Mémo intégration de fonction

Intégrale d’une constante
cR, ∀ (a, b) ∈ R2, ab c dt = (ba) c
Linéarité de l’intégrale
Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle réel I.
λR, ∀ (a, b) ∈ I2, ab (λf(t) + g(t)) dt = λ ab f(t) dt + ab g(t) dt
Relation de Chasles
Soit f fonction réelle continue sur un intervalle IR.
∀ (a, b, c) ∈ I3, ab f(t) dt + bc f(t) dt = ac f(t) dt
Positivité
Soit f fonction réelle continue sur un intervalle [a, b].
f ≥ 0 ⇒ ab f(t) dt ≥ 0
Stricte positivité
Soit f fonction réelle continue sur un intervalle [a, b].
f ≥ 0 et f ≠ 0 et a < bab f(t) dt > 0
Monotonie
Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle [a, b].
fgab f(t) dtab f(t) dt
Théorème fondamental de l’analyse
Soit f une fonction continue sur un intervalle IR.
Soit aI. La fonction xax f(t) dt est la primitive de f qui s’annule en a.
Calcul d’intégrale à l’aide d’une primitive
Soit f une fonction continue sur un intervalle IR admettant une primitive F. Soit (a, b) ∈ I2.
xax f(t) dt = F(b) − F(a)
Intégration par parties
Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle réel I, telles que g soit de classe 𝒞1 et F soit une primitive de f.
∀ (a, b, c) ∈ I3, ab f(t) g(t) dt = [F(t) g(t)]abab F(t) g′(t) dt
Changement de variables
Soit f fonction réelle continue sur un intervalle réel  J et φ une fonction de classe 𝒞1 sur un intervalle réel I à valeurs dans J.
∀ (a, b) ∈ I2, φ(a)φ(b) f(t) dt = ab f(φ(u)) φ′(u) du
Primitives usuelles
Soit αR∖{−1}, bR, kR.
Fonction Domaine Expression Exemple de primitive
Puissance R si αN,
R∗+ ou R∗− si αZ,
R∗+ sinon.
ttα t1/α + 1tα+1
Affine inverse ]−∞, (b)/(k)[ ou ](b)/(k), +∞[ t1/kt + b tln |kt + b|/k
Exponentielle R t ↦ ekt t1/kekt
Logarithme R+∗ ln tt ln(t) − t
Cosinus R cos sin
Sinus R sin − cos
Tangente ]−π/2 ; π/2[ tan − ln cos
R t1/1 + t2 arctan
Soit u une fonction dérivable.
Expression Primitive Condition
uuα 1/α + 1 uα+1 u ne s'annule pas si αN,
u strictement positive si αZ,
u/u ln |u| u ne s'annule pas
u′ eu eu
Intégrale de l’exponentielle
0+∞ et dt = 1
Intégrale de Gauss
−∞+∞ et2/2 dt = ()
Critère de Riemann
t(1)/(tα) intégrable en 0 ⇔ α < 1
t(1)/(tα) intégrable en +∞ ⇔ α > 1
Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral
Soit nN. Soit f une fonction réelle de classe 𝒞n+1 sur un intervalle réel I. Soit aI.
xI, f(x) =k=0n (f(k)(a))/(k!) (xa)k +ax (f(n+1)(t))/(n!) (ta)n dt
Limite des sommes de Riemann
Soit f une fonction continue sur [0 ; 1].
limn→+∞ (1)/(n) k=1n f((k)/(n)) = 01 f(t) dt