Exercices sur les variables aléatoires à densité

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Exercice
Quelle est la fonction de répartition d'une variable uniforme sur l'intervalle [0 ; 1] ?
ENS 2012 exercice II question 1
Exercice
Déterminer aR tel que la fonction f définisse une fonction de densité dans chacun des cas suivants : Calculer l’espérance et la variance si elles existent dans chaque cas.
Exercice
Soit X une variable aléatoire à densité. Déterminer la fonction de répartition et la fonction de densité de X2, de 1/X et de eX dans les cas suivants : Calculer l’espérance et la variance de ces variables si elles existent.
Exercice
Soit R une variable à densité sur R+ dont la densité est donnée par la fonction f : xx ex2/2.
  1. Calculer P(Ru) pour tout u ≥ 0.
  2. Est-ce que R admet une espérance ? Si oui, la calculer.
ENS 2016 problème première partie
Exercice
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λR. On pose Y = ⌊X sa partie entière.
  1. Déterminer la loi de Y et celle de XY.
  2. Calculer l’espérance de XY.
Exercice
Montrer que pour tout n ∈ N, la fonction f : xxn exp(−x)/n! définit une fonction de densité sur R+.
ENS 2012 exercice 2
Exercice
Soit X une variable aléatoire réelle à densité. Soit kR. Déterminer les variations de la fonction aP(aXka) sur R si X est une variable exponentielle, si elle est normale centrée réduite, ou si elle admet pour fonction de densité la fonction f : x1/x2 sur [1 ; +∞[.
Exercice
Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de densité f qui ne s'annule pas sur un intervalle réel I et admettant une espérance.
  1. Montrer que la fonction g : m−∞m t f(t) dt est bien définie, continue et dérivable sur R et préciser ses variations et limites à l'infini.
  2. En supposant E(X) ≠ 0, montrer qu'il existe un unique réel mI tel que g(m) = E(X)/2.
  3. En supposant E(X) ≠ 0, montrer que la fonction g ne s'annule pas à l'intérieur de I.

Problèmes

Problème
Soit aN et (X1, … , Xn) une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [0 ; a].
  1. Déterminer la loi de M = max(X1, … , Xn) et celle de L = min(X1, … , Xn).
    On pourra calculer pour tout k ∈ ⟦1 ; n, P(Mk) = P(X1k, X2k, … , Xnk).
  2. Calculer l’espérance et la variance de M et de L.
Problème
Soit (a, b,c) ∈ R3 tel que a < b < c. Une variable aléatoire réelle X suit une loi triangulaire de paramètres (a, b,c) si elle admet une fonction de densité f nulle sur ]−∞, a] et sur [c, +∞[ mais affine sur [a, b] et sur [b, c].
  1. Déterminer une expression de la fonction f.
    On pourra commencer par noter h = f(b) puis calculer h pour que l’intégrale de la fonction f vaille 1.
  2. Calculer l’espérance et la variance de X.
Problème
Soit aR. On définit la fonction f : xa/1 + x2 sur R.
  1. Déterminer la valeur de a pour que la fonction f définisse une fonction de densité.
  2. Si X est une variable aléatoire admettant la fonction f comme densité, admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
  3. On considère trois variables X1, X2, X3 indépendantes et admettant la fonction f comme densité. On appelle M la valeur médiane de ces trois variables. Soit xR.
    1. Calculer la probabilité P(max(X1, X2, X3) ≤ x).
    2. Calculer la probabilité P(max(X1, X2) ≤ xX3).
    3. En déduire que P(Mx) = (1/2 + 1/π arctan(x))2 (2 − 2/π arctan(x))
Problème
ENS 2015 exercice 3
On note X une variable aléatoire réelle dont la densité f vérifie f(x) = 1 pour tout x[−1/2, 1/2] et est nulle en dehors de cet intervalle.
  1. Calculer P(X ≤ −1), P(X = 0) et P(X ≥ 0).
  2. Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
  3. Les variables X et X sont-elles de même loi ?
  4. Pour chacune des variables suivantes, déterminer si elle admet une espérance et la calculer le cas échéant (avec λ > 0).
    • X
    • |X|
    • 1/X
    • X2
    • eλX
  5. On considère désormais une famille (Xk)kN de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X.
    1. Pour tout nN, expliciter la loi de mn = min(X1, … , Xn) et de Mn = max(X1, … , Xn).
      Les variables mn et Mn sont-elles indépendantes ?
    2. Calculer en particulier P(M2 ≥ 1/3).
    3. Si N est une variable aléatoire discrète telle que N − 1 suive une loi de Poisson de paramètre λR∗+, expliciter la loi de MN.