Exercices sur le principe de récurrence et les coefficients binomiaux

Calcul

Sommes et produits

• Exprimer sans symbole somme le réel ∑_i=0ⁿ⁻¹ ∑_k=1ⁿ⁻ⁱ aⁱ b^k où a et b sont deux réels différents de 1 (Problème ENS 2006).
• Pour tout n ∈ N*, calculer ∑_k=0ⁿ (k × k!)
• Calculer ∏_k=1ⁿ(1 − 1/k) puis ∏_k=2ⁿ(1 − 1/k) pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2.
• Calculer ∑_k=0ⁿ (−1)^k et ∑_i=0ⁿ⁻¹ ∑_k=1ⁿ⁻ⁱ(−1)^k puis ∑_i=0ⁿ⁻¹ ∑_k=1ⁿ⁻ⁱ(−1)ⁱ.
• (ENS 2006 Pb I) Calculer ∑_i=0ⁿ⁻¹ ∑_k=1ⁿ⁻ⁱ1.

Factorielle et coefficients binomiaux

1. Calculer les factorielles des dix premiers entiers.
2. Développer (1 + √2)⁵.
3. Exprimer sans symbole somme l'expression suivante ∑_k=0ⁿ (k parmi n) 2^k

Démonstration de formules

Démontrer les formules suivantes.

• Pour tout n ∈ N, ∑_{k = 0}ⁿ k² = n(n + 1)(2n + 1)/6 .
  Ecricome 2011 Indice de concentration d'une variable discrète question 2a
• Pour tout n ∈ N^∗, ∑_k=1ⁿ 1/(k(k + 1)) = n/(n + 1)
• Pour tout (x, n) ∈ (R \ Z) × N, ∑_k=−nⁿ 1/(x + k) = 1/x + ∑_k=1ⁿ 2x/(x² − k²)
  ENS 2010 exercice I question 5
• Pour tout n ∈ N^∗, ∏_k=0ⁿ (2k + 1) = (2n + 1)!/(2ⁿ n!).
• Pour tout (n, p) ∈ N² tel que p ≤ n, ∑_k=pⁿ (p parmi k) = (p+1 parmi n+1).
• Formule de Vandermonde : pour tout (m, n, p) ∈ N³ ∑_k=0^p (k parmi m) (p−k parmi n) = (p−k parmi m+n).