Fonctions polynômes

Vocabulaire

Définition

Une fonction polynôme (réelle) P est une combinaison linéaire de fonctions puissances, c’est-à-dire qu’il existe nN et (a0, … , an) ∈ Rn+1 tel que pour tout xR, P(x) = k=0n ak xk = a0 + a1x + ⋯ + anxn. Dans ce cas, elle est dite de degré n si an ≠ 0. Ce coefficient est alors appelé coefficient dominant, et si n ≥ 1, le coefficient an−1 est appelé sous-dominant. Le coefficient a0 est appelé coefficient constant, et pour tout entier k le coefficient de degré k est le réel ak.

Par convention, la fonction nulle est un polynôme de degré −∞ et n’a pas de coefficient dominant (ni sous-dominant).

Si l’on ne détermine pas davantage la variable xR, une fonction polynôme est définie par son expression en fonction de x et l’ensemble des fonctions polynômes (réelles) est noté R[x].

Définitions

Un polynôme est dit unitaire ou normalisé si son coefficient dominant vaut 1.

Un monôme est un polynôme ayant un seul coefficient non nul.

Soit P de degré nN et de coefficient dominant an. Son monôme dominant est la fonction x ↦ anxn.

Propriété
Un polynôme de degré n ≥ 1 tend vers l’infini à l’infini, avec la même limite que son monôme dominant.
Démonstration
Soit P(x) = k=0n ak xk avec an ≠ 0, d’où P(x) = xn k=0n ak/xnk.
Pour tout k ∈ ⟦0, n − 1⟧ on a limx→±∞ ak/xnk = 0 donc limx→±∞ k=0n ak/xnk = an.
Propriété
Deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients au même degré.
Démonstration
Soit (a0, … , an, b0, … , bn) ∈ R2n+2 tel que pour tout xR, k=0n ak xk = k=0n bk xk c’est-à-dire k=0n (akbk) xk = 0. Ce dernier polynôme ne peut tendre vers l’infini à l’infini, donc tous ses coefficients sont nuls à partir du degré 1. En outre il vaut 0 en 0 donc son coefficient constant est nul aussi.
Finalement, pour tout k ∈ ⟦0, n on a ak = bk.
Propriété
Les seuls polynômes constants sont les polynômes de degré 0 et le polynôme nul.

Le degré d’un polynôme P se note deg(P).

Opérations et degré

Propriété
Les sommes, produits, puissances et composées de fonctions polynômes sont aussi des fonctions polynômes avec pour tout (P, Q) ∈ R[x]2 :

On dit qu'un polynôme A est un multiple d'un polynôme B, ou que B est un diviseur de A, et on note BA s'il existe un polynôme Q tel que A = Q × B. Un diviseur propre de A est un diviseur non constant et de degré strictement inférieur à celui de A.

La relation de divisibilité induit une relation d'ordre sur les polynômes unitaires.

Deux polynômes A et B sont dits associés s'ils sont multiples l'un de l'autre, c'est-à-dire s'il existe λR tel que A = λB.

Division euclidienne
Pour tout (A, B) ∈ R[x] × R[x] \ {0} il existe un unique (Q, R) ∈ R[x]2 tel que A = B × Q + R et deg(R) < deg(B).

Dans l'égalité de la division euclidienne, les polynômes Q et R sont respectivement appelés quotient et reste de la division euclidienne de A par B.

Racine

Définition
Soit P un polynôme non nul et λR. On dit que λ est une racine de P si P(λ) = 0.

Pour tout polynôme P ≠ 0 et λR, le reste de la division euclidienne de P par (xλ) est P(λ).
Autrement dit, il y a équivalence entre le fait que λ soit racine de P et le fait que (xλ) divise P.

Propriété
Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine.
Démonstration
Un polynôme de degré impair est une fonction continue avec des limites infinies de signe opposé en +∞ et −∞. Donc par extension du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel en lequel il s’annule.
Factorisation à l'aide d'une liste de racines
Soit (λ1, … , λm) ∈ Rm une famille de racines deux à deux distinctes d'un polynôme P. Alors P est divisible par i=1m (xλi).
On procède par récurrence sur mN.

L'initialisation est démontrée par la propriété précédente.

Soit mN tel que la propriété soit vraie au rang m. Soit (λ1, … , λm+1) ∈ Rm+1 une famille de racines deux à deux distinctes d'un polynôme P. Par hypothèse de récurrence, il existe un polynôme Q tel que P(x) = Q(x) × i=1m (xλi).
Or P(λm+1) = 0 et i=1m (λm+1λi) ≠ 0 donc Q(λm+1) = 0 donc (xλm+1) divise Q et i=1m+1 (xλi) divise P.

