Développement limité

Fonction négligeable

Définition
Soit aR, soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I au voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a, ou que g est prépondérante par rapport à f, s'il existe une fonction ε définie sur I avec f = ε × g et limxa ε(x) = 0.
On note alors f(x) = oxa(g(x)) ou f = oa (g), ce qui se lit « f est un petit o de g ».

Si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a, le fait que f soit négligeable par rapport à g au voisinage de a peut se réécrire limxa f(x)/g(x) = 0.

Des fonctions négligeables différentes peuvent être représentées par la même notation : en effet, x2 = ox→0(x) et x3 = ox→0(x).

Additivité
Si f1(x) = oxa(g(x)) et f2(x) = oxa(g(x)) alors f1(x) + f2(x) = oxa(g(x)).
Transitivité
Si f(x) = oxa(g(x)) et g(x) = oxa(h(x)) alors f(x) = oxa(h(x)).
Multiplication par une fonction bornée
Si f(x) = oxa(g(x)) et si u est une fonction bornée au voisinage de a alors u(x) × f(x) = oxa(g(x)).
Multiplication par une fonction quelconque
Si f(x) = oxa(g(x)) et si u est définie au voisinage de a alors u(x) × f(x) = oxa(u(x) × g(x)).

Généralités

Dans toute cette partie, on considère un intervalle réel I non dégénéré et une fonction f réelle est continue sur I.

Soit nN. On dit que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage d'un réel aI si et seulement s'il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que f(x) = P(xa) + oxa((xa)n).
L'expression P(xa) est alors appelée partie régulière du développement.

On abrège parfois la mention « développement limité à l'ordre n au voisinage de a » sous la forme « DLn(a) ».

Deux développements limités d’une même fonction au voisinage d’un même réel ont nécessairement les mêmes coefficients au même degré.

Supposons qu'il existe deux polynômes distincts P et Q de degré inférieur ou égal à n tel que f(x) = P(xa) + oxa((xa)n) = Q(xa) + oxa((xa)n).

On note k le plus petit degré en lequel le coefficient de P diffère de celui de Q. On note aussi ak et bk ces coefficients.

Par hypothèse, on a kn et par différence on trouve Q(xa) − P(xa) = oxa((xa)n) or Q(xa) − P(xa) = (bkak)(xa)k + oxa((xa)k), ce qui est absurde par comparaison des puissances.

Si f admet un développement limité à l'ordre nN au voisinage d'un réel alors elle admet un développement limité à tout ordre pn au voisinage de ce même réel par troncature de sa partie régulière aux termes de degré inférieur ou égal à p.

Si on a f(x) = k=0n λk(xa)k + oxa((xa)n) alors on a k=p+1n λk(xa)k + oxa((xa)n) = oxa((xa)p) donc f(x) = k=0p λk(xa)k + oxa((xa)p).

La fonction f est continue en a si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 0 au voisinage de a et dans ce cas sa partie régulière est simplement sa valeur en a.

On a l'équivalence limxa f(x) = f(a) ⇔ f(x) = f(a) + oxa(1).

En outre, s'il existe cR tel que f(x) = c + oxa(1) alors f(a) = c.

La fonction f est dérivable en a si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de a qui s'écrit alors f(x) = f(a) + f′(a) × (xa) + oxa(xa).

On a les équivalences pour tout cR, limxa f(x) − f(a) / xa = cf(x) − f(a) / xa = c + oxa(1) ⇔ f(x) − f(a) = c × (xa) + oxa(xa).

Méthodes de calcul

Intégration du développement limité
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Supposons que sa dérivée admette un développement limité à l'ordre n au voisinage de aI sous la forme f′(x) = k=0n λk(xa)k + oxa((xa)n).

Alors la fonction f admet un développement limité à l'ordre n+1 au voisinage de a sous la forme f(x) = f(a) + k=0n λk/k + 1(xa)k+1 + oxa((xa)n+1).

On pose pour tout xI, G(x) = f(x) − f(a) − k=0n λk/k + 1(xa)k+1 et g(x) = f′(x) − k=0n λk(xa)k.

