Développement limité

Généralités

Dans toute cette partie, on considère un intervalle réel I non dégénéré et une fonction f réelle est continue sur I.

Soit nN. On dit que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage d'un réel aI si et seulement s'il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que f(x) = P(xa) + oxa((xa)n).
L'expression P(xa) est alors appelée partie régulière du développement.

On abrège parfois la mention « développement limité à l'ordre n au voisinage de a » sous la forme « DLn(a) ».

Une fonction ne peut admettre deux développement limités différents au même ordre au voisinage d'un même réel.

Supposons qu'il existe deux polynômes distincts P et Q de degré inférieur ou égal à n tel que f(x) = P(xa) + oxa((xa)n) = Q(xa) + oxa((xa)n).

On note k le plus petit degré en lequel le coefficient de P diffère de celui de Q. On note aussi ak et bk ces coefficients.

Par hypothèse, on a kn et par différence on trouve Q(xa) − P(xa) = oxa((xa)n) or Q(xa) − P(xa) xa (bkak)(xa)k, ce qui est absurde par comparaison asymptotique des puissances.

Si f admet un développement limité à l'ordre nN au voisinage d'un réel alors elle admet un développement limité à tout ordre pn au voisinage de ce même réel par troncature de sa partie régulière aux termes de degré inférieur ou égal à p.

Si on a f(x) = k=0n λk(xa)k + oxa((xa)n) alors on a k=p+1n λk(xa)k + oxa((xa)n) = oxa((xa)p) donc f(x) = k=0p λk(xa)k + oxa((xa)p).

La fonction f est continue en a si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 0 au voisinage de a et dans ce cas sa partie régulière est simplement sa valeur en a.

On a l'équivalence limxa f(x) = f(a) ⇔ f(x) = f(a) + oxa(1).

En outre, s'il existe cR tel que f(x) = c + oxa(1) alors f(a) = c.

La fonction f est dérivable en a si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de a qui s'écrit alors f(x) = f(a) + f′(a) × (xa) + oxa(xa).

On a les équivalences pour tout cR, limxa f(x) − f(a) / xa = cf(x) − f(a) / xa = c + oxa(1) ⇔ f(x) − f(a) = c × (xa) + oxa(xa).

Méthodes de calcul

Intégration du développement limité
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Supposons que sa dérivée admette un développement limité à l'ordre n au voisinage de aI sous la forme f′(x) = k=0n λk(xa)k + oxa((xa)n).

Alors la fonction f admet un développement limité à l'ordre n+1 au voisinage de a sous la forme f(x) = f(a) + k=0n λk/k + 1(xa)k+1 + oxa((xa)n+1).

On pose pour tout xI, G(x) = f(x) − f(a) − k=0n λk/k + 1(xa)k+1 et g(x) = f′(x) − k=0n λk(xa)k.

Alors la fonction G est la primitive de g qui s'annule en a donc par théorème fondamental de l'analyse, pour tout xI on a G(x) = ax g(t) dt.

Pour tout εR+∗ il existe un intervalle ouvert J contenant a tel que pour tout tIJ on ait |g(t)|ε|(ta)n| donc pour tout  xIJ, en distinguant les cas xa et xa, on trouve |G(x)||ax |g(t)| dt|ε|ax (ta)n dt| donc on a |G(x)|ε|(xa)n+1| / n + 1.

Finalement, on obtient bien G(x) = oxa ((xa)n+1)

La réciproque est fausse : il est tout à fait possible qu'une fonction admette un développement limité à un ordre quelconque au voisinage d'un réel sans que sa dérivée soit continue.

Formule de Taylor-Young
Soit I un intervalle réel non dégénéré,  aI et nN.

Pour toute fonction f qui soit n fois dérivable sur I avec f(n) dérivable en a, on a f(x) = k=0n+1 (xa)k / k! f(k)(a) + oxa ((xa)n+1).

On procède par récurrence sur n.

Pour toute fonction f dérivable en a, on a f(x) = f(a) + (xa) × f′(a) + oxa (xa).

Soit nN tel que la formule soit vraie pour toute fonction f qui soit n fois dérivable sur I avec f(n) dérivable en a. Soit f une fonction n+1 fois dérivable sur I avec f(n+1) dérivable en a. Par hypothèse de récurrence appliquée à la fonction f, on a f′(x) − k=0n+1 (xa)k / k! f(k+1)(a) = oxa ((xa)n+1) d'où par intégration, f(x) − f(a) − k=0n+1 (xa)k+1 / (k + 1)! f(k+1)(a) = oxa ((xa)n+2), c'est-à-dire f(x) = k=0n+2 (xa)k / k! f(k)(a) + oxa ((xa)n+2).

Cette formule peut être précisée avec des hypothèses un peu plus fortes par la formule de Taylor avec reste intégral.

Développements de référence

On obtient les développements de référence suivants.

Pour obtenir un développement limité en un réel différent de 0, on effectue un changement de variable.

Pour trouver le développement limité du logarithme en 2, on pose x = 2 + h d'où ln(x) = ln(2 + h) = ln(2 × (1 + h/2)) = ln(2) + ln(1 + h/2)
puis à l'aide d'un nouveau changement de variable t = h/2 on trouve ln(2) + ln(1 + t) = ln(2) + tt2/2 + ot→0 (t2) d'où ln(2) + ln(1 + h/2) = ln(2) + h/2h2/8 + oh→0 (h2) donc ln(x) = ln(2) + 1/2 (x − 2) − 1/8 (x − 2)2 + ox→2 ((x − 2)2).

Position relative entre courbe et tangente

Le développement limité d'une fonction au voisinage d'un réel a peut permettre de déterminer la position relative de la courbe et de sa tangente au point d'abscisse a.

On note k le degré du premier coefficient non nul dans le développement limité à partir du degré 2 et on note λk ce coefficient.

Dans certains cas, le développement limité ne fournit aucun terme non nul, comme pour le prolongement par continuité de la fonction x ↦ exp(−1/x2) en 0.