Exercices sur l’intégrale généralisée

Ressources

Cours

Méthodologie

Énoncés

Exercice
Déterminer le domaine et l'intégrabilité des fonctions définies par les expressions suivantes, en calculant leur intégrale si elle converge :
Exercice
Ecricome 2011
Montrer que l’intégrale suivante converge et calculer sa valeur 01 x + (1 − x) × ln(1 − x) dx
Exercice
Déterminer l’intégrabilité des fonctions suivantes aux bornes de leur domaine de définition.
Exercice
  1. Montrer que l’intégrale 1+∞ (dx)/(x2 + x) converge.
  2. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x ∈ [1 ; +∞[ on ait (1)/(x2 + x) = (a)/(x) + (b)/(x + 1).
  3. En déduire la valeur de l’intégrale.
Exercice
ENS 2017 exercice questions 2 et 3
  1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 l’intégrale 0n ln(x) dx converge et vaut n ln(n/e).
  2. Montrer que pour tout entier i ≥ 1, i−1i ln(x) dx ≤ ln(i).
  3. En déduire que pour tout entier n ≥ 1 on a n ln(n/e) ≤ ln(n!).
Exercice
Ecricome 2011 problème 1.2 question 4.a
Soit (α, β) ∈ (R∗+)2. Montrer que l'intégrale 0+∞ (dx)/((1 + βx)α+1) converge et calculer sa valeur.
Exercice
ENS 2016 problème question 14
Montrer que pour tout kN on a 0+∞ tket dt = k!.
Exercice
ENS 2017 planche 3 exercice 1
On définit pour tout entier n ≥ 1, In = 0 (dt)/((1 + t2)n).
  1. Pour tout n ≥ 1, justifier que In est bien définie et montrer que In = 2n(InIn+1).
  2. Calculer I1 et montrer que pour tout n ≥ 2 on a In = I1 k=1n−1 (1 − (1)/(2k)).
  3. Pour tout n ≥ 1, justifier que l’application fn : tk=1n (1)/((1 + t2)k) est intégrable sur R+ et que 0 fn(t) dt = 2nIn+1.
  4. Étudier la convergence de la suite (0 fn(t) dt).
Exercice
ENS 2017 planche 2 exercice 2 question 1
Soit x > 0. Montrer que l’intégrale x exp((y2)/(2)) dy converge et que x exp((y2)/(2)) dy(1)/(x) exp((x2)/(2)).
Exercice
ENS 2019 planche 4 exercice 1 question 6
Calculer 01 b ln(b/(b + 1)) db.
Exercice
ENS 2017 planche 6 exercice 1 question 2
Montrer que l’intégrale 0 (1 − (1 − eu)n)du converge.
Exercice
Démontrer que l'intégrale
ENS 2013 exercice 2 questions 2 et 6
01 (exp(−rx))/((1 − x)) dx converge pour tout r ≥ 1, puis déterminer une constante cR telle que pour tout r ≥ 1 on ait r−2/31 (exp(−rx))/((1 − x)) dxcexp(r1/3).
Exercice : fonction Gamma
ENS 2019 problème C, 3e partie
Soit x > 0. Montrer que la fonction t ↦ ettx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. On note alors Γ(x) = 0+∞ettx−1 avec une intégrale strictement positive.

Ajouts

Exercice

Déterminer les variations et limites de la fonction g : x1/(ex + ex) définie sur R, puis justifier qu’elle est intégrable et calculer son intégrale à l’aide du changement de variable u = ex.

Annales

Ecricome 1998 problème 1
Intégrabilité du produit avec une exponentielle décroissante
Ecricome 2000 problème
Ecricome 2001 Pb 1
Ecricome 2010 problème 2
Ecricome 2012 problème 2.3
Convergence en −1/2 de 0x (ln(1 + 2t)/t − 1) dt.