Intégrale généralisée

Notions
Convergence d’intégrale, intégrabilité, convergence absolue
Résultats
Relation de Chasles, caractérisation de l’intégrabilité à l’aide d’une primitive, intégrabilité de la fonction inverse, intégrale d’une exponentielle sur R+, intégrale du logarithme entre 0 et 1, critère de Riemann, propriétés de l’intégrale
Théorème de comparaison, intégrale de Gauss, théorème de négligeabilité, critère des équivalents, inégalité triangulaire
Compétences
Déterminer l’intégrabilité d’une fonction
Calculer une intégrale généralisée lorsque l’on connait une primitive de l’intégrande

L’intégration sur un segment se généralise dans certains cas pour des fonctions continues sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, y compris sur des intervalles non bornés.

Intégrabilité

Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert [a, b[.
On dit que l’intégrale ab f(t) dt converge si la fonction xax f(t) dt admet une limite finie lorsque x tend vers b et dans ce cas on pose ab f(t) dt = limxb ax f(t) dt.
De même, si f est une fonction continue sur ]a, b],
on dit que ab f(t) dt converge si la fonction xxb f(t) dt admet une limite finie lorsque x tend vers a et dans ce cas on pose ab f(t) dt = limxa xb f(t) dt.
Relation de Chasles
Soit (a, b) ∈ R tel que a < b. Soit c ∈ [a, b[.
Si f est une fonction continue sur [a, b[ alors l’intégrale ab f(t) dt converge si et seulement si l’intégrale cb f(t) dt converge.
De même, si f est une fonction continue sur ]a, b] alors les intégrales ab f(t) dt et ac f(t) dt convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.
Dans les deux cas on a ab f(t) dt = ac f(t) dt + cb f(t) dt.
Démonstration
Dans le premier cas, d’après l’additivité de l’intégrale sur un segment, pour tout x ∈ ]c, b[ on a ax f(t) dt = ac f(t) dt + cx f(t) dt, donc en utilisant les règles opératoires sur les limites de fonction, on obtient bien l’équivalence voulue.
Le deuxième cas se démontre de manière analogue.
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert ]a, b[. Soit c ∈ ]a, b[.
On dit que la fonction f est intégrable (à droite) en a si l’intégrale ac f(t) dt converge
et on dit qu’elle est intégrable (à gauche) en b si l’intégrale cb f(t) dt converge.
Si elle est intégrable aux deux bornes de l’intervalle alors elle est dite intégrable sur l’intervalle ]a, b[ et son intégrale généralisée est définie à l’aide de la relation de Chasles.
Remarque
Une fonction continue sur un intervalle est donc intégrable en une borne de cet intervalle si et seulement si une primitive de cette fonction a une limite finie en cette borne.
Démonstration
Critère de Riemann
Soit αR. La fonction x1/xα est intégrable en +∞ si et seulement si on a α > 1. Elle est intégrable en 0 si et seulement si on a α < 1.
Démonstration
On écarte le cas α = 1, qui correspond à la fonction inverse dont l’intégrabilité a déjà été traitée.

Une primitive de la fonction puissance s’écrit F : x1/(1 − α)xα−1. On distingue alors deux cas.

Propriété
Toute fonction prolongeable par continuité en une borne finie de son intervalle de définition est intégrable en cette borne.

Propriétés

On retrouve la plupart des propriétés de l’intégrale sur un segment.

Positivité
Soit f une fonction positive et intégrable sur un intervalle ]a, b[ (borné ou non).
On a alors ab f(t) dt ≥ 0.
Stricte positivité
Soit f une fonction continue et intégrable sur un intervalle I non dégénéré.
Si la fonction f est de signe constant et d’intégrale nulle sur I alors elle est nulle sur I.
Linéarité
L’ensemble des fonctions intégrables sur un intervalle non dégénéré forme un espace vectoriel et l’intégrale constitue une forme linéaire sur cet espace.
Croissance
Soient f et g deux fonctions intégrables sur un intervalle ]a, b[ (borné ou non).
Si on a fg alors on obtient ab f(t) dtab g(t) dt.

Critères de convergence

Théorème de comparaison
Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle ]a, b[ (borné ou non) tel que pour tout x ∈ ]a, b[ on ait 0 ≤ f(x) ≤ g(x) .
Si la fonction g est intégrable alors la fonction f aussi et dans ce cas on a 0 ≤ ab f(t) dtab g(t) dt.
Démonstration
Supposons que la fonction g est intégrable. Il existe c ∈ ]a, b[ et on obtient alors

Finalement, une primitive de f est bornée sur l’intervalle ]a, b[ et elle est croissante par positivité de f donc elle converge en a et en b.

En outre, on a 0 ≤ cb f(t) dtcb g(t) dt et 0 ≤ ac f(t) dtac g(t) dt donc on trouve l’encadrement voulu par addition des inégalités.

En particulier, si une fonction positive n’est pas intégrable sur un intervalle, toute fonction qui lui est supérieure ne sera pas non plus intégrable. Cette propriété peut aussi s’élargir sous la forme suivante.

Propriété
Toute fonction continue encadrée par des fonctions intégrables sur un intervalle I est aussi intégrable sur I et l’encadrement passe à l’intégrale.
Démonstration
Soient f, g et h trois fonctions continues sur un intervalle I non dégénéré.

Supposons que les fonctions f et h soient intégrables sur I et que pour tout xI on ait f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Alors on trouve 0 ≤ gfhf et la fonction hf est intégrable sur I donc on obtient que la fonction hf est aussi intégrable sur I, et la fonction  f = h − (hf) est intégrable sur I.

Intégrale de Gauss
On peut démontrer la convergence de l’intégrale suivante : −∞+∞ exp(x2/2) dx = .
Démonstration
L’encadrement 0 ≤ exp(x2/2)2/x2 pour tout xR* démontre la convergence de l’intégrale. Le calcul explicite de la valeur demande un peu plus de travail.
Théorème de négligeabilité
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle telles que f soit négligeable par rapport à g en une borne a de cet intervalle avec g positive au voisinage de a et intégrable en a.
Alors la fonction f est aussi intégrable en a.
Démonstration
On obtient l’encadrement gfg au voisinage de a donc l’extension du théorème de comparaison permet de conclure.
Critère des équivalents de fonction
Si une fonction f est définie, continue et de signe constant et intégrable en une borne a de cet intervalle alors toute fonction équivalente à f en a est aussi intégrable en a.
Réciproquement, toute fonction de signe constant et équivalente en a à une fonction non intégrable en a n’est pas non plus intégrable en a.
Démonstration
Soit g une fonction équivalente à f en a. Alors la fonction gf est négligeable par rapport à f en a donc par application du théorème précédent, la fonction gf est intégrable en a d’où par addition, la fonction g = f + (gf) est aussi intégrable en a.

Convergence absolue

Inégalité triangulaire
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle ]a, b[ (borné ou non). Si l’intégrale de f est absolument convergente sur cet intervalle alors elle est aussi convergente et on a |ab f(t) dt|ab |f(t)| dt.
Démonstration
Il suffit d’intégrer l’encadrement |f|f|f|.