Calcul d’une intégrale

Pages associées

Avec une primitive

Si on connait une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [a, b], on peut appliquer le théorème fondamental de l'analyse : ab f(t) dt = [F(t)]ab = F(b) − F(a).

On peut utiliser directement les primitives des fonctions suivantes, avec αR \ {−1}, kR et bR.

Fonction Domaine Expression Exemple de primitive
Puissance R si αN,
R∗+ ou R∗− si αZ,
R∗+ sinon.
ttα t1/α + 1tα+1
Affine inverse ]−∞, b/k[ ou ]b/k, +∞[ t1/kt + b t1/kln |kt + b|
Exponentielle R t ↦ ekt t1/kekt
Cosinus R cos sin
Sinus R sin − cos
Tangente ]−π/2 ; π/2[ tan − ln cos
]−1 ; 1[ t1/1 − t2 arcsin
R t1/1 + t2 arctan

Si la fonction à intégrer s'écrit sous l'une des formes ci-contre, à un coefficient multiplicatif près, on peut utiliser la primitive associée, quitte à la multiplier ou la diviser par un coefficient approprié en vérifiant par dérivation qu'on retrouve la fonction à intégrer.

Expression Primitive Condition
uuα 1/α + 1 uα+1 u ne s'annule pas si αN,
u strictement positive si αZ,
u/u ln |u| u ne s'annule pas
u′ eu eu

Dans le tableau suivant, la variable u représente n'importe quelle fonction réelle dérivable sur l'intervalle I et αR \ {−1}.

Intégration par parties

Si la fonction à intégrer se décompose en un produit de deux fonctions (f × g) avec g dérivable et f admettant une primitive F connue, on peut appliquer la formule de l'intégration par parties ab f(t) g(t) dt = [F(t) g(t)]abab F(t) g′(t) dt .

Dans le cas d'un produit d'une puissance avec une exponentielle ou une fonction trigonométrique, il vaut mieux dériver la puissance et primitiver l'autre fonction.

Dans le cas d'un produit d'une puissance avec un logarithme, on primitive la puissance et on dérive le logarithme.

Parfois, il peut être utile de considérer une fonction comme un produit d'elle-même avec 1. Cela permet notamment d'intégrer le logarithme et les fonctions trigonométriques inverses.

Changement de variable

Pour calculer ab f(φ(t)) dt φ est une fonction de classe 𝓒1 dont la dérivée ne s'annule pas sur l'intervalle [a, b], et f est une fonction continue sur J = φ([a, b]), si on sait exprimer la réciproque ψ = φ−1 sur J, alors on peut poser le changement de variable u = φ(t) donc t = ψ(u) et dt = ψ′(u) du.

On a alors ab f(φ(t)) dt = φ(a)φ(b) f(u) ψ′(u) du.

Les bornes de la nouvelle intégrale peuvent être retrouvées en résolvant les équations t = a et t = b pour trouver les valeurs de u dans chaque cas.