Exercices sur le développement limité

Développement limité

Exercices

  1. Calculer les développements limités à l'ordre 3 au voisinage de 0 pour les fonctions suivantes :
    • x1 + x
    • x1/1 + 2x
    • x1/2 + x
    • x1/x + 1
    • x ↦ ln(3 + x)
    • x ↦ exp(1 − 2x)
  2. Donner un équivalent en 0 de x(ex − cos(x))2 / ln(1 + x) − x
  3. Déterminer le développement limité de la fonction Arctan à l'ordre n en 0 à l'aide de celui de sa dérivée.
  4. Déterminer le développement limité de la fonction tangente à l'ordre 5 en 0 à l'aide de la relation tan′ = 1 + tan2.
  5. (Ecricome 2001 Pb I) Déterminer un équivalent de la suite (1/n + 1 − ln(n + 1) + ln(n)).
  6. (ENS 2010 ex 1C) Montrer que la différence π cos(πx) / sin(πx)1/x admet une limite finie lorsque x tend vers 0 et calculer sa valeur.
  7. Déterminer un développement limité de la fonction x ↦ ln(cos(x)) à l'ordre 2 au voisinage de 0, puis en déduire que la fonction x ↦ cos(x)1/x est prolongeable par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0, en précisant le nombre dérivé.
  8. Montrer que la fonction xx1/(x−1) admet un prolongement par continuité en 1 qui est dérivable et préciser la position relative de la courbe et de sa tangente en 1.
  9. Donner le développement limité à l'ordre 1 en 0 de la fonction définie par f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1 pour tout x]1/2 ; 0[ ∪ ] 0 ; +∞ [ avec f(0) = 1.
    En déduire que la fonction f est continue et dérivable en 0 en précisant f′(0).
    Ecricome 2012 problème 2 partie 1.
  1. (Ecricome 2001 Pb I) Donner le développement limité à l'ordre 2 en 1/n de 1/(n+1) - ln(n+1) + ln(n)
  2. (ENS 2010 ex 1C) Montrer que la différence π cos(πx) / sin(πx)1/x admet une limite lorsque x tend vers 0 et calculer sa valeur.
  3. (ENS 2006 exercice)

Problèmes

Écrire le développement limité de la fonction f : x1 / 1 + x2 à l'ordre 2 en 0. En déduire une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.
ENS 2015 exercice 1 question 3

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