Exercices de développement limité

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Exercice
Calculer les développements limités à l'ordre 3 au voisinage de 0 pour les fonctions suivantes :
Exercice
Écrire le développement limité de la fonction f : x1 / 1 + x2 à l'ordre 2 en 0. En déduire une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.
ENS 2015 exercice 1 question 3
Exercice
Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de x + (1 − x) × ln(1 − x)
Ecricome 2011
Exercice
Donner le développement limité à l'ordre 1 en 0 de la fonction définie par f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1 pour tout x]1/2 ; 0[ ∪ ] 0 ; +∞ [ avec f(0) = 1.
En déduire que la fonction f est continue et dérivable en 0 en précisant f′(0).
Ecricome 2012 problème 2 partie 1.
Exercice
Déterminer un développement limité de la fonction x ↦ ln(cos(x)) à l'ordre 2 au voisinage de 0, puis en déduire que la fonction x ↦ cos(x)1/x est prolongeable par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0, en précisant le nombre dérivé et la position de la courbe par rapport à la tangente en ce point.
Exercice
Montrer que la fonction g : x1/sin(x)1/x est prolongeable par continuité en une fonction de classe 𝒞1 sur [0 ; π/2].
Exercice
Montrer que la différence π cos(πx) / sin(πx)1/x admet une limite finie lorsque x tend vers 0 et calculer sa valeur.
ENS 2010 ex 1C
Exercice
Déterminer le développement limité de la fonction Arctan à l'ordre n en 0 à l'aide de celui de sa dérivée.
Exercice
Déterminer le développement limité de la fonction tangente à l'ordre 5 en 0 à l'aide de la relation tan′ = 1 + tan2.
Exercice
Montrer que la fonction xx1/(x−1) admet un prolongement par continuité en 1 qui est dérivable et préciser la position relative de la courbe et de sa tangente en 1.
Exercice
Montrer que la fonction x(ex − cos(x))2 / ln(1 + x) − x est prolongeable par continuité en 0 en une fonction dérivable et préciser la position de la courbe par rapport à celle de la tangente en 0.
Exercice
On pose f : x1/x+1 − ln(1+1/x). Montrer que lorsque x tend vers +∞, x2f(x) converge vers une constante négative que l’on déterminera.
ENS 2018 problème A question 1
Exercice
Étudier la nature de la série associée à la suite (1/n + 1 − ln(n + 1) + ln(n)).
D’après Ecricome 2001 Pb I

Annales

ENS 2006 exercice