La probabilité est une fonction croissante par rapport à l’inclusion des évènements, c’est-à-dire que si A et B sont deux évènements avec A ⊂ B, on a P(A) ≤ P(B).
En particulier, on a pour tout évènement A d’un univers Ω, 0 = P(∅) ≤ P(A) ≤ P(Ω) = 1.
En cas d’équiprobabilité sur un univers fini non vide Ω, la probabilité d’un évènement A est le quotient P(A) = nombre de cas favorablesnombre de cas total = Card ACard Ω.
La probabilité du complémentaire d’un évènement A est donnée par P(¯A) = 1 − P(A).
Les probabilités de la réunion et de l’intersection de deux évènements A et B sont reliées par la formule suivante : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
En particulier, si les évènements A et B sont incompatibles (disjoints), on obtient la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Plus généralement, si (A1, …, An) est une famille finie d’évènements deux à deux incompatibles, alors on a P(⋃i=1n Ai) = ∑i=1n P(Ai).
Dans le cas d’évènements indépendants, la probabilité de l’intersection est donnée par la formule P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Sans l’hypothèse d’indépendance, on utilise la probabilité conditionnelle pour écrire P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
Si la famille (Ai) forme un système complet d’évènements alors pour tout évènement B, on obtient la formule des probabilités totales P(B) = ∑i P(B ∩ Ai).
Si en outre, tous les évènements du système sont de probabilité non nulle, on obtient la formule développée P(B) = ∑i P(Ai)PAi(B).
Ces calculs reviennent à calculer les probabilités des issues favorables dans un arbre de possibilités.
Si un évènement s’écrit sous la forme X ∈ A où X est une variable aléatoire réelle discrète et A est un ensemble de réels, alors on a P(X ∈ A) = ∑k∈A P(X = k).
En particulier, si les valeurs de X sont toutes entières, alors pour tout (a, b) ∈ Z2 tel que a < b on a P(a ≤ X ≤ b) = ∑k=ab P(X = k).
Si X est une variable aléatoire réelle à densité, avec une fonction de densité f, alors pour tout (a, b) ∈ R2 tel que a < b la probabilité d’un intervalle de valeurs se calcule avec une intégrale par P(a < X < b) = ∫ab f(t) dt.
Pour des évènements s’exprimant avec d’autres inéquations sur une variable aléatoire, il peut être utile de résoudre ces inéquations pour se ramener à des intervalles de valeurs.