Variables aléatoires à densité

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Exercice
Quelle est la fonction de répartition d'une variable uniforme sur l'intervalle [0 ; 1] ?
ENS 2012 exercice II question 1
Exercice
On note X une variable aléatoire réelle dont la densité f vérifie f(x) = 1 pour tout x[−1/2, 1/2] et est nulle en dehors de cet intervalle.
  1. Calculer P(X ≤ −1), P(X = 0) et P(X ≥ 0).
  2. Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
  3. Les variables X et X sont-elles de même loi ?
ENS 2015 exercice 3
Exercice
Montrer que pour tout n ∈ N, la fonction f : x(xn exp(−x))/(n!) définit une fonction de densité sur R+.
ENS 2012 exercice 2
Exercice
Déterminer aR tel que la fonction f définisse une fonction de densité dans chacun des cas suivants : Calculer l’espérance et la variance si elles existent dans chaque cas.
Exercice
Soit R une variable à densité sur R+ dont la densité est donnée par la fonction f : xx ex2/2.
  1. Calculer P(Ru) pour tout u ≥ 0.
  2. Est-ce que R admet une espérance ? Si oui, la calculer. On pourra utiliser la valeur de la variance d’une variable aléatoire gaussienne centrée réduite.
ENS 2016 problème question 5
Exercice
Soit X une variable aléatoire à densité. Déterminer la fonction de répartition et la fonction de densité de X2, de eX, de |X|, de 1/|X| et de ln(|X|) dans les cas suivants : Calculer l’espérance et la variance de ces variables si elles existent.
Exercice
Soit X une variable aléatoire réelle à densité. Soit kR. Déterminer les variations de la fonction aP(aXka) sur R si X est une variable exponentielle, si elle est normale centrée réduite, ou si elle admet pour fonction de densité la fonction f : x(1)/(x2) sur [1 ; +∞[.
Exercice
Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b.
  1. Soit V une variable uniforme sur [0, b]. La variable aléatoire (1)/(V) a-t-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
  2. Soit V une variable uniforme sur [a, b]. La variable aléatoire (1)/(V) a-t-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
ENS 2017 problème A question 5.b
Exercice
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λR. On pose Y = ⌊X sa partie entière.
  1. Déterminer la loi de Y et celle de XY.
  2. Calculer l’espérance de XY.
Exercice
Soit aN et (X1, … , Xn) une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [0 ; a].
  1. Déterminer la loi de M = max(X1, … , Xn) et celle de L = min(X1, … , Xn). On pourra calculer pour tout k ∈ ⟦1 ; n, P(Mk) = P(X1k, X2k, … , Xnk).
  2. Les variables L et M sont-elles indépendantes ?
  3. Calculer l’espérance et la variance de M et de L.
Exercice
On considère une famille (Xk)kN de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [(−1)/(2), (1)/(2)].
  1. Pour tout nN, expliciter la loi de Mn = max(X1, … , Xn).
  2. Calculer en particulier P(M2 ≥ 1/3).
  3. Si N est une variable aléatoire discrète telle que N − 1 suive une loi de Poisson de paramètre λR∗+, expliciter la loi de MN.
ENS 2015 exercice 3
Exercice
Soit n ≥ 1 un entier et (Xi)1≤in une famille de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1. On pose Mn = max(X1, … , Xn).
  1. Montrer que Mn admet une densité, qu’on déterminera et qu’on représentera graphiquement.
  2. Déterminer la valeur de la limite de (E(Mn))/(ln(n)) lorsque n tend vers +∞. On pourra utiliser, sans preuve, le fait que E(Y) = 0 P(Yu) du pour toute variable aléatoire positive Y et faire un changement de variable dans l’intégrale.
ENS 2017 planche 6 exercice 1
Exercice
Soit n ≥ 1 un entier et (Xi)1≤in une famille de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1. On pose mn = min(X1, … , Xn) et Mn = max(X1, … , Xn).
  1. Déterminer la loi de mn. Montrer qu’elle admet une espérance et la calculer.
  2. Montrer que pour tout ε ∈ ]0 ; 1[ on a P((Mn)/(ln(n)) ≤ 1 − ε) → 0 quand n → +∞.
  3. Montrer que pour tout ε ∈ ]0 ; 1[ on a P((Mn)/(ln(n)) ≥ 1 + ε) → 0 quand n → +∞.
  4. Montrer que pour tout ε ∈ ]0 ; 1[ on a limn → +∞ P(1 − ε < (Mn)/(ln(n)) < 1 + ε) = 1.
ENS 2017 planche 12 exercice 1
Exercice
Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance.
Montrer que E(|X|) ≤ (E(X2)).
Exercice
Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de densité f qui ne s'annule pas sur un intervalle réel I et admettant une espérance.
  1. Montrer que la fonction g : m−∞m t f(t) dt est bien définie, continue et dérivable sur R et préciser ses variations et limites à l'infini.
  2. En supposant E(X) ≠ 0, montrer qu'il existe un unique réel mI tel que g(m) = E(X)/2.
  3. En supposant E(X) ≠ 0, montrer que la fonction g ne s'annule pas à l'intérieur de I.
Exercice
Calculer la covariance et le coefficient de corrélation de X et 1/X lorsque X ↝ 𝒰([1 ; 2]).
Exercice
Calculer la covariance de X et X2 lorsque X ↝ 𝒰([−1 ; 1]). Ces variables sont-elles indépendantes ?
Exercice
Soit X ↝ 𝒰([0 ; 1]). On pose Y = X3 et Z = XY. Calculer les covariances deux à deux de ces trois variables.

