithmético-géométrique
  1. Montrer que pour tout (a, b) ∈ (R+)2 tel que a < b on a a < ab < a + b/2 < b.
  2. On fixe deux réels positifs u0 et v0 tel que u0 < v0. Montrer que les suites définies pour tout nN par un+1 = unvn et vn+1 = un + vn/2 sont bien définies et positives.
  3. On pose pour tout nN δn = vnun. Montrer que la suite δ est positive, décroissante et que pour tout nN on a δn+1δn/2.
  4. En déduire que pour tout nN on a δnδ0/2n.
  5. Montrer que les suites u et v sont adjacentes.
  6. Conclure.
Problème : Composition des accroissements infinitésimaux
Soit xR. On définit pour tout nN, un = (1 + x/n)n et vn = (1 − x/n)n.
  1. Montrer que pour tout nN tel que n > |x|, on a un > 0.
  2. Soit nN tel que n > |x|. Montrer l'égalité un+1/un = (1 + x/n) (1 − x/(n + 1)(n + x))n+1.
  3. Montrer que pour tout nN tel que n|2x| on a x/(n + 1)(n + x) < 1.
    En déduire que pour tout n > |2x| on a un+1/un(1 + x/n) (1 − x/n + x).
  4. En déduire que la suite (un) est croissante à partir d'un rang N > |2x|.
  5. Justifier de même que la suite (vn) est croissante et strictement positive à partir du rang N.
  6. Montrer que la suite (unvn) est majorée par 1
    puis montrer que les suites (un) et (vn) convergent.