Sommes et produits

Notions
Famille, suite, symbole somme et produit
Définitions
factorielle
Résultats
somme d’une constante, nombres triangulaires, somme des puissances, formule de Bernoulli
relation du triangle de Pascal, expression des coefficients binomiaux avec la factorielle, formule du binôme de Newton
Compétences
Démonstration de formules avec les symboles somme ou produit
Calcul de formules avec des factorielles ou des coefficients binomiaux

Famille

Soient I et E deux ensembles. On appelle famille d'éléments de E indexée par I toute partie de I × E telle que pour tout élément iI il existe un unique élément uiE tel que (i, ui) ∈ ℱ.

En pratique, lorsque l'ensemble d'indices est un intervalle d’entiers [[1, n]], on note la famille avec la liste de ses valeurs énoncée dans l'ordre croissant des indices (u1, u2, … , un).

Une suite est une famille indexée par N ou par N. Une suite finie est une famille indexée par un intervalle d'entiers borné de la forme [[n, p]].

L'ensemble des familles d'éléments de E indexées par I est noté EI. En particulier, l'ensemble des suites réelles se note RN.

Symbole somme

Règles de calcul

Soit (p, q) ∈ Z2tel que pq. Soit (xp, …, xq) une famille à valeurs dans un groupe abélien E. On définit i=pp xi = xp puis pour tout k ∈ [[p + 1, q]], i=pk xi = (i=pk−1 xi) + xk.

Pour tout rZ tel que p < rq on a i=pq xi = i=pr−1 xi + i=rq xi.

Soient (xp, …, xq) et (yp, …, yq) deux familles à valeurs dans un groupe abélien. On a i=pq (xi + yi) = i=pq xi + i=pq yi

Soit (xp, …, xq) une famille à valeurs dans un K-espace vectoriel. Pour tout λK, λi=pq xi = i=pq λxi.

Sommes de référence

Somme d'une constante
Pour tout (a, n) ∈ R × N, k=0n a = (n + 1) × a.
Nombres triangulaires
Pour tout nN, k=0n k = n(n + 1) / 2.
Somme des puissances
Pour tout (q, n) ∈ (R \ {1}) × N, k=0n qk = 1 − qn+1 / 1 − q.

Cette dernière formule peut apparaitre comme un cas particulier de la propriété suivante.

Différence de puissances (formule de Bernoulli)
∀(a, b, n) ∈ R × R × N*, anbn = (ab) × (k=0n−1 an−1−kbk)
Pour tout nN,

Symbole produit

Règles de calcul

De même, si (xp, …, xq) est une famille à valeurs dans un corps, on pose i=pp xi = xp puis pour tout k ∈ [[p + 1, q]], i=pk xi = (i=pk−1 xi) × xk.

Propriété
Pour tout rZ tel que p < rq on a i=pq xi = i=pr−1 xi × i=rq xi.
Propriété
Soient (xp, …, xq) et (yp, …, yq) deux familles à valeurs dans un corps commutatif.
On a i=pq (xi × yi) = i=pq xi × i=pq yi et si la famille (yp, …, yq) ne s'annule pas, i=pq xi/yi = i=pq xi / i=pq yi.
Enfin, pour tout nN on a (i=pq xi)n = i=pq xin.

Produits de référence

Pour tout (a, n) ∈ R × N on a k=1n a = an.

On définit la factorielle par 0! = 1 et pour tout nN, n! = k=1n k.

Pour tout nN, (n + 1)! = n! × (n + 1).

Pour tout nN tel que n ≥ 4 on a n! > 2n.

En particulier, on en déduit que la factorielle ne s'annule jamais.

Pour tout nN, k=1n (2k) = 2n n! et k=1n (2k + 1) = (2n + 1)!/2n n!.

Binôme de Newton

Coefficients binomiaux

On définit les coefficients binomiaux par récurrence sur nN avec (00) = 1 et pour tout kZ*, (k0) = 0, puis pour tout (n, k) ∈ N × Z, (kn+1) = (kn) + (k−1n).
Cette relation est appelée relation du triangle de Pascal.

Premières lignes du triangle de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

Cette définition s'illustre par la construction de la figure ci-contre, dans lequel chaque terme s'obtient en additionnant les deux termes apparaissant immédiatement au dessus de lui.

Expression avec la factorielle
Pour tout (n, k) ∈ N2 tel que kn, on a (kn) = n! / k! (nk)!.

Formule

Formule du binôme de Newton
Pour tout (a, b, n) ∈ R2 × N, on a (a + b)n = k=0n (kn) akbnk.

En particulier, on obtient pour tout nN, 2n = k=0n (kn).