Exercices sur les espaces vectoriels

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Cours sur les espaces vectoriels

Énoncés

Exercice
Déterminer si les ensembles suivants constituent des espaces vectoriels pour les opérations usuelles :
Exercice
ENS 2008 exercice I question 2
Soit E un espace vectoriel de dimension 1. Montrer que tout endomorphisme de E est de la forme λidE avec λR.
Exercice
ENS 2008 exercice I
Soit E un espace vectoriel et u ∈ L(E) tel que u2 = −idE. Soit xE ∖ {0}.
  1. Montrer que la famille (x, u(x)) est libre.
  2. Si dim(E) = 2, montrer que cette famille est une base et représenter u dans cette base.
  3. Si dim(E) > 2, montrer qu’il existe aussi yE tel que (x, u(x), y, u(y)) est une famille libre.
  4. En déduire que dim(E) ≠ 3.
Exercice
Ecricome 2007 problème 1.2
Montrer que l'ensemble E des suites réelles satisfaisant pour tout nN la relation de récurrence un+3 = 2un+25/4un+1 + 1/4un est un espace vectoriel.
Exercice
ENS 2010 exercice I question 3
Montrer que l'ensemble des fonctions réelles u définies sur D = R \ Z et vérifiant pour tout xD, u((x)/(2)) + u((x+1)/(2)) = 2u(x) forme un espace vectoriel réel.
Exercice
D’après Ecricome 1998 Problème 2
Soit pN, et (a0, …, ap−1) ∈ Rp tel que a0ap−1 ≠ 0. On note S l'ensemble des suites réelles u satisfaisant l'équation un+p = ap−1un+p−1 + … + a0un pour tout nN.

Montrer que S est un espace vectoriel et que toute suite de S est entièrement déterminée par la donnée de ses p premiers termes (u0, …, up−1).

Exercice
ENS 2017 problème B question 3
Montrer que l'ensemble E des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2 est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions continues de R vers R. Montrer que l'intégrale entre 0 et 1 définit une application linéaire de E dans R et calculer son noyau.
Exercice
ENS 2017 problème B question 3
Soit (a0, … , an−1) Rn. L’application qui à tout A ∈ ℳn(R) associe a0In + a1A + ⋯ + an−1An−1 + An est-elle linéaire ?
Exercice
Soit (a, b) ∈ R2. On considère l'ensemble E des suites réelles satisfaisant pour tout nN la relation de récurrence un+2 = aun+1 + bun.
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de RN et que l'application φ : u ↦ (u0, u1) est linéaire de E dans R2.
Déterminer le noyau et l'image de φ.
Exercice
Déterminer le noyau et l'image et leur intersection pour chacune de endomorphismes de R3 dans R3 définies ci-dessous et calculer à chaque fois le carré de l'endomorphisme.
Exercice
ENS 2017 planche 6 exercice 2
Soient f et g deux endomorphismes de Rn tels que fg = 0.
  1. Montrer que rg(g) ≤ dim(Ker(f)).
  2. Montrer que dim(Ker(f)) + dim(Ker(g)) ≥ n.
Exercice
ENS 2019 planche 3 exercice 2
Soient u, v, w trois endomorphismes de R3 qui vérifient u3 = v3 = w3 = 0.
  1. Supposons que u est différent de l’endomorphisme nul et que u et v commutent, c’est-à-dire uv = vu. Montrer que rg(uv) < rg(u).
    On pourra considérer la restriction de v à un sous-espace vectoriel bien choisi.
  2. On suppose dans cette question que u, v, w commutent deux à deux. Montrer que uvw = 0.
Exercice
ENS 2017 planche 7 exercice 1 question 1
Soit u un endomorphisme de Rn tel que u2 = 0.
Donner une relation d’inclusion entre Ker(u) et Im(u) et en déduire rg(u) ≤ n/2.
Exercice
ENS 2016 exercice 2 question 2
Pour tout x = (x1, … , xn) ∈ Rn, on définit l’application ψx : (y1, … , yn) ∈ Rni=1n xiyi.
  1. Soit xRn. Montrer que l’application ψx est linéaire, calculer son rang et la dimension de son noyau.
  2. Montrer que l’application xψx définit un isomorphisme d’espaces vectoriels entre Rn et L(Rn, R).
Exercice
ENS 2019 problème B question 2
Démontrer que l’ensemble 𝒜n(R) = {A ∈ ℳn(R) : AT = −A} est un sous-espace vectoriel de n(R).
Exercice
ENS 2005 problème I question 1
Soit E un espace vectoriel, et (f, g) ∈ L(E)2.
  1. Montrer que l’image de g est stable par f.
  2. Montrer que le noyau de g est stable par f.