Problèmes

Problème
ENS 2017 problème A question 5
Soit V une variable aléatoire à densité uniforme sur un intervalle [a, b] ⊂ R. Soit f : mx + p une fonction affine non constante.
  1. Montrer que f(V) est une variable uniforme entre les valeurs f(a) et f(b).
  2. Justifier que E(f(V)) = f(E(V)).
  3. On définit une suite de variables aléatoires par V0 = V et pour tout nN, Vn+1 = f(Vn) avec un = E(Vn). À quelle condition la suite (un) converge-t-elle ? Préciser sa limite dans ce cas.
Problème
ENS 2018 problème C troisième partie
Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur R+∗. On suppose que sa fonction de répartition est continue et on pose ¯(F)(u) = P(Xu) pour tout uR.
  1. Justifier que la fonction ¯(F) est continue.
  2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 il existe an ≥ 0 tel que ¯(F)(an) = (1)/(n).
  3. On suppose uniquement dans cette question, que X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Déterminer la valeur de an.
  4. On suppose que X admet une espérance. Montrer que E(X) ≥ (an)/(n).
  5. On suppose que limn→+∞ (an)/(n) = +∞. Montrer que X n’admet pas d’espérance.
Problème
ENS 2015 exercice 3 partie II
Soit (X1, … , Xn) une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [(−1)/(2), (1)/(2)]. On pose Sn = k=1n Xk.
  1. En notant f : x(ex − ex)/(2), montrer que pour tout réel λ > 0 on a E(eλSn) = ((f(λ/2))/(λ/2))n.
  2. Montrer que E(|Sn|)(E(Sn2)).
  3. Calculer V(Sn) et en déduire que E(|Sn|)((3))/(6)(n).
Problème
Soit (a, b,c) ∈ R3 tel que a < b < c. Une variable aléatoire réelle X suit une loi triangulaire de paramètres (a, b,c) si elle admet une fonction de densité f nulle sur ]−∞, a] et sur [c, +∞[ mais affine sur [a, b] et sur [b, c].
  1. Déterminer une expression de la fonction f. On pourra commencer par noter h = f(b) puis calculer h pour que l’intégrale de la fonction f vaille 1.
  2. Calculer l’espérance et la variance de X.
Problème
Soit aR. On définit la fonction f : x(a)/(1 + x2) sur R.
  1. Déterminer la valeur de a pour que la fonction f définisse une fonction de densité.
  2. Si X est une variable aléatoire admettant la fonction f comme densité, admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
  3. On considère trois variables X1, X2, X3 indépendantes et admettant la fonction f comme densité. On appelle M la valeur médiane de ces trois variables. Soit xR.
    1. Calculer la probabilité P(max(X1, X2, X3) ≤ x).
    2. Calculer la probabilité P(max(X1, X2) ≤ xX3).
    3. En déduire que P(Mx) = ((1)/(2) + (1)/(π) arctan(x))2 (2 − (2)/(π) arctan(x))

Annales

Ecricome 2008 : entropie
Ecricome 2011 problème 2 : indice de concentration d'une variable exponentielle
Ecricome 2012 problème 2.2 : taux de panne d'une variable à densité
ENS 2012 exercice II : loi de la partie fractionnaire d'une variable aléatoire et loi de Benford
ENS 2015 exercice 3 : convergence en loi d'une somme de variables uniformes (hors programme !)
ENS 2014 exercice 2 : application au théorème de Weierstraß