Exercices sur les nombres complexes

Énoncés

Exercice
On note z1 = 2 + 3i et z2 = 5 − i.
Calculer z1 + z2, z1z2, z1 × z2, z1/z2 et z2/z1.
Exercice
Résoudre les équations suivantes dans C :
Exercice
Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes i − 1, (i − 3)(i + 3), −ei, 7
Exercice
Soit (α, β) ∈ R2. Déterminer la forme exponentielle de eiα + eiβ. On pourra factoriser par ei(α+β)/2.
Exercice
ENS 2010
À partir de la formule de De Moivre, montrer que pour tout aR, cos(2a) = (cos(a))2 − (sin(a))2 et sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).
Exercice
ENS 2008 problème 1
En utilisant l’exponentielle complexe, montrer que pour tout (a, b) ∈ R2 on a cos(a + b) + cos(ab) = 2 cos(a) cos(b).
Exercice : Division de l’angle
  1. Montrer que pour tout θR on a cos(2θ) = 2 cos2(θ) − 1.
  2. Rappeler la valeur de cos(π/4) et en déduire la valeur de cos(π/8) puis calculer sin(π/8).
Exercice
  1. Montrer que pour tout θ ∈ ]π/4, π/2[ on a tan(2θ) = (2 tan(θ))/(1 − tan2(θ)).
  2. En déduire que tan(3π/8) est racine du polynôme P : xx2 − 2x − 1 et préciser sa valeur.
Exercice
Soit z = a + ibC. On veut résoudre l’équation z2 = 4 − 3i.
  1. Calculer |z|2.
  2. Résoudre l’équation en séparant les parties réelle et imaginaire.
Exercice
Soit nN. Calculer k=0n−1 e2ikπ/n et k=0n−1 e2ikπ/n.
Exercice
Soit nN et θR. Calculer k=0n sin(kθ).
Correction

On utilise la formule d’Euler puis on reconnait des sommes géométriques : k=0n (eikθ − e−ikθ)/2i = 1/2i (k=0n (eiθ)kk=0n (e−iθ)k) = 1/2i ((1 − ei(n+1)θ)/(1 − eiθ) − (1 − e−i(n+1)θ)/(1 − e−iθ)).

Puis on applique la méthode de l’angle moitié pour trouver 1/2i ( (ei(n+1)θ/2(e−i(n+1)θ/2 − ei(n+1)θ/2))/(eiθ/2(e−iθ/2 − eiθ/2)) − (e−i(n+1)θ/2(ei(n+1)θ/2 − e−i(n+1)θ/2))/(e−iθ/2(eiθ/2 − e−iθ/2)))
= 1/2i (einθ/2−sin((n + 1)θ/2)/−sin(θ/2) − e−inθ/2sin((n + 1)θ/2)/sin(θ/2)) = sin(nθ/2) sin((n + 1)θ/2)/sin(θ/2)
.

Exercice
Montrer que pour tout nN, pour tout x ∈ ]0 ; π/2], (sin((2n + 1) x))/(sin(x)) = 1 + 2 k=1n cos(2kx).
Correction

On utilise les formules d’Euler pour écrire 1 + 2 k=1n cos(2kx) = 1 + k=1n (e2ikx + e−2ikx) = 1 + k=1n e2ikx + k=−n−1 e2ikx = k=−nn e2ikx .

On reconnait ensuite une somme géométrique pour obtenir e−2inx (1 − e2i(2n+1)x)/(1 − e2ix).

Avec la méthode de l’angle moitié, on trouve e−2inx (ei(2n+1)x(e−i(2n+1)x − ei(2n+1)x))/(eix(e−ix − eix)) = sin((2n + 1)x)/sin(x).

Problèmes

Problème
ENS 2017 planche 12 exercice 2
  1. Montrer que pour tout xR on a sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) et cos(2x) = cos2(x) − sin2(x).
  2. Montrer que pour tout x ∈ ]0 ; π[ on a (sin(x))/(1 − cos(x)) = (1)/(tan(x/2)).
  3. Pour tout entier n ≥ 2, on note Sn = k=0n−1 sin((kπ)/(n)).
    Montrer que Sn = (1)/(tan((π)/(2n))).
  4. Déterminer la limite de (Sn)/(n) lorsque n → +∞.