Exercices sur les matrices

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On note A = 51−124−21−13 et b = 0−22. Résoudre l'équation Ax = b par la méthode du pivot de Gauss.
On note A = 1111 et b = 11 Déterminer et représenter graphiquement l'ensemble des solutions de l'équation Ax = b.
On considère les deux matrices A = 1−10−110002 et B = 00100−11−1−1.
  1. Ces deux matrices commutent-elles ?
  2. Montrer que les produits A2, AB, BA et B2 s'écrivent tous sous la forme aA + bB avec (a, b) ∈ R2.
Étant donnés une matrice A𝓜n(R), un vecteur x0Rn et une suite de réels (δk)kN, on définit une suite (xk)kN à valeurs dans Rn par kN,   xk+1 = xkδk tA (Axkb), où tA désigne la transposée de A. On suppose aussi qu'il existe xRn tel que Ax = b et on pose pour tout kN, yk = xkx. Pour tout entier k, déterminer une matrice Mk telle que yk+1 = Mkyk.
On définit les matrices suivantes : A = 111011001 et J = 011001000
  1. Calculer A2 et A3.
  2. Calculer J2, J3 puis déterminer Jn pour tout n ≥ 2.
  3. À l'aide d'une récurrence sur nN, démontrer An = 1nn(n+1)/201n001.
  4. Redémontrer l'égalité précédente à l'aide de la formule du binôme de Newton.
Déterminer l'inverse de la matrice P = 111124120.
Vérifier que la matrice A = 75−5102−52010−13 satisfait la relation A2 + A − 6I = 0.
Soit nN et (a0, … , an−1) ∈ Rn. On considère la matrice M triangulaire inférieure dont les coefficients s'écrivent ij,   Mi,j = aij. Montrer que M est inversible si et seulement si a0 ≠ 0.
On pose A = 2−1110−12−4−1 et P = X3 − X2 − 7X + 11. On note par convention P(A) = A3A2 − 7A + 11I3, où I3 désigne la matrice identité de taille 3.
  1. Calculer A2 puis A3, puis vérifier que P(A) est la matrice nulle.
  2. Montrer que A est inversible puis calculer A−1 en fonction de A2 et A.
Soit kN. On dit qu'une matrice Mk(R) est stochastique si ∀ (i, j) ∈ {1 ; … ; k}2,   Mi,j ≥ 0 et i ∈ {1 ; … ; k},   j=1k Mi,j = 1. On note J = t(1 ; … ; 1) ∈ Rk le vecteur colonne dont toutes les composantes sont égales à 1.
  1. Soit Mk(R). Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    • M est stochastique ;
    • MJ = J et tous les coefficients de M sont positifs ou nuls.
  2. Montrer que si M est stochastique alors pour tout nN sa puissance Mn est stochastique.
On introduit les matrices A = 100−45−4−22−1 et B = 0002−221−11
  1. Calculer A2.
  2. Montrer qu'il existe un réel x tel que B2 = xB.
  3. Montrer qu'il existe un réel λ tel que A = I3 + λB et recalculer A2 à l'aide de cette relation.
  4. Montrer par récurrence que pour tout nN il existe un réel an tel que An = 1002an1 − 2an2ananan1 + an, en précisant la valeur de a1 et un relation de récurrence sur la suite (an).
  5. Déterminer le terme général de la suite (an).
Soit α un réel non nul. On note M = α−101α000α.
  1. Montrer que la matrice M est inversible et calculer son inverse.
  2. Soit (a, b, c) ∈ R3. Montrer que la fonction définie pour tout réel x par f(x) = eαx (a sin(x) + b cos(x) + c) admet une primitive s'écrivant pour tout réel x F(x) = eαx (A sin(x) + B cos(x) + C) avec (A, B, C) ∈ R3. Montrer que dans ce cas on a ABC = M−1abc.
On définit trois suites réelles u, v et w par u0v0w0 = 11−1 et pour tout nN, un+1vn+1wn+1 = 2un + 3vn − 3wnun + wnun + vn.
  1. Déterminer une matrice A telle que pour tout nN, un+1vn+1wn+1 = Aunvnwn.
  2. Pour tout nN, exprimer unvnwn en fonction de u0v0w0 A et n.
On pose A = 0100011/31/31/3, P = 000133211−22 et B = −1/3−22/322/3−1/3. Montrer que la matrice P est inversible et calculer P−1AP.