Finalement, par principe de récurrence, la propriété est vraie quel que soit le nombre de racines listées.

Un polynôme non nul avec m racines distinctes est de degré supérieur ou égal à m.

Les courbes de deux fonctions polynomiales distinctes de degré inférieur ou égal à n ont au maximum n points d'intersection.

On en déduit aussi que les fonctions sinus et cosinus ne peuvent être polynomiales.

Racine multiple

Définition
Soit P un polynôme non nul, λR et dN.
On dit que λ est une racine d'ordre (au moins) d de P si P est un multiple de (xλ)d.
L’ordre de multiplicité de la racine λ dans P est le plus grand entier d tel que (xλ)d divise P.
Par convention, on dit que λ est d'ordre 0 si elle n'est pas racine de P.
Propriété
La valeur λ est une racine d’ordre de multiplicité d pour P si et seulement s’il existe un polynôme Q tel que P(x) = (xλ)d × Q(x) avec Q(λ) ≠ 0.
Démonstration
On raisonne par double implication.

Si λ est une racine d’ordre de multiplicité d pour P, alors il existe un polynôme Q tel que P(x) = (xλ)d × Q(x). Si on avait Q(λ) = 0, le polynôme Q serait divisible par (xλ) donc le polynôme P serait divisible par (X − λ)d+1, ce qui est faux par hypothèse sur d. Donc on a bien Q(λ) ≠ 0.

Réciproquement, s'il existe un polynôme Q tel que P(x) = (xλ)d × Q(x) avec Q(λ) ≠ 0, alors λ est racine d'ordre au moins d. Supposons que l'ordre de multiplicité de λ soit strictement supérieur à d. Alors il existe un polynôme Q1 tel que P(x) = (xλ)d+1 × Q1(x), d'où par unicité du quotient dans la division euclidienne, Q(x) = (xλ) × Q1(x) donc Q(λ) = 0, ce qui est faux par hypothèse. Donc λ est bien d'ordre de multiplicité d.

Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé
Soit P un polynôme non nul, λR et d ≥ 2 tel que λ soit une racine d'ordre de multiplicité d pour P. Alors λ est une racine d'ordre de multiplicité d−1 pour P.
Démonstration
D'après la propriété précédente, il existe un polynôme Q tel que P(x) = (xλ)d × Q(x) avec Q(λ) ≠ 0, donc on trouve P′(x) = d(xλ)d−1 × Q(x) + (xλ)d × Q′(x)
or en posant Q1(x) = dQ(x) + (xλ) × Q′(x), on trouve P′(x) = (xλ)d−1 × Q1(x) et Q1(λ) = dQ(λ) ≠ 0. Donc d'après la propriété précédente, λ est effectivement une racine d'ordre d−1 pour le polynôme dérivé P.

La réciproque est fausse, car 0 est n'est pas une racine de P(x) = xd+1−1 mais elle est une racine d'ordre de multiplicité d pour P′(x) = (d + 1)xd.

Pour tout polynôme P non nul et λR, l'ordre de multiplicité de λ dans P est le nombre de dérivées successives de P (y compris P) qui s'annulent en λ.

Étude locale

Propriété
Un polynôme change de signe en une racine si et seulement si sa multiplicité est impaire.
Démonstration
Soit P un polynôme non nul admettant une racine λR. Il existe dN et un polynôme Q tel que P(x) = (xλ)d Q(x) avec Q(λ) ≠ 0. Donc Q est de signe constant au voisinage de λ, et (xλ) change de signe en λ. Donc P change de signe en λ si et seulement si d est impair.
Propriété
Un polynôme P admet un extremum local en un réel x0 si et seulement si x0 est une racine de P avec une multiplicité impaire.
Démonstration
On procède par double implication.

Si x0 est une racine de P avec une multiplicité impaire, alors P change de signe en x0, donc P est croissante à gauche et décroissante à droite de x0 (ou vice versa) donc P admet un maximum (ou un minimum) en x0.

Si P admet un extremum local en un réel x0 alors ce réel est une racine de P. Mais comme P est aussi un polynôme, elle ne peut s’annuler qu’un nombre fini de fois et elle ne s’annule donc pas ailleurs au voisinage de x0. Comme P n’est pas strictement monotone au voisinage de x0, c’est donc que P change de signe donc sa racine a un ordre de multiplicité impair.