Exercices sur les variables aléatoires à densité

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Exercice
Quelle est la fonction de répartition d'une variable uniforme sur l'intervalle [0 ; 1] ?
ENS 2012 exercice II question 1
Exercice
Quelle est la fonction de répartition et la fonction de densité de Y = X2 dans les cas suivants :
Exercice
Si X ↝ ℰ(λ), déterminer la fonction de répartition et une expression de la fonction de densité pour Y = ln(X) et Z = exp(X).
Exercice
Déterminer aR tel que la fonction f définisse une fonction de densité dans chacun des cas suivants :
Exercice
Soit R une variable à densité sur R+ dont la densité est donnée par la fonction f : x ex2/2.
  1. Calculer P(Ru) pour tout u ≥ 0.
  2. Est-ce que R admet une espérance ? Si oui, la calculer.
ENS 2016 problème première partie
Exercice
Montrer que pour tout n ∈ N, la fonction f : xxn exp(−x)/n! définit une fonction de densité sur R+.
ENS 2012 exercice 2
Exercice
Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de densité f qui ne s'annule pas sur un intervalle réel I et admettant une espérance.
  1. Montrer que la fonction g : m -> −∞m t f(t) dt est bien définie, continue et dérivable sur R et préciser ses variations et limites à l'infini.
  2. En supposant E(X) ≠ 0, montrer qu'il existe un unique réel mI tel que g(m) = E(X)/2.
  3. En supposant E(X) ≠ 0, montrer que la fonction g ne s'annule pas à l'intérieur de I.

Problèmes

Problème
On note X une variable aléatoire réelle dont la densité f vérifie f(x) = 1 pour tout x[−1/2, 1/2] et est nulle en dehors de cet intervalle.
  1. Calculer P(X ≤ −1), P(X = 0) et P(X ≥ 0).
  2. Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
  3. Les variables X et X sont-elles de même loi ?
  4. Pour chacune des variables suivantes, déterminer si elle admet une espérance et la calculer le cas échéant (avec λ > 0).
    • X
    • |X|
    • 1/X
    • X2
    • eλX
  5. On considère désormais une famille (Xk)kN de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X.
    1. Pour tout nN, expliciter la loi de mn = min(X1, … , Xn) et de Mn = max(X1, … , Xn).
      Les variables mn et Mn sont-elles indépendantes ?
    2. Calculer en particulier P(M2 ≥ 1/3).
    3. Si N est une variable aléatoire discrète telle que N − 1 suive une loi de Poisson de paramètre λR∗+, expliciter la loi de MN.
ENS 2015 exercice 3

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