Exercices d'intégration de fonction

Ressources

Cours

Méthodes

Recherche de primitives

Exercice
Donner l'expression d'une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
Exercice
Pour tout xR, calculer l’intégrale F(x) = 0x dt/et + et à l’aide du changement de variable t = ln(v).
Exercice
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout xR \ {−1} on ait 3x + 2/(x + 1)2 = a/x + 1 + b/(x + 1)2. En déduire une primitive de x3x + 2/(x + 1)2.
Exercice
Déterminer une primitive de cos3.
On pourra par exemple utiliser les formules d'Euler ou la formule cos2 + sin2 = 1.

Calcul d'intégrales

Exercice
Calculer les intégrales
Exercice
Calculer l'aire du domaine du plan situé sous la courbe de la fonction f : x1 / 1 + x2, au dessus de l'axe des abscisses, à droite de l'axe des ordonnées et à gauche de la droite d'équation x = 1.
ENS 2015 exercice 1 question 5
Exercice
Soit λR∗+. Pour tout xR+, calculer 0x λ2t eλt dt.
Ecricome 2011 Indice de concentration d'une variable exponentielle question 3
Exercice
Pour tout nN, calculer l'intégrale 0n t2/n et dt et en déduire la limite de la suite (In).
Ecricome 2001 problème 1 question 3b
Exercice
Pour tout (n, k) ∈ (N)2, calculer l'intégrale 0n (1 − t/n)k dt.
Ecricome 2001 problème 1 question 4a
Exercice
On note I = 0π ex sin(x) dx. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer qu'on a I = eπ + 1 − I et en déduire la valeur de I.
Exercice
Pour tout r ∈ [1 ; +∞[, calculer l'intégrale Ir = 0r−2/3 exp(−rx) dx.
Exercice
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et g𝓒2([a, b], R). Démontrer la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral : g(b) = g(a) + (ba) g′(a) + ab (bt) g″(t) dt.

Calcul de primitives

Exercice
Déterminer une primitive pour chacune des fonctions Arcsin et Arctan.
Exercice
Soit nN. Déterminer une primitive de la fonction xxn ln(x).
Exercice
Montrer que pour tout polynôme P, pour tout λR, la fonction xP(x) eλx admet une primitive de la forme xQ(x) eλxQ est un polynôme de même degré. (On pourra procéder par récurrence et utiliser une intégration par parties.)

Fonction définie par une intégrale

Exercice
On pose pour tout xR, F(x) = (0x exp(t2/2) dt)2.
  1. Montrer que la fonction F est dérivable et exprimer sa dérivée.
  2. Montrer que pour tout xR on a F′(x) = 2x01 exp(x2(1 + u2)/2) du.
Exercice
Soit f une fonction réelle définie et continue sur R. Pour tout t ∈ [0 ; 1] on note g(t) = 0t f(x) dxt 01 f(x) dx sur [0 ; 1[. Montrer que la fonction g est dérivable puis montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1], |g(t)|01 |f′(x)| dx.
Exercice
Soit F une fonction définie sur R+ à valeurs dans [0 ; 1[ et de dérivée F′ = f avec F(0) = 0. On pose pour tout xR+, φ(x) = f(x)/1 − F(x).

Montrer que pour tout xR+ on a F(x) = 1 − exp(0x φ(t) dt).

Ecricome 2011 problème 1.2 question 3

Sommes de Riemann

Exercice
Calculer la limite de chacune des suites ( k=1n n / (k + n)2), ( k=1n n / k2 + n2) et (1 / nk=1n 1 / k + n).

Annales