Exercices de probabilités

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Probabilités

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Calcul de probabilités

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Calcul de probabilités

Exercice
Un dé pipé présente la particularité de tomber deux fois plus souvent sur le 6 que sur chacune des cinq autres faces (lesquelles ont la même probabilité d’apparaitre). Quelle est sa loi de probabilité ?
Exercice
Une loi de probabilité sur l’ensemble {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} suit une progression arithmétique. Montrer que p3 vaut 1/5. Quelle est la plus grande raison possible ?
Exercice
Quelle est la probabilité qu’un individu quelconque soit né un 29 février ?
Exercice
Sur les 38 élèves de la classe, dix-sept proviennent de la section ES, trois de la section L et dix-huit de la section S. On choisit deux élèves distincts dans la classe de façon équiprobable. Quelle est la probabilité que les deux élèves soient issus de ES ? Quelle est la probabilité qu’ils soient issus de sections différentes ?
Exercice
Quelle est la probabilité de deviner les trois premières places d’une course de huit chevaux si tous les classements sont équiprobables ?
Exercice
Décrire un univers probabilisé correspondant au lancer de deux dés standards distincts, puis calculer la probabilité que la somme des deux résultats soit paire et la probabilité que le produit des deux résultats soit pair.
Exercice
Un sac contient des jetons indiscernables au toucher, chaque jeton portant une lettre de l'alphabet. Chaque lettre de l'alphabet est portée par un nombre de jetons égal à son rang dans l'alphabet (Un seul jeton A, deux jetons B… jusqu'à 26 jetons Z). On tire simultanément deux jetons du sac. Calculer la probabilité que les deux jetons portent la même lettre.
Exercice
On tire au hasard deux dominos distincts. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un double ? Quelle est la probabilité que les deux dominos aient une valeur en commun ?
Exercice
Déterminer les probabilités des différents types de mains au poker.

Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercice
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie, que l’on suppose équilibrée, c’est-à-dire que les côtés pile et face apparaissent de façon équiprobable. Les lancers successifs sont indépendants. Déterminer la probabilité d’obtenir : Ces évènements sont-ils compatibles ? Sont-ils indépendants ?
Exercice
À une question fermée, 60 % des élèves ont donné la bonne réponse. Déterminer la proportion p d’élèves qui connaissaient la bonne réponse, en admettant qu’ils ont tous répondu correctement et que les autres élèves avaient une chance sur deux de répondre correctement. On pourra noter C l’évènement « l’élève connaissait la bonne réponse » et S l’évènement « l’élève a donné la bonne réponse ».
Exercice
On lance trois dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6.
  1. Représenter l’univers des tirages possibles à l’aide d’un ensemble mathématique.
  2. Quelle est la probabilité d’obtenir A : trois résultats identiques ? B : trois résultats différents ? C : seulement deux résultats identiques sur les trois ?
  3. Si un joueur a obtenu deux résultats identiques au cours du premier lancer, il relance le troisième dé. En notant D : « ce deuxième lancer du troisième dé donne la même face que les autres dés », calculer PC(D) puis P(D).
  4. À l’issue du jeu, un joueur a obtenu trois faces identiques. Calculer la probabilité qu’il les ait obtenues dès le premier lancer.
Exercice
On admet que 0,3 % de la population est touchée par le cancer colorectal. Un test médical est développé avec une sensibilité de 50 %, c’est-à-dire que la moitié des personnes effectivement atteintes sont détectées par ce test. Enfin, le taux de faux positifs est de 3 %, ce qui correspond à la proportion de personnes saines qui sont détectées malades à tort.
Calculer la probabilité qu’une personne testée positive au test soit réellement affectée.
U. Hoffrage, S. Lindsey, R. Hertwig, G. Gigerenzer, Du bon usage des statistiques, La Recherche 340, mars 2001
Exercice
Sur un univers probabilisé fini pour lequel toutes les probabilités élémentaires sont non nulles, quels sont les évènements indépendants avec eux-mêmes ? Sont-ils indépendants entre eux ?

