Exercices sur les suites réelles

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Stabilité des propriétés

  1. Pour chacune des propriétés suivantes, si u et v sont deux suites satisfaisant la propriété, déterminer si la somme, le produit, la différence et le quotient satisfont toujours la même propriété.
    1. La suite est positive
    2. La suite est négative
    3. La suite est majorée
    4. La suite est minorée
    5. La suite est bornée
    6. La suite est croissante
    7. La suite est monotone
    8. La suite s'annule
    9. La suite ne s'annule pas
  2. Pour chacune des propriétés ci-dessus, si u est une suite satisfaisant la propriété et si v est une suite vérifiant pour tout nN, on aunvn, déterminer si v satisfait obligatoirement la même propriété.
Si le produit de deux suites est constamment nul, cela implique-t-il que l'une des deux suites soit constamment nulle ?

Exercices

  1. On considère la fonction définie sur l'intervalle ]1/2 ; +∞[ par f : xx2 + 1/2x − 1 et on définit une suite (bn) par b0 = 2 et pour tout nN, bn+1 = f(bn). Calculer les termes b1 et b2.
    Ecricome 2006 problème 2 question 3.1
  2. On considère une suite arithmétique notée (an) qui admet les valeurs suivantes : a7 = 10 et a9 = 14. Calculer sa raison et son premier terme a0.
  3. Soit (a, b) ∈ R2. Montrer que la suite v définie pour tout nN par vn = 2n(an + b) satisfait la relation de récurrence pour tout nN, vn+4 = 4vn+3 − 3vn+2 − 4vn+1 + 4vn.
    Ecricome 1998 problème 2 question 4.b.3
  4. Soit qR. On considère la suite géométrique définie pour tout nN par un = qn. Montrer que la suite u vérifie pour tout nN la relation de récurrence un+3 = 2un+25/4un+1 + 1/4un si et seulement si q est racine du polynôme P = X3 − 2X2 + 5/4X − 1/4.

Problèmes

Comparaison de croissance

Pour tout nN on note qn = n/2n

  1. Montrer que la suite est strictement positive à partir du rang 1 et que pour tout n ≥ 2 on a qn+13/4 qn.
  2. En déduire que pour tout nN on a 0 ≤ qn(3/4)n.

Suite arithmético-géométrique

On considère une suite réelle définie par v0 = 2 et pour tout nN, vn+1 = 3vn − 2.

  1. On pose pour tout nN, wn = vn − 1.
    Montrer que la suite (wn) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  2. Donner une expression du terme général de (wn) et en déduire une expression du terme général de (vn).

Intervalle stable par une fonction de récurrence

On définit une suite par récurrence en posant u0 = 1 et pour tout nN, un+1 = un(5 − un)/3.

  1. Calculer les termes u1 et u2.
  2. Conjecturer le sens de variation de la suite.
  3. Dresser le tableau de la fonction f : xx(5 − x)/3 et montrer que l'intervalle [0 ; 2,5] est stable par f.
  4. En déduire que pour tout nN on a 0 ≤ un ≤ 2,5. En déduire que la suite u est croissante.

Composition des accroissements infinitésimaux

Soit xR. On définit pour tout nN, un = (1 + x/n)n et vn = (1 − x/n)n.
  1. Montrer que pour tout nN tel que n > |x|, on a un > 0.
  2. Soit nN tel que n > |x|. Montrer l'égalité un+1/un = (1 + x/n) (1 − x/(n + 1)(n + x))n+1.
  3. Montrer que pour tout nN tel que n|2x| on a x/(n + 1)(n + x) < 1.
    En déduire que pour tout n > |2x| on a un+1/un = (1 + x/n) (1 − x/n + x).
  4. En déduire que la suite (un) est croissante à partir d'un rang N > |2x|.
  5. Justifier de même que la suite (vn) est croissante et strictement positive à partir du rang N.
  6. Montrer que la suite (unvn) est majorée par 1.