Exercices d'intégration de fonction

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Méthodes

Recherche de primitives

Donner l'expression d'une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout xR \ {−1} on ait 3x + 2/(x + 1)2 = a/x + 1 + b/(x + 1)2. En déduire une primitive de x3x + 2/(x + 1)2.
Déterminer une primitive de cos3.
On pourra par exemple utiliser les formules d'Euler ou la formule cos2 + sin2 = 1.

Calcul d'intégrales

Calculer les intégrales
Calculer l'aire du domaine du plan situé sous la courbe de la fonction f : x1 / 1 + x2, au dessus de l'axe des abscisses, à droite de l'axe des ordonnées et à gauche de la droite d'équation x = 1.
ENS 2015 exercice 1 question 5
Soit λR∗+. Pour tout xR+, calculer 0x λ2t eλt dt.
Ecricome 2011 Indice de concentration d'une variable exponentielle question 3
Pour tout nN, calculer l'intégrale 0n t2/n et dt et en déduire la limite de la suite (In).
Ecricome 2001 problème 1 question 3b
Pour tout (n, k) ∈ (N)2, calculer l'intégrale 0n (1 − t/n)k dt.
Ecricome 2001 problème 1 question 4a
On note I = 0π ex sin(x) dx. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer qu'on a I = eπ + 1 − I et en déduire la valeur de I.
Pour tout r ∈ [1 ; +∞[, calculer l'intégrale Ir = 0r−2/3 exp(−rx) dx.
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et g𝓒2([a, b], R). Démontrer la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral : g(b) = g(a) + (ba) g′(a) + ab (bt) g″(t) dt.

Calcul de primitives

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions Arcsin et Arctan.

Soit nN. Déterminer une primitive de la fonction xxn ln(x).

Montrer que pour tout polynôme P, pour tout λR, la fonction xP(x) eλx admet une primitive de la forme xQ(x) eλxQ est un polynôme de même degré. (On pourra procéder par récurrence et utiliser une intégration par parties.)

Fonction définie par une intégrale

  1. On pose pour tout xR, F(x) = (0x exp(t2/2) dt)2.
    Montrer que la fonction F est dérivable et exprimer sa dérivée.
  2. Montrer que pour tout xR on a F′(x) = 2x01 exp(x2(1 + u2)/2) du.
Soit f une fonction réelle définie et continue sur R. Pour tout t ∈ [0 ; 1] on note g(t) = 0t f(x) dxt 01 f(x) dx sur [0 ; 1[. Montrer que la fonction g est dérivable puis montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1], |g(t)|01 |f′(x)| dx.
Soit F une fonction définie sur R+ à valeurs dans [0 ; 1[ et de dérivée F′ = f avec F(0) = 0. On pose pour tout xR+, φ(x) = f(x)/1 − F(x).

Montrer que pour tout xR+ on a F(x) = 1 − exp(0x φ(t) dt).

Ecricome 2011 problème 1.2 question 3

Sommes de Riemann

Calculer la limite de chacune des suites ( k=1n n / (k + n)2), ( k=1n n / k2 + n2) et (1 / nk=1n 1 / k + n).

Annales