Problèmes

Problème
Soit (n, m) ∈ (N)2. Une urne contient n boules rouges et m boules jaunes.
  1. On tire successivement et avec remise quatre boules de l’urne. Calculer la probabilité des évènements suivants :
    • les quatre boules sont rouges
    • les quatre boules sont de la même couleur
    • on tire autant de boules rouges que de boules jaunes
    • les couleurs alternent d’un tirage à l’autre
  2. Calculer la probabilité de chacun des évènements de la question précédente en supposant cette fois que les tirages sont sans remise. On suppose aussi que n et m sont supérieurs ou égaux à 4.
Problème
Une urne contient n boules indiscernables au toucher mais munies d’identifiants lisibles tous distincts. On tire successivement et avec remise k boules de l’urne.
  1. Calculer la probabilité que les k boules tirées aient des identifiants distincts.
  2. Calculer la probabilité pk que les k-ième boule tirée soit la première à avoir été déjà tirée.
  3. Déterminer en fonction de n la valeur de k qui maximise pk.
Problème
Ecricome 2000 exercice 2
Un atelier fabrique des pièces qui sont d’abord façonnées sur un premier type de machine puis finies sur un second type de machine.
  1. Le façonnage est effectué en parallèle sur 3 machines M1, M2 et M3.
    • M1 façonne 1500 pièces par jour avec une proportion p1 = 0,006 de défectueuses.
    • M2 façonne 2000 pièces par jour avec une proportion p1 = 0,008 de défectueuses.
    • M3 façonne 2500 pièces par jour avec une proportion p1 = 0,004 de défectueuses.
    De la production journalière, on extrait une pièce au hasard.
    1. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.
    2. La pièce extraite est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle ait été façonnée par M1 ? par M2 ? par M3 ?
  2. Chaque pièce a une probabilité égale 0,015 d’être ratée lors de l'étape de finition, indépendamment du fait qu’elle ait été bien ou mal façonnée.
    1. Calculer la probabilité que les deux opérations aient été mal faites.
    2. Calculer la probabilité qu'une seule des opérations ait été mal faite.
Problème
Probabilités pour le génotype de l’enfant en fonction de celui de ses parents
génotype des parents génotype de l’enfant
BB Bb bb
BB et BB 1 0 0
BB et Bb 1/2 1/2 0
BB et bb 0 1 0
Bb et Bb 1/4 1/2 1/4
Bb et bb 0 1/2 1/2
bb et bb 0 0 1
Selon un modèle génétique simplifié, la couleur des yeux chez l’être humain est déterminée par un gène admettant deux allèles principaux ('b' pour bleu et 'B' pour brun). Chaque individu portant deux exemplaires du gène, on distingue les individus aux yeux bleus, portant un double allèle 'bb', et les individus aux yeux bruns, portant un double allèle 'BB' ou 'Bb'. Le génotype de l’enfant est alors une variable aléatoire qui ne dépend que du génotype des parents.
  1. Dans le Nord-Pas-de-Calais, on constate qu’environ un quart des individus a les yeux bleus et on note p la proportion d’individus portant le génotype 'BB'. En supposant que les génotypes des parents sont indépendants, calculer la loi du génotype des parents et en déduire la loi du génotype des enfants en fonction de p.
  2. Déterminer la valeur de p pour laquelle un quart des enfants aura le génotype 'bb'.
  3. Si un enfant a les yeux bleus, quelle est la probabilité que ses deux parents les aient aussi ?
Problème
D’après ENS 2010
On souhaite déterminer par un sondage la proportion q de la population qui consomme de la drogue mais on sait que les sondés hésiteront à donner une réponse qui puisse les mettre en cause. On fixe alors (p, N) ∈ ]0 ; 1[ × N et on considère une urne contenant un grand nombre de boules indiscernables au toucher et sur chacune desquelles une phrase est inscrite :

Un sondeur demande à N personnes de tirer au hasard une boule dans l’urne, de lire la question sans la montrer puis de remettre la boule dans l’urne, avant de dire au sondeur si la phrase est vraie ou fausse. On suppose que les sondés ne mentent pas, mais la réponse de chaque sondé (« vrai » ou « faux ») ne permet pas de savoir avec certitude s’il se drogue ou pas.

Soit i ∈ ⟦1 ; N le numéro d’ordre d’un sondé, on note Ai : « la boule porte la phrase affirmative », Di : « le sondé se drogue » et Vi : « la phrase lue par le sondé est vraie ».

  1. Calculer la probabilité P(Vi) que la phrase lue soit vraie en fonction de p et  q.
    Montrer qu’elle est non nulle puis calculer P(Di | Vi).
  2. Calculer l’image de la fonction g : xpx / px + (1 − p)(1 − x) sur [0 ; 1].
    En déduire une condition sur p pour avoir P(Di | Vi) ≤ 2P(Di) quelle que soit la proportion q.
  3. Déterminer de même une condition sur p pour avoir P(Di | Vic) ≤ 2P(Di) quelle que soit la proportion q.

Annales

ENS 2011 exercice II
Espérance du nombre de lancers d'une pièce équilibrée
Ecricome 2008
Entropie d'une variable aléatoire
Ecricome 1999
Binomiale
ENSAE 2002
Principe de Hardy-Weinberg