Problèmes

Problème
ENS 2017 planche 11 exercice 1 question 2
Soit M ∈ ℳ2(R) telle que M2 = −Id.
  1. Quel est le rang de M ?
  2. Soit x un vecteur non nul de R2 et u l’endomorphisme de R2 canoniquement associé à M.
    Montrer que (x, u(x)) est une base de R2 et donner la matrice de u dans cette base.
  3. Trouver toutes les matrices A ∈ ℳ3(R) telles que A2 = −Id.
Problème
ENS 2016 exercice 2 question 2
Pour tout x = (x1, … , xn) ∈ Rn, on définit l’application ψx : (y1, … , yn) ∈ Rni=1n xiyi.
  1. Soit xRn. Montrer que l’application ψx est linéaire, calculer son rang et la dimension de son noyau.
  2. Montrer que l’application xψx définit un isomorphisme d’espaces vectoriels entre Rn et L(Rn, R).
Problème
ENS 2007 problème partie 2 question 1
Soit u un endomorphisme.
  1. Montrer les inclusions suivantes : Ker u ⊂ Ker u2 et Im u2 ⊂ Im u.
  2. Soit kN. Montrer que l'égalité Ker uk = Ker uk+1 implique l'égalité Ker uk+1 = Ker uk+2
Problème
Ecricome 2000 exercice 1 question 1
  1. Montrer que l'ensemble P des polynômes pairs et l'ensemble I des polynômes impairs sont deux espaces supplémentaires dans l'espace E des polynômes de degré inférieur ou égal à 4.
  2. Pour tout pE, on définit le polynôme f(p)(x) = (x2 + 1)p″(x) − x p′(x).
    Montrer que l'application f est un endomorphisme de E qui laisse stables I et P.
  3. Déterminer le noyau de f.
Problème
D'après Ecricome 2010 problème 1
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E différent de 2IdE et de −3IdE vérifiant la relation R : u2 + u − 6 IdE = 0 (endomorphisme nul).
  1. Montrer que u est un automorphisme de E et exprimer u−1 comme une combinaison linéaire de IdE et u.
  2. Déterminer les valeurs de λR pour que l'endomorphisme λIdE satisfasse la condition R.
  3. Dans le cas où u n'est pas colinéaire à l'identité, déterminer les combinaisons linéaires de IdE et u qui sont des projecteurs.
    Les projecteurs trouvés commutent-ils ?
Problème
ENS 2004 problème 1
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
  1. Soit φ ∈ L(E, R). Montrer que son noyau est un hyperplan.
  2. Réciproquement, si H est un hyperplan de E, montrer qu’il existe φ ∈ L(E, R) tel que H = Ker(φ).
  3. Soient φ et ψ deux éléments non nuls de L(E, R) tels que Ker(φ) = Ker(ψ).
    1. Montrer qu’il existe vE tel que φ(v) = 1.
    2. En notant λ = ψ(v), montrer que ψ = λφ.
  4. Soit H un hyperplan de E. Démontrer que DH = {φ ∈ L(E, R) : H ⊂ Ker(φ)} est un sous-espace vectoriel de E et préciser sa dimension.
  5. Soit f une transvection sur E (autre que l’identité), c’est-à-dire un endomorphisme de E tel que le noyau Ker(f − id) (appelé base de la transvection) est un hyperplan de E qui contient Im(f − id) (appelé direction de la transvection).
    1. Montrer qu’il existe φ ∈ L(E, R) tel que Ker(f − id) = Ker(φ).
    2. Montrer qu’il existe vE tel que φ(v) = 1.
    3. On pose u = f(v) − v. Montrer que u ∈ Ker(f).
    4. Montrer que pour tout xE on a xφ(xv ∈ Ker(f − id) puis f(x) = x + φ(xu.
  6. Réciproquement, montrer que pour tout φ ∈ L(E, R) ∖ {0}, pour tout u ∈ Ker(φ) ∖ {0}, l’application xx + φ(xu définit bien une transvection sur E.
  7. Montrer que toute transvection est un isomorphisme.
  8. Soit f une transvection de base H et de direction D. Montrer que pour tout g ∈ GL(E), la composée gfg−1 est aussi une transvection de base g(H) et de direction g(D).
  9. En déduire que les seuls automorphismes de E qui commutent avec toutes les transvections sont les homothéties xλx.
Problème : Endomorphisme nilpotent et noyaux emboités
ENSAI 2005

