Probabilités

Notions
univers, évènement, probabilité, probabilité élémentaire, équiprobabilité
Définitions
évènement contraire, évènements incompatibles, système complet d’évènements, probabilité conditionnelle, indépendance de plusieurs évènements
Résultats
probabilité d’un évènement en situation d’équiprobabilité, formule des probabilités totales (y compris avec probabilités conditionnelles), formule de Bayes
Compétences
calcul de la probabilité d’un évènement

Vocabulaire général

Soit Ω un ensemble non vide. Une tribu ou σ-algèbre (prononcer « sigma-algèbre ») est un ensemble 𝒜 de parties de Ω tel que : Un ensemble Ω muni d'une tribu 𝒜 forme un ensemble probabilisable. L'ensemble Ω est appelé univers et les éléments de 𝒜 sont appelés les évènements.

L’évènement contraire d'un évènement A est son complémentaire dans Ω, noté A ou Ac.

Deux évènements sont dits incompatibles s’ils sont disjoints.

L'ensemble 𝒫(Ω) des parties de Ω forme lui-même une tribu (appelée totale ou discrète), qui est en général la tribu utile dans les problèmes de variables aléatoires discrètes.

Définition
Une loi de probabilité ou mesure de probabilité (ou encore probabilité par raccourci) sur un ensemble probabilisable (Ω, 𝒜) est une application P : 𝒜 → R+ qui vérifie :

Dans le cas où la suite est infinie, la somme est la limite des sommes partielles : iN P(Ai) = limn→+∞ i=0n P(Ai), qui existe comme limite d'une suite croissante.

Cas d'un univers fini

Sur un univers fini Ω = {ω1, …, ωn} muni de la tribu totale 𝒫(Ω) et d'une probabilité P, on appelle probabilités élémentaires les probabilités des singletons pi = P({ωi}) dont la somme vaut 1.

La probabilité d'un évènement est alors la somme des probabilités élémentaires associées à ses éléments  P(A) = ωiA pi.

Les éléments de l'univers sont dits équiprobables s'ils ont tous la même probabilité.

Un dé standard à six faces est représenté par l'équiprobabilité sur ⟦1 ; 6⟧.

En cas d'équiprobabilité sur Ω, toutes les probabilités élémentaires valent 1/Card(Ω) et la probabilité d'un évènement s'écrit P(A) = Card(A) / Card(Ω).

Autrement dit, cette probabilité s’obtient en divisant le nombre de cas favorables par le nombre total de cas.

Propriétés

On a P(∅) = 0 et pour tout couple (A, B) d'évènements,

Une famille d’évènements est un système complet si les évènements sont deux à deux incompatibles et que leur réunion soit égale à l’univers.

En général, on ne considère que des systèmes complets dont les tous les évènements ont une probabilité non nulle. En particulier, ces systèmes constituent des partitions de l’univers.

Formule des probabilités totales
Soit (Ai) un système complet d’évènements. Pour tout évènement B on a P(B) = i P(BAi).

Probabilité conditionnelle

Si P(A) ≠ 0, on appelle probabilité conditionnelle de B par rapport à A le quotient PA(B) = P(AB)/P(A).

On trouve parfois la notation P(B | A) = PA(B).

La fonction PA est une loi de probabilité sur le même espace probabilisable, c'est-à-dire qu'elle est positive et σ-additive avec PA(Ω) = 1.

Formule de Bayes
Soient A et B deux évènements avec P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0. On a PA(B) = P(B) PB(A)/P(A).
Formule des probabilités totales avec probabilités conditionnelles
Soit (Ai) un système complet d’évènements et B un évènement.
Si pour tout i on a P(Ai) ≠ 0 alors P(B) = i P(Ai)PAi(B).

Indépendance

Soient A et B deux évènements avec P(A) ≠ 0. Il y a équivalence entre la relation PA(B) = P(B) et la relation P(AB) = P(A) × P(B).

On dit que deux évènements A et B sont indépendants si on a P(AB) = P(A) × P(B).

Soit (Ai)iI une famille d’évènements. On dit que les évènements qui la composent sont mutuellement indépendants si pour tout JI on a P(iJ Ai) = iJ P(Ai).

La définition impose l’égalité sur toutes les parties de I et pas seulement sur I.
Sur l’univers Ω = ⟦1 ; 6⟧ avec équiprobabilité, les évènements A = {1 ; 2 ; 3}, B = {2 ; 3 ; 4} et C = {3 ; 4 ; 5 ; 6} vérifient P(A) = P(B) = 1/2 et P(C) = 2/3 et P(ABC) = P({3}) = 1/6 = P(A) × P(B) × P(C) mais P(AB) = P({2 ; 3}) = 1/3 ≠ P(A) × P(B) donc A et B ne sont pas indépendants.