Résolution d’inéquation

Comme lors d’une résolution d’équation, la première étape d’une résolution d’inéquation consiste à circonscrire le domaine d’étude, si cela n’est pas déjà fait par l’énoncé.

Différence

Les inéquations de la forme f(x) ≠ g(x) se traitent comme l’équation f(x) = g(x), en prenant garde à appliquer les règles de De Morgan pour la négation des conjonctions et disjonctions : A et B = A ou B, A ou B = A et B.

En particulier, un produit non nul se décompose avec une conjonction : A(x) × B(x) ≠ 0  ⇔  A(x) ≠ 0  et  B(x) ≠ 0.

Comparaison

Pour résoudre une inéquation de la forme f(x) ≥ g(x) ou f(x) > g(x), on procède généralement en déterminant le signe de la fonction xg(x) − f(x).

Lorsqu’une inéquation est réduite au signe d’une fonction F et qu’on a dressé le tableau de signe de F, on écrit les solutions de l’inéquation sous forme de réunion d’intervalles.

Exemple
x −∞ −2 3/5 2 +∞
F(x) 0 +

On a donc F(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ ]−∞, −2[ ∪ ]−2, 3/5] ∪ ]2, +∞[.

Les inéquations avec un membre en valeur absolue se transforment selon les règles suivantes :

|f(x)|g(x)  ⇔  −g(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
|f(x)| < g(x)  ⇔  −g(x) < f(x) < g(x)
|f(x)|g(x)  ⇔  f(x) ≤ −g(x)  ou  f(x) ≥ g(x)
|f(x)| > g(x)  ⇔  f(x) < −g(x)  ou  f(x) > g(x)

Pour une inéquation avec des expressions plus alambiquées contenant des valeurs absolues, on subdivise le domaine à l’aide d’un tableau d’expressions.

On n’oubliera pas que pour déterminer les solutions d’une conjonction (avec « et ») on calcule l’intersection des ensembles de solutions de chacune des clauses, tandis que pour une disjonction (avec « ou ») on calcule une réunion.