Soit E un espace vectoriel de dimension n et φ ∈ L(E) nilpotent, c’est-à-dire tel qu’il existe un entier p ≥ 2 pour lequel φp = 0 mais φp−1 ≠ 0.

  1. Soit xE tel que φp−1(x) ≠ 0.
    Montrer que la famille (x, φ(x), φ2(x), … , φp−1(x)) est libre.
  2. En déduire pn.
  3. Montrer la suite d’inclusions {0} ⊂ Ker(φ) ⊂ Ker(φ2) ⊂ ⋯ ⊂ Ker(φp−1) ⊂ Ker(φp) = E.
  4. Montrer que pour tout k ∈ ⟦1, p−1⟧, si Ker(φk−1) = Ker(φk) alors Ker(φk) = Ker(φk+1).
  5. En déduire que la suite (0, dim(Ker(φ)), dim(Ker(φ2)), … , dim(Ker(φp−1)), dim(Ker(φp))) est strictement croissante.
  6. On pose A = (:(0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0) (1 ; 0 ; 0 ; 0 ; −1) (0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0) (0 ; −1 ; 0 ; 0 ; 0) (0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0), représentant un endomorphisme ψ ∈ L(R5).
    1. Déterminer une base pour chacun des noyaux de A, A2 et A3.
    2. L’endomorphisme ψ est-il nilpotent ?
    3. Montrer que Ker(ψ2) et Im(ψ2) sont supplémentaires dans R5.
Problème
ENS 2015 exercice 2
On rappelle la définition de la trace d’une matrice A = (Ai,j)1≤i,jn par Trn(A) = i=1n Ai,i.
  1. Justifier que la trace définit une application linéaire de n(R) vers R.
  2. Déterminer le rang de Trn et la dimension de son noyau.
  3. Dans le cas où n = 2, déterminer une base du noyau de Tr2.
  4. Pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n2, on note Ei,j la matrice élémentaire dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient de la ligne i et la colonne j qui vaut 1.
    Montrer que pour tout (i, j, k, l) ∈ ⟦1 ; n4 tel que jk, on a Ei,jEk,l = 0.
  5. Soit f ∈ L(ℳn(R), R) tel que pour tout (A, B) ∈ ℳn(R)2 on ait f(AB) = f(BA).
    Montrer que pour tout matrice élémentaire,Ei,j tel que ij on a f(Ei,j) = 0, puis montrer que f(Ei,i) ne dépend pas de i.
    En déduire qu’il existe xR tel que pour tout A ∈ ℳn(R) on ait f(A) = x Tr(A).
  6. Soit g ∈ L(ℳn(R), R) une application linéaire. Montrer qu’il existe une matrice B telle que pour tout A ∈ ℳn(R) on ait g(A) = Tr(AB).

Annales

Ecricome 2006 problème I
Endomorphisme sur un espace de polynômes
Ecricome 2007 problème 1.2
Espace des suites satisfaisant la relation de récurrence un+3 = 2un+25/4un+1 + 1/4un.