Exercices sur les nombres réels

Compétences activées

Calcul

Multiplication d'entiers

Calculer les produits suivants :

Division euclidienne

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

Décomposition

Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers suivants.

En déduire une expression réduite de leur racine carrée.

Opérations sur les fractions

Calculer le résultat de chacune des opérations suivantes sous forme d'une fraction irréductible.

Opérations sur les puissances

Simplifier les expressions suivantes comme produits ou quotients de puissances de nombres premiers.

Algèbre élémentaire

Développement

Développer les expressions suivantes avec des variables réelles :

Factorisation

Factoriser autant que possible les expressions polynomiales suivantes avec xR :

Équations

Résoudre les équations suivantes avec une inconnue réelle en précisant à chaque fois l'ensemble d'étude et l'ensemble solution.

Analyse algébrique

Comparaison de nombres

Ordonner les réels suivants dans l'ordre croissant.

Tableau de signe

Dresser le tableau de signe des expressions suivantes en précisant leur domaine de définition dans R.

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes avec une inconnue réelle en précisant à chaque fois l'ensemble d'étude et l'ensemble solution.

Démonstration de formules

Exercice
Pour tout x ∈ ]0 ; 1[ et pour tout k ≥ 2, |2x/x2k2|8/3k2.
ENS 2010 exercice I question 10
Exercice
Montrer que pour tout y ∈ ]0 ; 1[ on a les inégalités 1 ≤ 1/1 − y ≤ 1 + y/2(1 − y)−3/2.
ENS 2013 exercice 2 question 4

Problèmes

Problème
Algorithme de Héron

L'algorithme de Héron donne ces premières approximations de 2 :

  1. Réduire les expressions de ces trois valeurs et les placer sur un axe orienté en justifiant l'ordre annoncé.
    Montrer aussi que 2 est strictement compris entre x1 et x3.
  2. Montrer que la première approximation est la partie entière de 2.
  3. Montrer que pour la dernière approximation, l'erreur absolue est inférieure à 0,1.
Problème
Soit N un entier naturel non nul. On cherche les solutions entières de l’équation N × (a + b + c) = a × b × c avec 1 ≤ abc.
  1. Calculer c en fonction des autres variables pour avoir une solution.
  2. Déduire de l’inégalité bc une inégalité du second degré en b.
  3. En déduire une majoration de b en fonction de N et a.
  4. Déduire de l’inégalité ab une majoration de a en fonction de N.