Alors la fonction G est la primitive de g qui s'annule en a donc par théorème fondamental de l'analyse, pour tout xI on a G(x) = ax g(t) dt.

Pour tout εR+∗ il existe un intervalle ouvert J contenant a tel que pour tout tIJ on ait |g(t)|ε|(ta)n| donc pour tout  xIJ, en distinguant les cas xa et xa, on trouve |G(x)||ax |g(t)| dt|ε|ax (ta)n dt| donc on a |G(x)|ε|(xa)n+1| / n + 1.

Finalement, on obtient bien G(x) = oxa ((xa)n+1)

La réciproque est fausse : il est tout à fait possible qu'une fonction admette un développement limité à un ordre quelconque au voisinage d'un réel sans que sa dérivée soit continue.

Formule de Taylor-Young
Soit I un intervalle réel non dégénéré,  aI et nN.

Pour toute fonction f qui soit n fois dérivable sur I avec f(n) dérivable en a, on a f(x) = k=0n+1 (xa)k / k! f(k)(a) + oxa ((xa)n+1).

On procède par récurrence sur n.

Pour toute fonction f dérivable en a, on a f(x) = f(a) + (xa) × f′(a) + oxa (xa).

Soit nN tel que la formule soit vraie pour toute fonction f qui soit n fois dérivable sur I avec f(n) dérivable en a. Soit f une fonction n+1 fois dérivable sur I avec f(n+1) dérivable en a. Par hypothèse de récurrence appliquée à la fonction f, on a f′(x) − k=0n+1 (xa)k / k! f(k+1)(a) = oxa ((xa)n+1) d'où par intégration, f(x) − f(a) − k=0n+1 (xa)k+1 / (k + 1)! f(k+1)(a) = oxa ((xa)n+2), c'est-à-dire f(x) = k=0n+2 (xa)k / k! f(k)(a) + oxa ((xa)n+2).

Cette formule peut être précisée avec des hypothèses un peu plus fortes par la formule de Taylor avec reste intégral.

Développements de référence

On obtient les développements de référence suivants.

Développements de référence
1 / 1 − x = k=0n xk + ox→0 (xn)
1 / 1 + x = k=0n (−1)kxk + ox→0 (xn)
(1 + x)α = k=0n (j=0k−1 (αj)) xk/k! + ox→0 (xn) = 1 + αx + α(α − 1)/2x2 + … + α(α − 1)(α − 2)…(αn + 1)/n!xn + ox→0 (xn)
ln(1 + x) = k=1n (−1)k+1/kxk + ox→0 (xn)
exp(x) = k=0n xk/k! + ox→0 (xn)
sin(x) = k=0n (−1)k/(2k + 1)! x2k+1 + ox→0 (x2n+2)
cos(x) = k=0n (−1)k/(2k)! x2k + ox→0 (x2n+1)

Pour obtenir un développement limité en un réel différent de 0, on effectue un changement de variable.

Pour trouver le développement limité du logarithme en 2, on pose x = 2 + h d'où ln(x) = ln(2 + h) = ln(2 × (1 + h/2)) = ln(2) + ln(1 + h/2)
puis à l'aide d'un nouveau changement de variable t = h/2 on trouve ln(2) + ln(1 + t) = ln(2) + tt2/2 + ot→0 (t2) d'où ln(2) + ln(1 + h/2) = ln(2) + h/2h2/8 + oh→0 (h2) donc ln(x) = ln(2) + 1/2 (x − 2) − 1/8 (x − 2)2 + ox→2 ((x − 2)2).

Position relative entre courbe et tangente

Le développement limité d'une fonction au voisinage d'un réel a peut permettre de déterminer la position relative de la courbe et de sa tangente au point d'abscisse a.

On note k le degré du premier coefficient non nul dans le développement limité à partir du degré 2 et on note λk ce coefficient.

Dans certains cas, le développement limité ne fournit aucun terme non nul, comme pour le prolongement par continuité de la fonction x ↦ exp(−1/x2) en 0.