Variables aléatoires réelles à densité

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Définitions

Une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω, A, P) est une application X : Ω → R telle que pour tout intervalle IR, sa préimage X−1(I) soit un évènement dont on note P(XI) la probabilité. Elle est dit à densité s'il existe une fonction f, appelée fonction de densité de X, qui soit définie, positive et intégrable sur R, telle que pour tout (a, b) ∈ R2 vérifiant ab on ait P(aXb) = P(X ∈ [a ; b]) = ab f(t) dt.

En particulier, si X est une variable à densité, pour tout aR on obtient P(X = a) = aa f(t) dt = 0. Cela signifie notamment qu'une variable à densité ne peut pas être une variable discrète, et réciproquement.

Par passage à la limite des bornes, on trouve aussi −∞+∞ f(t) dt = P(XR) = 1.

Par propriété de l'intégrale généralisée, si f est une fonction réelle définie, positive, continue sur R sauf en un nombre fini de points et intégrable sur R d'intégrale 1, alors cette fonction peut apparaitre comme la fonction de densité d'une variable aléatoire.

On se limitera ici aux variables aléatoires admettant une fonction de densité continue, sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Soit X une variable aléatoire réelle. Sa fonction de répartition est la fonction réelle définie pour tout xR par FX(x) = P(Xx).

La fonction de répartition est croissante avec limx→−∞ FX(x) = 0 et limx→+∞ FX(x) = 1.

La fonction de répartition d'une variable à densité est continue.

Soit X une variable aléatoire à densité et soit xR. Si la fonction de densité f est continue en x alors la fonction de répartition est dérivable en x et dans ce cas FX′(x) = f(x).

Soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition est continue et dérivable sur R. Si la dérivée de la fonction de répartition est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points, alors cette dérivée constitue une fonction de densité pour la variable X.

Si X est une variable aléatoire réelle à densité alors |X| aussi et pour toute fonction continue et strictement croissante g, dérivable et dont la dérivée ne s'annule pas sauf éventuellement en un nombre fini de points, la composée g(X) est aussi une variable aléatoire réelle à densité.

Lois de référence

On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur un intervalle [a, b] si elle admet comme fonction de densité la fonction définie par f(t) = 1/ba pour tout t ∈ [a ; b] et nulle en dehors de ce segment.
On note alors X 𝓤([a, b]).

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi uniforme discrète. Une telle variable aléatoire a une fonction de répartition qui est affine sur l'intervalle [a, b], nulle sur ]−∞ ; a] et constante de valeur 1 sur [b ; +∞[.

Soit λR∗+. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi exponentielle de paramètre λ sur R+ si elle admet comme fonction de densité la fonction définie par f(t) = λ eλt pour tout tR+ et nulle sur R∗−.
On note alors X 𝓔(λ).

La fonction de répartition d'une telle variable aléatoire est la fonction x ↦ 1 − eλx.

Soit μR et σR∗+. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale de paramètres μ et σ sur R si elle admet comme fonction de densité la fonction définie par f(t) = 1/σ exp(−(tμ)2/2σ2) pour tout tR.
On note alors X 𝓝(μ, σ2).

Attention, cette notation n'est pas complètement normalisée. Le deuxième paramètre est parfois simplement σ.

La fonction de répartition d'une telle variable aléatoire ne peut s'exprimer à l'aide des fonctions de référence vues au lycée. On peut cependant la calculer à partir de la fonction d'erreur (notée erf).

Il existe beaucoup d'autres lois de probabilités classiques pour des variables aléatoires à densité. On peut citer notamment la loi de Cauchy, dont la version la plus simple est donnée par la fonction de densité t1/π (1 + t2).

La loi exponentielle est sans mémoire, c'est-à-dire que si X 𝓔(λ), alors pour tout (a, b) ∈ (R+)2, PX>a(X > a + b) = P(X > b).

Espérance

Si X est une variable aléatoire réelle avec une fonction de densité f nulle en dehors d'un intervalle ]a, b[, on dit qu'elle X admet une espérance si la fonction t ↦ |t| f(t) est intégrable. Dans ce cas l'espérance de X est la valeur de l'intégrale E(X) = ab t f(t) dt.

Soit X une variable aléatoire réelle à densité. Si elle admet une espérance, alors on obtient d'une part P(Xt) = ot→−∞(1/t) et P(Xt) = ot→+∞(1/t), d'autre part les intégrales −∞0 P(Xt) dt et 0+∞ P(Xt) dt convergent avec E(X) = 0+∞ P(Xt) dt−∞0 P(Xt) dt.

On peut donc étendre la définition de l'espérance pour des variables aléatoires réelles qui ne sont pas forcément à densité.

L'espérance est croissante.

Si X est une variable aléatoire réelle de densité f et admettant une espérance, alors |X| admet aussi une espérance et E(|X|) = −∞+∞ |t| f(t) dt. Pour toute fonction continue et strictement croissante g, dérivable et dont la dérivée ne s'annule pas sauf éventuellement en un nombre fini de points, la composée g(X) admet une espérance si et seulement si la fonction t ↦ |g(t)| f(t) est intégrable et dans ce cas E(g(X)) = −∞+∞ g(t) f(t) dt .

Soit X une variable aléatoire réelle. Soit rN.

On dit que X admet un moment d'ordre r si la puissance Xr admet une espérance et dans ce cas ce moment est égal à E(Xr).

Si X admet une espérance, on dit que X admet un moment centré d'ordre r si la puissance (XE(X))r admet une espérance et dans ce cas ce moment est égal à E((XE(X))r).

La variance est le moment centré d'ordre 2.

Une variable aléatoire réelle à densité admet un moment centré d'ordre r si et seulement si elle admet un moment d'ordre r.

Si une variable aléatoire réelle à densité admet un moment d'ordre r alors elle admet un moment d'ordre q pour tout entier naturel qr.

Formule de Koenig-Huygens
Si X est une variable aléatoire à densité admettant un moment d'ordre 2, alors V(X) = E(X2) − E(X)2.

Indépendance

Deux variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé sont dites indépendantes si pour tout couple d'intervalles réels (I, J) les évènements XI et YJ sont indépendants, c'est-à-dire P(XI et YJ) = P(XI) × P(YJ).